三自由度含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的反控制

徐慧東, 文桂林, 伍 新, 張思進(jìn),3

(1.太原理工大學(xué)力學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024； 2.湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長(zhǎng)沙 410082；3.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410082；4.湖南大學(xué)特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

三自由度含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的反控制

徐慧東1, 文桂林2,3,4, 伍 新2, 張思進(jìn)2,3

(1.太原理工大學(xué)力學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024； 2.湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長(zhǎng)沙 410082；3.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410082；4.湖南大學(xué)特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

對(duì)一類(lèi)含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射的Hopf-Hopf交互分岔進(jìn)行了反控制研究。首先，基于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)建立了六維Poincaré映射，由于六維映射相應(yīng)雅克比矩陣的特征值沒(méi)有解析的表達(dá)式，這使得由特征值特性描述的傳統(tǒng)臨界分岔準(zhǔn)則在確定控制增益中具有很大的局限性。針對(duì)這個(gè)局限性，建立了包含特征值分布條件、橫截條件和非共振條件的顯式臨界準(zhǔn)則。所建立的準(zhǔn)則與傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則等價(jià)，但并不依賴(lài)雅克比矩陣特征值的直接計(jì)算。然后，針對(duì)碰撞的不連續(xù)特性導(dǎo)致的隱式Poincaré映射在閉環(huán)系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)中的困難，發(fā)展了一種基于原碰撞系統(tǒng)的線(xiàn)性反饋控制方法。最后，數(shù)值分析給出了在指定的參數(shù)點(diǎn)所設(shè)計(jì)的映射Hopf-Hopf交互分岔的環(huán)面解，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的正確性。

非線(xiàn)性振動(dòng)； Hopf-Hopf交互分岔； 映射的臨界準(zhǔn)則； 分岔的反控制； 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)

引 言

碰撞振動(dòng)在實(shí)際工程領(lǐng)域中普遍存在。由于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的不連續(xù)性，使其能夠展示出豐富且復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。許多研究者對(duì)碰撞系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象作了深入而廣泛的研究。Shaw和Holmes[1]用中心流形理論分析了一類(lèi)單側(cè)約束簡(jiǎn)諧激力下單自由度振子周期運(yùn)動(dòng)的局部分岔，并通過(guò)同宿相截條件討論了混沌運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)[2-3]系統(tǒng)研究了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在非共振和強(qiáng)共振下的Hopf分岔；文獻(xiàn)[4-5]研究了兩自由度碰撞系統(tǒng)相應(yīng)Jacobi矩陣有兩個(gè)-1特征值時(shí)的余維二分岔；文獻(xiàn)[6]研究了高維映射的Hopf-flip分岔并將理論結(jié)果應(yīng)用于一類(lèi)兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中；文獻(xiàn)[7-8]研究了一類(lèi)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Hopf-Hopf分岔和不變環(huán)面的存在性。文獻(xiàn)[9]研究了一類(lèi)具有對(duì)稱(chēng)剛性約束的三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)周期n-2運(yùn)動(dòng)的音叉分岔、Hopf分岔和Hopf-Hopf分岔。大多數(shù)碰撞振動(dòng)問(wèn)題的共同特點(diǎn)是碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的維數(shù)高，動(dòng)力響應(yīng)復(fù)雜。為達(dá)到預(yù)期的工作目的，取得優(yōu)化的工作效果，大量工程實(shí)際問(wèn)題迫切需要人們對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為有更深入、更全面的認(rèn)識(shí)。

Hopf-Hopf交互分岔作為一種典型的環(huán)面分岔現(xiàn)象，其特征值分布條件的特點(diǎn)是在兩參數(shù)的臨界分岔點(diǎn)要求有兩對(duì)復(fù)共軛特征值同時(shí)位于單位圓周上，這使得此類(lèi)環(huán)面分岔現(xiàn)象具有更加復(fù)雜而豐富的動(dòng)力學(xué)行為。Hopf-Hopf交互分岔反控制是在指定的參數(shù)位置通過(guò)控制使系統(tǒng)生成具有所期望分岔特性的Hopf-Hopf交互分岔解。在實(shí)施分岔的反控制時(shí)，需要按分岔的臨界準(zhǔn)則反求出控制增益參數(shù)進(jìn)而通過(guò)調(diào)控增益參數(shù)來(lái)生成所期望的分岔解。值得注意的是，傳統(tǒng)的Hopf-Hopf交互分岔臨界準(zhǔn)則是以特征值的特性來(lái)描述的，而高維系統(tǒng)的特征值一般又無(wú)法解析表示。由此，以往Hopf-Hopf交互分岔的研究通常是通過(guò)參數(shù)逐點(diǎn)取值的數(shù)值方法去試算Jacobi矩陣的特征值及其特性是否滿(mǎn)足分岔臨界準(zhǔn)則，這使得傳統(tǒng)的Hopf-Hopf交互分岔臨界準(zhǔn)則在主動(dòng)控制分析中具有很大局限性。所以，針對(duì)這個(gè)局限性很有必要建立一種不依賴(lài)于特征值計(jì)算的新的Hopf-Hopf交互分岔臨界準(zhǔn)則。

本文基于一類(lèi)三自由度含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)建立的六維Poincaré映射，建立了相應(yīng)映射與傳統(tǒng)Hopf-Hopf交互分岔等價(jià)的顯式臨界準(zhǔn)則。所建立的準(zhǔn)則是由雅克比矩陣的元素組成的一些不等式和等式構(gòu)成的顯式條件，并不依賴(lài)于雅克比矩陣特征值的計(jì)算，這克服了傳統(tǒng)分岔準(zhǔn)則在高維系統(tǒng)中對(duì)Hopf-Hopf交互分岔進(jìn)行主動(dòng)控制存在的局限性。此外，如果直接對(duì)Poincaré映射施加控制，由于碰撞的不連續(xù)特性導(dǎo)致的隱式Poincare映射的特點(diǎn)使得很難反求出原系統(tǒng)相應(yīng)的控制參數(shù)，這給閉環(huán)系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)中帶來(lái)很大的困難，針對(duì)這個(gè)困難，發(fā)展了一種基于原碰撞微分系統(tǒng)的線(xiàn)性反饋控制方法。最后，基于建立的顯式臨界準(zhǔn)則，使用線(xiàn)性反饋控制方法在指定的參數(shù)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了所設(shè)計(jì)的映射Hopf-Hopf交互分岔的環(huán)面解。

1 含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及Poincaré映射

圖1是一個(gè)含間隙的三自由度振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型。質(zhì)量為M1,M2,M3的質(zhì)塊分別由剛度為K1,K2,K3的線(xiàn)性彈簧和阻尼系數(shù)為C1,C2,C3的線(xiàn)性阻尼器聯(lián)接于支承，每個(gè)質(zhì)塊受簡(jiǎn)諧激振力Pisin(ΩT+τ)只作水平方向的運(yùn)動(dòng)(i=1,2,3)。當(dāng)質(zhì)塊M2的振幅較小而未與剛性約束A(或C)接觸時(shí)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)單的線(xiàn)性振動(dòng)。當(dāng)M2的振幅增加到與剛性約束A(或C)發(fā)生接觸碰撞時(shí)，系統(tǒng)作非線(xiàn)性的碰撞振動(dòng)。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過(guò)程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定。

圖1 三自由度含間隙振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 The model of three-degree-of-freedom vibratory system with clearances

這里直接給出無(wú)量綱變換后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。未碰撞階段，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[10]

(1)

碰撞時(shí)刻,質(zhì)塊m2的沖擊方程為

在方程(1)和(2)中，“．”表示對(duì)無(wú)量綱時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)。

令Ψ表示方程(1)的正則模態(tài)矩陣，ω1，ω2和ω3表示無(wú)碰撞情況下振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。通過(guò)模態(tài)疊加法可得到方程(1)的通解如下(i=1,2,3)

(4)

(5)

設(shè)定系統(tǒng)一周期運(yùn)動(dòng)的條件如下：

(8)

2 反控制碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射的Hopf-Hopf交互分岔

2.1 受控系統(tǒng)及其Poincaré映射

對(duì)系統(tǒng)(1)和(2)加線(xiàn)性反饋后的控制系統(tǒng)為

通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到方程(9)的解為

(11)

(12)

(13)

Xk+1=F(μ,ε,Xk)

(14)

2.2Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的顯式臨界準(zhǔn)則

首先給出傳統(tǒng)的映射Hopf-Hopf交互分岔的臨界準(zhǔn)則如下：

(C1) 特征值分布

(C2) 橫截條件

；i=1,2)

這里，分岔參數(shù)μ=(μ1,μ2)∈R2。

(C3) 非共振條件

；m=3,4,…)

那么，映射(14)在分岔點(diǎn)μ=μ0處會(huì)發(fā)生非共振的Hopf-Hopf交互分岔。

定義雅克比矩陣DXF(X*,μ;ε)的特征多項(xiàng)式為

(15)

這里ai=ai(μ,ε)是與分岔參數(shù)μ和控制參數(shù)ε有關(guān)的實(shí)數(shù)，i=1,…，6。

基于特征多項(xiàng)式(15)的系數(shù)，給出Hopf-Hopf交互分岔顯式臨界準(zhǔn)則如下：

命題1：如果映射(14)的雅克比矩陣DXF(X*,μ;ε)的特征多項(xiàng)式(15)在分岔點(diǎn)μ=μ0處滿(mǎn)足下面的條件：

(H1) 特征值分布

1+a6>0

(16a)

1-a6>0

(16b)

(16c)

(16d)

1+a1+a2+a3+a4+a5+a6>0

(16e)

1-a1+a2-a3+a4-a5+a6>0

(16f)

(16g)

(16h)

(16i)

(16j)

(H2) 橫截條件

(17)

這里，Δ(μ)=

(H3) 非共振條件

cos(2π/m),m=3,4,…

(18)

(Q-1-Q1)2-32(Q-1+Q1)+256≥0

那么，映射(14)在分岔點(diǎn)μ=μ0處會(huì)發(fā)生非共振的Hopf-Hopf交互分岔。

證明：(i)條件(H1)與條件(C1)的等價(jià)性

在證明條件(H1)與條件(C1)的等價(jià)性時(shí)會(huì)用到下面的準(zhǔn)則1。設(shè)一個(gè)四次多項(xiàng)式方程為

P(λ)=λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0

(19)

準(zhǔn)則1：對(duì)于四次多項(xiàng)式方程(19)，有兩對(duì)不同的復(fù)共軛特征根同時(shí)位于單位圓上當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：

(a) 由條件(H1)推導(dǎo)出條件(C1)

首先將多項(xiàng)式(15)分解為一個(gè)四次多項(xiàng)式和一個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積

(20)

將多項(xiàng)式(20)展開(kāi)并與多項(xiàng)式(15)作系數(shù)對(duì)比有

(21)

然后利用maple軟件由條件(H1)中的(16i)和(16j)可以推導(dǎo)出b4-1=0和b1-b3=0兩個(gè)條件。將b4=1和b3=b1代入表達(dá)式(21)中并將簡(jiǎn)化結(jié)果a6=c2代入條件(H1)中的(16a)和(16b)可得|c2|<1，再將簡(jiǎn)化結(jié)果a1=b1+c1，a5=c1+b1c2，a6=c2代入(H1)中的(16c)和(16d)有

(22)

再將特征值λ=1代入多項(xiàng)式(15)和(20)有

(23)

同樣將λ=-1代入多項(xiàng)式(15)和(20)有

(24)

基于等式(23)和(24)，由條件(H1)中的(16e)和(16f)并利用推導(dǎo)出的不等式1+c1+c2>0和1-c1+c2>0，容易得到1+b1+b2+b3+b4>0和1-b1+b2-b3+b4>0這兩個(gè)條件。

(b) 由條件(C1)推導(dǎo)出條件(H1)

(ii) 條件(H2)與條件(C2)的等價(jià)性

事實(shí)上,在(H2)中的表達(dá)式[13]

(25)

式中λi和λj是多項(xiàng)式(15)的根。

對(duì)表達(dá)式(25)關(guān)于參數(shù)μi求一次偏導(dǎo)數(shù)有

(26)

再對(duì)表達(dá)式(26)關(guān)于μi求一次偏導(dǎo)數(shù)，可得表達(dá)式(25)關(guān)于參數(shù)μi的二次偏導(dǎo)數(shù)如下

(27)

這里 (·)″表示(·)關(guān)于μi的二次偏導(dǎo)數(shù)。

(28)

將表達(dá)式(28)代入式(27)有

(29)

(30)

(iii) 條件(H3)與條件(C3)的等價(jià)性

(31)

將λ=1和λ=-1代入多項(xiàng)式(31)，可得到下面兩個(gè)方程

(33)

式(33)中還應(yīng)該保證(Q-1-Q1)2-32(Q-1+Q1)+256≥0。下面來(lái)推導(dǎo)Q1和Q-1的表達(dá)式。由式(21)簡(jiǎn)化后的3個(gè)表達(dá)式a1=b1+c1，a5=c1+b1c2和a6=c2可以解得

(34)

(35)

從命題1中的條件(H1)～(H3)可以看出所建立的準(zhǔn)則不依賴(lài)雅克比矩陣特征值的計(jì)算。在下一節(jié)將通過(guò)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證此準(zhǔn)則的有效性。

2.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

選取系統(tǒng)的一組參數(shù)m2=1.5,m3=1,k2=1,k3=1,f10=0,f20=1,f30=0,δ=0.6,R=0.75，以γ和ω為分岔參數(shù)(即,μ=(γ,ω)Τ)。在指定的分岔參數(shù)點(diǎn)μ=μ0=(0.004 3,0.45)Τ處，原系統(tǒng)處于穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng)(對(duì)應(yīng)Poincaré映射上的不變?nèi)?，如圖2所示。

圖2 Poincaré映射上的不變?nèi)ig.2 The invariant circle on the Poincaré map

圖3 控制參數(shù)分岔圖Fig.3 Control parameter bifurcation diagram

圖3中由綠色的細(xì)曲線(xiàn)AB，黃色的曲線(xiàn)BC和綠色的粗曲線(xiàn)CD圍成的空白區(qū)域內(nèi)，(H1)中所有的不等式(16a)～(16h)都成立，而在灰色區(qū)域內(nèi)至少有(H1)中的一個(gè)不等式失敗。紅色曲線(xiàn)m和藍(lán)色曲線(xiàn)n分別由(H1)中的等式(16j)和(16i)得到。兩曲線(xiàn)m和n的兩個(gè)交點(diǎn)為P1和P2。其中P2點(diǎn)雖然滿(mǎn)足等式(16j)和(16i)，但因?yàn)榇它c(diǎn)在灰色區(qū)域內(nèi)并不能保證其他的特征值都位于單位圓內(nèi)，所以可以確定P1點(diǎn)是合理的控制參數(shù)分岔點(diǎn)。此外，青色的曲線(xiàn)l是一條共振曲線(xiàn)，此曲線(xiàn)離分岔點(diǎn)P1比較近，在選取控制參數(shù)時(shí)應(yīng)該避開(kāi)此共振曲線(xiàn)。

在指定的臨界分岔點(diǎn)μ=μ0處，通過(guò)在控制參數(shù)分岔點(diǎn)P1附近選取控制增益v1=0.3和v2=-0.175獲得了Poincaré映射上的Hopf-Hopf交互分岔環(huán)面解，如圖4所示。

圖4 在指定的分岔點(diǎn)μ0=(0.004 3,0.45)T處通過(guò)控制增益v1=0.3和v2=-0.175得到的Poincaré映射上的Hopf-Hopf交互分岔環(huán)面解Fig.4 A torus solution of the created Hopf-Hopf interaction bifurcation on the Poincaré map at μ0=(0.004 3,0.45)T under the control gains v1=0.3 and v2=-0.175

3 結(jié) 論

(1)建立了一類(lèi)高維映射包括特征值分布、橫截條件和非共振條件的Hopf-Hopf交互分岔的顯式臨界準(zhǔn)則。此準(zhǔn)則是由雅克比矩陣相應(yīng)的特征多項(xiàng)式的系數(shù)表示的一系列等式和不等式組成，不需要直接計(jì)算雅克比矩陣的特征值。

(2)在不改變?cè)到y(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)特性的情況下，發(fā)展了一種基于原碰撞微分系統(tǒng)的線(xiàn)性反饋控制方法。

(3)在通過(guò)調(diào)節(jié)控制增益來(lái)反控制此類(lèi)含間隙振動(dòng)系統(tǒng)映射Hopf-Hopf交互分岔的過(guò)程中，相比較傳統(tǒng)的映射Hopf-Hopf交互分岔，此準(zhǔn)則更加的有效和方便。

(4)基于所建立的準(zhǔn)則在指定的參數(shù)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了三自由度含間隙振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的反控制。

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Anti-controlling Hopf-Hopf interaction bifurcations on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance

XUHui-dong1,WENGui-lin2,3,4,WUXin2,ZHANGSi-jin2,3

(1. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China; 3. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 4. Key Laboratory of Advanced Design and Simulation for Special Equipment, Ministry of Education, Hunan University, Changsha 410082, China)

Anti-controlling Hopf-Hopf interaction bifurcation on Poincaré map in a three-degree-of-freedom vibratory system with clearance is addressed in this paper. Firstly, a six-dimensional Poincaré map of the vibro-impact system is established. As the analytical expressions of all eigenvalues of Jacobi matrix for six-dimensional map are unavailable, the classical critical criteria of Hopf-Hopf interaction bifurcation described by the properties of eigenvalues have a great limitation in obtaining control gains. Aiming at the limitation, a new bifurcation criterion including eigenvalue assignment, transversality condition and non-resonance condition is established. The established criteria are equivalent to the classical critical criteria, but they do not depend on eigenvalue computations of Jacobi matrix. Then, for the difficulty of implicit Poincaré map created by discontinuity of vibro-impact motions in anti-control design of bifurcation of the close-loop system, a linear feedback control method is developed. Finally, numerical simulation shows that a torus solution of Hopf-Hopf interaction bifurcation on Poincaré map is created in a desired parameter location and verifies theoretical analysis.

nonlinear vibration; Hopf-Hopf interaction bifurcation; critical criteria of map; anti-controlling bifurcation; vibro-impact system

2013-12-13；

2014-10-14

國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11225212)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11002052，11372101)

O322; TH113

A

1004-4523(2015)06-0952-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.013

徐慧東(1978—)，男，博士，講師。電話(huà)：(0731)88821482;E-mail:xhd0931@126.com

文桂林(1970—), 男，教授。電話(huà)：(0731)88821482; E-mail: glwen@hnu.edu.cn