一類最值問題的探究與思考

☉浙江省鄞州區(qū)正始中學(xué)張朱艷

一類最值問題的探究與思考

☉浙江省鄞州區(qū)正始中學(xué)張朱艷

最值問題是高考數(shù)學(xué)的常見題型和重要考點(diǎn)·用導(dǎo)數(shù)來解決最值問題，是我們熟悉而又常用的方法·但從2015年起，導(dǎo)數(shù)退出浙江高考數(shù)學(xué)的舞臺，只在自選模塊中考查，這嚴(yán)重阻礙了高考中最值問題的求解·因此，一類不用導(dǎo)數(shù)解決的最值問題，應(yīng)該引起我們的足夠重視·

初次見到本題時，學(xué)生普遍感覺難度大，無從下手·

其實(shí)，在2011年，我們已經(jīng)接觸過非常類似的題目：（2011年高考浙江理科）設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_________·

可為什么學(xué)生又不會呢？

對于此類最值問題，我們又如何做到舉一反三、觸類旁通呢？

下面以2011年高考浙江理科的這道題為例，談?wù)勅绾谓鉀Q這類最值問題·

一、鼓勵多解

學(xué)生解題時常會按習(xí)慣了的單一思路去思考數(shù)學(xué)問題，高三復(fù)習(xí)中要鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生從多側(cè)面、多角度思考問題，挖掘問題的實(shí)質(zhì)·

解法2：利用函數(shù)思想·

（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy，所以要求2x+y的取值范圍，只需求出xy的取值范圍·

二、引導(dǎo)多悟

做完試題要及時進(jìn)行總結(jié)反思，因?yàn)榻忸}的價值不是答案本身，而在于弄清“問題的本質(zhì)是什么？”“是怎樣想到這個解法的？”“是什么促使你這樣想、這樣做的？”，這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程·

顯然由本題的條件4x2+y2+xy=1，知4x2+xy+y2-1=0.

Δ=12-4×4×1=-15＜0·

所以方程4x2+y2+xy=1所表示的曲線為橢圓，本題的本質(zhì)為橢圓4x2+y2+xy=1與動直線t=2x+y有公共點(diǎn)，求t的最大值·顯然當(dāng)直線與橢圓相切時，t取得最大值

一道數(shù)學(xué)試題能否解得順利，富有創(chuàng)意，甚至正確與否，常常取決于能否發(fā)現(xiàn)和利用好題目中的潛在信息·那么潛在信息潛在哪里？又該如何挖掘與利用呢？一般地，（1）信息潛在題設(shè)的條件中；（2）信息潛在題設(shè)的結(jié)構(gòu)中；（3）信息潛在問題的背景中；（4）信息潛在所求的結(jié)論中·

解法1因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)這是兩個變量的和與積關(guān)系的最值問題，所以想到了利用重要不等式；解法2因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論中有平方關(guān)系，所以想到了利用函數(shù)思想；解法3因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)兩個變量問題求最值關(guān)鍵是減少變量，所以想到了利用參數(shù)方程；解法4因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)只是研究與“二次”有關(guān)的不等問題，所以想到了“Δ”·

于是，我們不難得出引題的解法·（略）

一題多解的目的是通過思想方法的逐一呈現(xiàn)，從學(xué)生最易上手的方式、方法入手，逐步逐級給予引導(dǎo)和批判，不畏艱難，不斷優(yōu)化解題思維品質(zhì)，從而最終達(dá)到提升自身解題的能力·

三、學(xué)會多變

在保持問題的本質(zhì)不變的條件下，適當(dāng)?shù)馗淖冊囶}的條件和結(jié)論進(jìn)行變式，利于學(xué)生由淺入深地研究問題，利于學(xué)生感悟試題考查的知識點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，徹底地從題海中走出來，從而減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率·

基于2011年這道高考題的本質(zhì)是：圓錐曲線與直線有公共點(diǎn)，求動直線在y軸上的截距，有以下變式·

變式1：設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy≤1，則2x+y的取值范是圍是_________·

本題的本質(zhì)是動直線與橢圓所包含的區(qū)域有公共點(diǎn)，求參數(shù)t的取值范圍·

變式2：設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若x2+4xy+y2=1，則2x+y的取值范圍是_________·

本題的本質(zhì)是動直線與雙曲線有公共點(diǎn)，求參數(shù)t的取值范圍·

變式3：設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若x2-4xy+4y2+x+y=1，則2x+y的取值范圍是_________·

本題的本質(zhì)是動直線與拋物線有公共點(diǎn)，求參數(shù)t的取值范圍·

參考答案：［1，+∞）·

變式5：設(shè)m、x、y為實(shí)數(shù)，滿足mx+y=5，且4x2+y2+ mxy=1，則m的取值范圍是_________·

本題的本質(zhì)是二次曲線與動直線有公共點(diǎn)，求直線方程與二次曲線方程所對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍·

基于2011年這道高考題的實(shí)施方法是：運(yùn)用重要不等式，有以下變式·

變式6：設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，若2x+y+6=xy，則xy的最小值是_________·

參考答案：18·

變式7：設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，若x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是_________·

參考答案：4·

變式8：設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，若x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是_________·

參考答案：5·

對于這一類最值問題的解決，一般有以上幾種解法與變式·

同時，我們看到：解題教學(xué)的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生從多角度分析問題，用多途徑解決問題的能力；解題教學(xué)不能“太匆匆”，對于某些數(shù)學(xué)問題，教師要通過簡明審題來把問題尋解的過程暴露給學(xué)生，使學(xué)生既“知其然”又“知其所以然”，使學(xué)生在遇到相關(guān)問題時，能迅速找到解題的突破口·

1·黃加衛(wèi)·構(gòu)造性解題方法的幾點(diǎn)注記［J］·數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005（11）·

2·劉丹·波利亞數(shù)學(xué)教育思想對我國數(shù)學(xué)教育改革的啟示［J］·理工高教研究，2003（6）·

3·康武·波利亞與數(shù)學(xué)教育［J］·中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（5）·A