帶懸臂板薄壁箱梁的扭轉(zhuǎn)和畸變分析

徐 勛，葉華文，強(qiáng)士中

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031)

改進(jìn)和發(fā)展薄壁箱梁的扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)分析，一直是國內(nèi)外學(xué)者的研究課題。經(jīng)典的閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)和畸變理論建立在不帶懸臂板基礎(chǔ)上，而目前箱形橋梁幾乎都帶有懸臂板，尤其是公路混凝土箱梁和組合箱梁，其懸臂板占整個(gè)頂板較大比例[1，2]，因此經(jīng)典理論需進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展才能適用于目前的箱梁結(jié)構(gòu)。

薄壁桿件扭轉(zhuǎn)分析的通用理論只涉及純開口截面[3]或純閉口截面[4]，這兩種理論從基本假設(shè)到最終結(jié)果均有差別[5]。文獻(xiàn)[6，7]將開口和閉口薄壁梁扭轉(zhuǎn)理論統(tǒng)一在烏曼斯基假定下，建立開口和閉口薄壁梁扭轉(zhuǎn)的統(tǒng)一基本微分方程。文獻(xiàn)[8，9]將薄壁截面中線用多邊形近似擬合，推導(dǎo)出一種開口和閉口薄壁梁的扭轉(zhuǎn)理論，其最終的微分方程組較復(fù)雜，沒有解析解。文獻(xiàn)[10]對懸臂板在薄壁箱形梁扭轉(zhuǎn)中的作用進(jìn)行研究，但未對畸變效應(yīng)進(jìn)行分析。薄壁箱梁畸變分析的通用理論只涉及純閉口截面[11，12]。文獻(xiàn)[13，14]建立了任意截面薄壁梁的畸變分析方法。已有研究很少就懸臂板在薄壁箱梁中的抗扭和抗畸變作用問題進(jìn)行分析，但懸臂板是薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)和畸變的控制構(gòu)件。

對此，本文基于廣義坐標(biāo)法，建立帶懸臂板薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)、畸變的位移模式和幾何方程，采用混合變分原理，建立新的開閉口混合截面桿件扭轉(zhuǎn)和畸變分析理論。由于該理論以位移和應(yīng)力作為變分參量，可以充分考慮剪切效應(yīng)?；谠摾碚摚治霰”谙淞杭袅α鞯姆植己徒M成，比較統(tǒng)一了剪力流的兩種計(jì)算方法。在對懸臂板內(nèi)力狀態(tài)分析基礎(chǔ)上，研究懸臂板對整個(gè)截面剪切變形的影響及對整個(gè)截面抗扭和抗畸變的貢獻(xiàn)。

1 基本方程

以圖1中帶4懸臂板的對稱薄壁梯形箱梁為分析對象。在分析薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)時(shí)，作如下假設(shè)：①懸臂板在其根部與閉口部分剛性連接；②開口和閉口部分具有同樣的扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)和畸變翹曲函數(shù)；③忽略壁板厚度對翹曲的影響；④箱梁各壁板沿板平面切向不可伸縮；⑤忽略扭轉(zhuǎn)翹曲和畸變翹曲的耦聯(lián)效應(yīng)[14]。

注：O、S、N分別為截面形心、扭轉(zhuǎn)中心、畸變中心。

圖1 典型截面

圖2 坐標(biāo)系和積分路徑

基于圖2所規(guī)定的坐標(biāo)系和位移方向，箱壁中面上任一點(diǎn)的縱向位移uz(s，z)、周向位移us(s，z)及法向位移un(s，z)分別為

(1a)

(1b)

(1c)

翹曲位移模式由?uz/?s+?us/?z=q/(Gt)得到。

(2a)

(2b)

其中

(3a)

(3b)

圖3 截面位移

(4a)

(4b)

(4c)

式中：n為箱壁任一點(diǎn)M1的法向坐標(biāo)。

箱壁應(yīng)變由幾何方程確定。

(5a)

(5b)

(5c)

基于式( 5 )，由胡克定律得出扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力σw、畸變翹曲正應(yīng)力σd和畸變橫向彎曲應(yīng)力σs為

σz=σw+σd=E1εz，σs=E1εs

( 6 )

引入扭轉(zhuǎn)和畸變雙力矩Bw、Bd及畸變剪力Qd

(7a)

(7b)

(7c)

從而可得

( 8 )

2 剪應(yīng)力分析

由微元縱向平衡條件?(σzt)/?z+?(τzst)/?s=0得

( 9 )

式中：(τzst)0為待定剪力流，記為q(0，z)。

剪力流q(s，z)可分解成扭轉(zhuǎn)剪力流qw(s，z)和畸變剪力流qd(s，z)。將式( 5 )、式( 6 )代入式( 9 )，考慮到各分支懸臂板外端點(diǎn)ID0i剪力流q(0，z)為零，可得i分支懸臂板剪力流為

(10)

其中

(11)

可以看出，qi(s，z)的值與主扇形零點(diǎn)的位置無關(guān)。

對于閉口區(qū)段，考慮到有來自i分支懸臂板內(nèi)端點(diǎn)IDi的剪力流qi(si，z)參與平衡，并設(shè)閉口區(qū)段上s在點(diǎn)IDi和IDi+1之間，可得閉口區(qū)段上剪力流為

(12)

式中：q(0，z)為主扇形零點(diǎn)待定的超靜定剪力流。

將式( 5 )、式( 6 )和式(10)代入式(12)可得

(13)

式中

(14)

將超靜定剪力流q(0，z)分解成扭轉(zhuǎn)剪力流qw(0，z)和畸變剪力流qd(0，z)。文獻(xiàn)[15-18]中，關(guān)于超靜定剪力流q(0，z)計(jì)算有兩種方法：對于扭轉(zhuǎn)剪力流qw(0，z)，第一種方法按照qw(0，z)使整個(gè)截面的扭轉(zhuǎn)剪力流滿足扭矩平衡求得；第二種方法按照qw(0，z)滿足閉口位移連續(xù)條件求得。對于畸變剪力流qd(0，z)，第一種方法按照qd(0，z)使整個(gè)截面的畸變剪力流對扭轉(zhuǎn)中心不形成扭矩求得；第二種方法按照qd(0，z)滿足閉口位移連續(xù)條件求得。下面就兩種計(jì)算方法進(jìn)行對比分析。

2.1 第一種方法

第一種方法可表示為

(15a)

(15b)

(16a)

(16b)

則箱梁截面的開口部分或閉口部分上任意s處剪力流可表示為

(17)

(18a)

(18b)

(19a)

(19b)

2.2 第二種方法

第二種方法可表示為

(20a)

(20b)

將式(10)、式(13)代入式(15)可得

(21a)

(21b)

箱梁截面的開口部分或閉口部分上任意s處剪力流可表示為

(22)

(23)

(24a)

(24b)

2.3 對比分析

(25)

分析可知，箱梁截面的剪力流由4部分組成，如表1 和圖4所示：①平衡閉口部分翹曲正應(yīng)力的剪力流，表示為qw1和qd1；②平衡開口分支懸臂板翹曲正應(yīng)力的剪力流，即從分支懸臂板流入的剪力流，表示為qw2和qd2；③扭轉(zhuǎn)剪力流是使第一部分剪力流滿足截面的扭矩平衡或滿足閉口連續(xù)條件的剪力流，畸變剪力流是使第一部分剪力流滿足閉口連續(xù)條件的剪力流，表示為qw3和qd3；④扭轉(zhuǎn)剪力流是使第二部分剪力流滿足截面的扭矩平衡或滿足閉口連續(xù)條件的剪力流，畸變剪力流是使第二部分剪力流滿足閉口連續(xù)條件的剪力流，表示為qw4和qd4。如果不考慮分支懸臂板的貢獻(xiàn)，第二、四部分剪力流將消失。

圖4 截面剪力流分布

qw計(jì)算式qd計(jì)算式qw1-MwIθwwSθw(s)[]cqd1-MdIχwwSχw(s)[]cqw2-MwIθww∑im=1Sθw(si)[]iqd2-MdIχww∑im=1Sχw(si)[]iqw3MwIθww·∮Sθw(s)[]ctds∮1tdsqd3MdIχww·∮Sχw(s)[]ctds∮1tdsqw4MwIθww·∮∑im=1Sθw(si)[]i{}tds∮1tdsqd4MdIχww·∮∑im=1Sχw(si)[]i{}tds∮1tds

3 考慮剪切變形的控制微分方程

基于混合變分原理[19]，廣義泛函為

(26)

式中：∏H-R(σ，u)為兩個(gè)獨(dú)立變分參量σ(應(yīng)力向量)和u(位移向量)的能量泛函；ε(u)為應(yīng)變向量；V*(σ)為余能密度；F為體力向量，此處為零；T為面力向量。

(27)

將式( 5 )代入式(27)整理得

(28)

余能函數(shù)為

(29)

將式( 8 )和式(22)代入式(29)整理得

(30)

反映剪切變形影響的剪切系數(shù)為

(31a)

(31b)

外荷載勢能為

(32)

將式(28)、式(30)和式(32)代入式(26)變分可得

(33)

式(33)廣義泛函變分的約束條件可寫為：

①力的平衡方程

(34)

(35)

②力與位移的關(guān)系式

(36)

(37)

③控制微分方程

將式(36)代入式(34)得截面扭矩平衡方程

(38)

(39)

由式(38)和式(39)聯(lián)立得到控制微分方程

(40)

在上述分析基礎(chǔ)上，將控制微分方程式(40)中與懸臂有關(guān)的系數(shù)項(xiàng)取為0后，即與無懸臂箱梁的控制微分方程完全一致。微分方程(40)可采用初參數(shù)法[3]求解。

4 數(shù)值算例

4.1 算例1

以橋梁工程中典型的雙懸臂對稱薄壁矩形截面直線箱梁為研究對象，如圖5所示。為分析懸臂板對結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，分別計(jì)算兩種高寬比的模型：模型M1的高寬比h/b=0.5，b=5 m，h=2.5 m；模型M2的高寬比h/b=2，b=2.5 m，h=5 m；箱梁各壁板厚度均為t=0.2 m。以兩懸臂板寬度與頂板寬度的比值d/b作為參量進(jìn)行系列計(jì)算。

圖5 計(jì)算模型

圖6 截面特性比值隨d/b變化曲線

圖7 翹曲程度比值隨d/b變化曲線

圖8 翹曲正應(yīng)力比值隨d/b變化曲線

圖9 翹曲系數(shù)比值隨d/b變化曲線

對圖6～圖9曲線進(jìn)行對比分析，得出如下結(jié)論：

(1)從圖6可以看出，常規(guī)的雙懸臂箱梁(d/b=0.5～1)，懸臂板的翹曲慣矩一般占全截面翹曲慣矩的30%～50%，即懸臂板分擔(dān)了30%～50%約束扭矩，尤其是當(dāng)閉口部分接近無翹曲截面[14](h/b漸近1)時(shí)，該比例將更大，因此懸臂板對截面約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的貢獻(xiàn)不應(yīng)忽略。

(2)根據(jù)圖6中的扭心位置比值曲線可以發(fā)現(xiàn)，對于模型M1，在d/b=0～0.5時(shí)，隨著懸臂板的增長，扭心反而向底板移動(dòng)；對于模型M2，隨著懸臂板的增長，扭心一直向頂板移動(dòng)。

(3)從圖7可以看出，懸臂板的存在使截面翹曲系數(shù)增大，一般情況下，增幅約20%～70%，這表明懸臂板使剪切變形的影響增大。懸臂板增長也使全截面的翹曲慣矩增大，導(dǎo)致截面(Uθ)″降低。

(4)從圖8可以發(fā)現(xiàn)，懸臂板使閉口箱的翹曲正應(yīng)力發(fā)生明顯重分布，閉口部分翹曲正應(yīng)力整體減小。懸臂板端點(diǎn)F的翹曲正應(yīng)力比閉口部分大，可達(dá)閉口部分的1.2～2.5倍，因此懸臂板通常是整個(gè)截面翹曲正應(yīng)力的控制構(gòu)件。

(5)從圖9可以看出，對于開閉混合截面，烏曼斯基第二理論所得結(jié)果比較保守，如常見的懸臂比例d/b=1，兩種翹曲系數(shù)比值分別為1.499(模型M1)和1.784(模型M2)，是烏曼斯基第二理論未考慮懸臂板的次生剪應(yīng)力影響所致，可見烏曼斯基理論不宜用于開閉混合截面。

4.2 算例2

圖10 截面特性比值隨d/b變化曲線

圖11 畸變雙力矩比值隨d/b變化曲線

圖12 翹曲正應(yīng)力比值隨d/b變化曲線

圖13 剪切系數(shù)隨d/b變化曲線

對圖10～圖13曲線進(jìn)行對比分析，得出如下結(jié)論：

(1)從圖10可以看出，對于常規(guī)雙懸臂箱梁(d/b=0.5～1)，懸臂板的畸變慣矩通常占全截面畸變慣矩的30%以下，即懸臂板分擔(dān)30%以下畸變力矩；懸臂板對截面畸變效應(yīng)的貢獻(xiàn)比對扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的貢獻(xiàn)小。

(2)從圖10可以看出，隨著懸臂板的增長，畸變中心位置始終向頂板移動(dòng)，沒有出現(xiàn)反復(fù)。

(3)從圖11可以發(fā)現(xiàn)，懸臂板使閉口箱的畸變正應(yīng)力發(fā)生明顯重分布，隨著懸臂翼緣板的增長，頂板角點(diǎn)B的畸變正應(yīng)力逐漸減小，底板角點(diǎn)C的畸變正應(yīng)力逐漸增大，底板角點(diǎn)C是整個(gè)截面畸變正應(yīng)力的控制點(diǎn)。

(4)從圖13可以看出，畸變剪切系數(shù)整體上均大于1，且懸臂板長度在一定范圍時(shí)，該比值遠(yuǎn)超過1。但從圖11可以發(fā)現(xiàn)，方法MT1、MT2所得畸變雙力矩的相對誤差在10%以下，這說明對于帶懸臂板箱梁，次生剪應(yīng)力對中面剪切變形的影響相對扭轉(zhuǎn)效應(yīng)要小得多。

5 結(jié)論

本文基于廣義坐標(biāo)法，建立帶懸臂板薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)和畸變的位移模式與幾何方程，采用混和變分原理，建立新的開閉口混合截面桿件扭轉(zhuǎn)和畸變分析理論，得到如下結(jié)論：

(1)比較按照力矩平衡條件和閉口連續(xù)條件求解薄壁箱梁剪力流的兩種方法，證明兩種方法計(jì)算扭轉(zhuǎn)剪力流結(jié)果一致，評價(jià)了兩種方法計(jì)算畸變剪力流的合理性。

(2)分析薄壁箱梁剪力流的組成和分布，研究了懸臂板對整個(gè)截面扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)的影響及對整個(gè)截面剪切變形的影響。

(3)懸臂板對薄壁箱梁扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在懸臂板扇形慣矩所占的比例；懸臂板使閉口箱翹曲應(yīng)力發(fā)生明顯的重分布；懸臂板使剪切變形影響增大，且這種影響隨著懸臂翼緣板的增長而增大；常規(guī)薄壁箱梁橋中懸臂板的貢獻(xiàn)不可忽略。

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