談二重積分的計算方法

張 輝，李應岐，敬 斌，吳聰偉

(第二炮兵工程大學 理學院，陜西 西安 710025)

談二重積分的計算方法

張 輝，李應岐，敬 斌，吳聰偉

(第二炮兵工程大學 理學院，陜西 西安 710025)

介紹了計算直角坐標的二重積分的五種方法，給出相應的求解思路，并輔以典型例題，旨在使學生對二重積分的計算有更深地理解和掌握.

二重積分；對稱性；第二類曲線積分；定積分

0 引言

二重積分是高等數(shù)學多元函數(shù)積分學的重要內(nèi)容，如何計算二重積分是學習中的重點和難點.教材[1]132-153主要介紹了計算直角坐標的二重積分的三種方法：化為二次積分、化為極坐標的二重積分和換元法.為使學生能夠深刻理解二重積分，下面將再介紹計算直角坐標的二重積分的五種方法，給出相應的求解思路，并輔以典型例題供參考學習，望初學者靈活使用，達到事半功倍、舉一反三的效果.

為了確保二重積分的存在性，我們假設(shè)被積函數(shù)均是連續(xù)或分塊連續(xù).

1 利用對稱性和奇偶性

同時利用積分區(qū)域D的對稱性和被積函數(shù)f(x,y)的奇偶性可簡化某類二重積分的計算.

Ⅰ. 若D關(guān)于y軸(或x軸)對稱，則當f(x,y)關(guān)于x(或y)為奇函數(shù)時，

(x,y)dxdy=0

當f(x,y)關(guān)于x(或y)為偶函數(shù)時，

其中D1為D中位于y軸(或x軸)一側(cè)的部分區(qū)域.

Ⅱ. 若D關(guān)于原點對稱，則當f(x,y)關(guān)于x、y為奇函數(shù)時，

(x,y)dxdy=0

當f(x,y)關(guān)于x、y為偶函數(shù)時，

其中D2為D中位于y軸(或x軸)一側(cè)的部分區(qū)域.

2 利用積分區(qū)域的輪換對稱性

若積分區(qū)域D具有輪換對稱性，即?(x,y)∈D，?(y,x)∈D，則

特別地，當F(x,y)=f(x,y)+f(y,x)時，則有

此時，當f(y,x)=-f(x,y)時，

(x,y)dxdy=0

當f(y,x)=f(x,y)時，

其中D3為D中位于直線y=x一側(cè)的部分區(qū)域.

值得注意的是，對于不具有對稱的區(qū)域D，可以試著將其分割為若干個對稱的區(qū)域，再分別利用對稱性則峰回路轉(zhuǎn)，迎刃而解.

解 由于mxsiny關(guān)于x為奇函數(shù)，且D關(guān)于y軸對稱，則有

注意到函數(shù)kx2+ly2關(guān)于y為偶函數(shù)，若把積分區(qū)域D擴展為整個圓面D1：x2+y2R2，則有

再由D1的輪換對稱性知，

故有

3 利用平面圖形的形心

,

即

,

解 由于2xesiny關(guān)于x為奇函數(shù)，且D關(guān)于y軸對稱，即有

·πR2=πaR2

故有I=πaR2.

4 化為第二類曲線積分

若積分區(qū)域D由分片光滑的閉曲線L所圍成，被積函數(shù)f(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且

(x,y)，k1+k2+k3≠0

則有[2]101-106

其中L是D的正向邊界曲面.

5 元素法

解 任取一點(x,y,z)∈Ω，記該點到坐標原點的距離為r，選取r作為積分變量，則積分區(qū)間為[0,R].任取[r,r+dr]?[0,R]，以半徑為r的圓周作為底邊、dr為高的矩形的面積作為面積元素，則dσ=2πrdr.故有：

如何學好二重積分及其計算方法，這是初學者對于多元函數(shù)積分學首先要面對的問題.要從簡單、基礎(chǔ)的一元函數(shù)積分學轉(zhuǎn)到對高度抽象、復雜的多元函數(shù)積分學的學習中確實有一定的難度，但似乎越難的學科越具有其獨特的魅力，使你不斷地掏出心思去學它、懂它、理解它、體會它，從而真正感到它內(nèi)在的美.若能以“人一能之己十之，人十能之己百之”的精神去投入，就會取得“雖愚必明，雖柔必強”的效果.

[1] 同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學(下冊)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 喻德生. 曲線積分在二重積分中的應用[J].大學數(shù)學，2001,17(3).

[3] 同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學(上冊)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[責任編輯 迎客松]

On Calculation of Double Integrals

ZHANG Hui, LI Yingqi, JING Bin, WU Congwei

(SchoolofScience,theSecondArtilleryEngineeringUniversity,Xi'an710025,China)

Five methods about the double integrals are studied and the relevant examples are solved, which helps the deep understanding.

double integrals; symmetry; line integrals of the second type; definite integrals

2014-06-15

國家自然科學基金項目(項目編號：61132008)；陜西省教育廳科研計劃項目(項目編號：2013JK1098)

張 輝(1982-)，男，河南新鄉(xiāng)人，第二炮兵工程大學講師，主要從事差分方程概周期解研究。

1671-8127(2015)02-0005-03

O172.2

A