數(shù)學分析和解決問題能力的培養(yǎng)

俞烽

【摘 要】學生的數(shù)學分析能力和解決問題的能力，是學生數(shù)學思維的重要體現(xiàn)。培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力，對于提高學生的邏輯思維能力和提高學生的綜合素質都具有積極的意義。本文將從幾個方面來談談影響學生數(shù)學分析和解決問題能力的主要因素，以及如何提高學生的數(shù)學分析和解決問題的能力，來達到提高學生數(shù)學思維的目標。

【關鍵詞】分析問題；解決問題；能力培養(yǎng)

在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，教師過于注重學生解題技巧的訓練，而忽略了學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，這樣的數(shù)學教學方式，已經(jīng)不能適應現(xiàn)在素質化教育的要求。因此，在高中數(shù)學教學過程中，要注重培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，使學生形成自己獨特的邏輯思維和數(shù)學思維，提高解決實際問題的能力。接下來，筆者將結合自身的教學經(jīng)驗，從多個方面來談談影響學生數(shù)學分析和解決問題能力的主要因素，以及如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學分析和解決問題能力。

一、影響學生數(shù)學分析和解決問題能力的主要因素

主要因素一：學生的審題能力

審題是分析和解問題的前提，是對已知條件的全面認識，是學生將書面文字轉換為邏輯推敲的過程，審題的好壞將直接影響著后續(xù)的解題。學生的審題能力是指充分理解題意的基礎上，能挖掘題目的本質問題，并找出隱含條件，將問題進行必要轉化的能力。

例1.若cos（α+β）=，cos（α-β）=則tanαtanβ的值為？

這題的審題需要學生有較強的挖掘隱含條件的能力，題目所給的條件和要求的問題沒有直接的關系，但是可以將tanαtanβ寫成，就可以找到內在聯(lián)系，用方程就可以解決問題。

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由此可見，此題的關鍵在于審題，找出隱含關系。所以說，學生的審題能力是影響影響學生數(shù)學分析和解決問題能力的主要因素之一。

主要因素二：綜合應用知識、方法、思想的能力

高中數(shù)學涉及的知識、方法、思想等內容非常繁多，能否綜合地應用知識、方法、思想來解決問題將直接關系到學生的遷移知識，靈活解決問題的能力。學生只有對知識、方法、思想有一定的理解和掌握，才能解決一些基本問題，運用好知識、方法、思想才能使問題解決的更順暢、準確。

例2.若f（x）=-ax，且a>0。

（1）求解f（x）≤1；

（2）當a取何值，能使f（x）在[0，+∞）上是單調函數(shù)。

這題需要學生綜合運用不等式的求解、函數(shù)的單調性等基本知識，以及分類討論的思想，并配合一定的推理和運算能力，才能完整的解題。因此，綜合應用知識、方法、思想的能力是影響影響學生數(shù)學分析和解決問題能力的主要因素之一。

主要因素三：數(shù)學建模能力

學生的數(shù)學建模能力會影響到學生解決實際問題的能力，因為數(shù)學建模能力是解決實際問題的主要手段，學生將問題轉換為自己熟悉的模型便能快速解決問題。

例3.企業(yè)內一臺碾壓機的示意圖如下，材料從一端進入，經(jīng)過若干工序，逐步壓薄后從另一端出來。

若待碾壓的材料厚度為α，設計需要厚度為β，每道工序對材料的減薄率不超過r0，問碾壓機至少需要多少道工序來碾壓？

這題需要具備一定的數(shù)學建模能力，在理解“每道工序對材料的減薄率不超過r0”的基礎上，將實際問題轉換為等比數(shù)列模型，也就是平均變化率模型，否則此題容易出錯。因此，數(shù)學建模能力是影響影響學生數(shù)學分析和解決問題能力的主要因素之一。

二、培養(yǎng)學生的數(shù)學分析和解決問題能力的方法

1.注重引導學生歸納總結數(shù)學規(guī)律和數(shù)學思想

學生的數(shù)學思想和數(shù)學思維是建立在數(shù)學知識的基礎之上，對數(shù)學知識的應用和發(fā)展，是學生經(jīng)過思考和訓練之后形成的自己的一套思維模式，是數(shù)學意識的體現(xiàn)。數(shù)學規(guī)律和數(shù)學思想，是經(jīng)過歸納總結形成的具有，普遍意義的數(shù)學方法，它能夠幫助學生透徹的分析問題和解決問題，是學生將課本上的知識轉化為自己的經(jīng)驗。因此，教師在教學過程中，不能過于注重數(shù)學技巧的傳授，要引導學生經(jīng)?？偨Y歸納數(shù)學規(guī)律，形成自己的數(shù)學思想和數(shù)學思維，來提高學生的數(shù)學分析和解決問題能力。

例如，分類討論思想，是高中數(shù)學常用的數(shù)學思想之一。在數(shù)學概念方面，應用分類思想，可以將等比數(shù)列的求和公式按公比q分類，對直線方程按斜率k分類等等；在解題方面，可以在含參數(shù)問題中對參數(shù)的分類討論，對解不等式組中解集的討論等等。又如，不同數(shù)學方法的匹配選擇。教師要使學生掌握二次函數(shù)中的配方法，含參數(shù)問題用的待定系數(shù)法等等。這些方法和思想都是通用的，使學生掌握這些內容，能提高學生用正確的方法和思想來解決一類問題的能力，提高學生的數(shù)學分析和解決問題的能力。

2.強化應用教學，提高模型辨識度

學生能否用正確的方法、知識來分析和解決問題，是高考數(shù)學重點考察的內容之一。在新的高考《考試說明》中強調“解決實際問題的能力”，這就要求學生具備較強的應用題解決能力。在考試中，是借助各種實際問題中包含的各種數(shù)學原型，來考察學生的數(shù)學模型解決能力，而不是直接考察數(shù)學模型。所以說，學生對不同數(shù)學模型的辨識，是做題的前提。那么這就要求，教師要強化應用教學，提高學生對模型的辨識度。

例如，最近幾年考試中出現(xiàn)的“生產成本問題”考察的是函數(shù)和均值不等式模型；“游泳池問題”是立體幾何、函數(shù)和均值不等式模型；“碾壓率問題”是不等式、數(shù)列和方程模型；“買賣問題”是二次函數(shù)和分段的一次函數(shù)模型等等。這些都需要教師在平時訓練中，加強應用教學，引導學生歸納各種數(shù)學模型，提高學生對模型的辨識能力。這樣才能使學生在做題中有的放矢，提高效率。

3.加強開放題型的訓練，提高學生的思維發(fā)散能力

隨著素質教育的推進，要求學生的綜合素質越來越高，對數(shù)學的教學也提出了新的要求，要以提高學生的數(shù)學素質為主要教學目標，提高學生的創(chuàng)造能力。這反應在考試上是出現(xiàn)了更多的開放性題型，更加注重考察學生的思維發(fā)散能力。理解題意是解決問題的第一步，但開放性題型中是通過減少題目已知條件，缺少固定的結論來考察學生，這會對學生的理解題意上造成困難。因此，在教學中要強化開放題型的訓練，提高學生在考場上的思維發(fā)散能力。

例如，上文中提到的例3中“碾壓機”問題，題目中的“每道工序對材料的減薄率不超過”這對學生理解題目造成一定的障礙，需要學生先理解“減薄率”才能進一步解題。在日常訓練中，就需要強化學書對題目中出現(xiàn)的“新概念”的理解能力，發(fā)散學生的思維，讓學生結合生活實際，用類比已學過的相似概念的方法來嘗試理解“新概念”。

總的來說，學生數(shù)學分析和解決問題能力的培養(yǎng)，并非一朝一夕就能完成的事情，需要教師和學生持之以恒的努力。作為高中數(shù)學教師，需要在日常的教學活動中，不斷的研發(fā)和創(chuàng)新教學方法，提高數(shù)學課堂教學效率，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生分析和解決實際問題的能力，使學生能夠得到全面的發(fā)展，為以后的成長做好鋪墊。

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（作者單位：浙江省上虞城南中學）