廣義Rosenau-Kawahra方程的一個線性守恒差分格式

陳 濤, 胡勁松(西華大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610039 )

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廣義Rosenau-Kawahra方程的一個線性守恒差分格式

陳 濤, 胡勁松*
(西華大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610039 )

對一類廣義Rosenau-Kawahara方程的初邊值問題進行數(shù)值研究，提出一個三層線性差分格式，格式合理地模擬問題的一個守恒性質(zhì)，得到了差分解的先驗估計，利用離散泛函分析方法分析差分格式的二階收斂性與無條件穩(wěn)定性，并利用數(shù)值算例進行驗證.

廣義Rosenau-Kawahara方程; 有限差分格式; 守恒; 收斂性; 穩(wěn)定性

為描述緊離散系統(tǒng)和模擬無線電及計算機領(lǐng)域中通過一個L-C流程的長鏈傳輸線模型，Rosenau方程[1-2]

ut+uxxxxt+ux+uux=0,

(1)

一經(jīng)提出，就引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[3-7].但作為對非線性波的進一步考慮，需要對Rosenau方程(1)添加粘性項+uxxx和-uxxxxx，得到了Rosenau-Kawahara方程

ut+uxxxxt+ux+uxxx-uxxxxx+uux=0,

(2)

文獻[8]討論了方程(2)的孤波解和周期解，文獻[9-10]又進一步給出了一類廣義Rosenau-Kawahara方程的孤波解和2個守恒量.目前為止，僅有文獻[11]對Rosenau-Kawahara方程(2)的定解問題進行過數(shù)值方法研究.

本文考慮如下一類廣義Rosenau-Kawahara方程初邊值問題：

ut+uxxxxt+ux+uxxx-uxxxxx+(up)x=0,

x∈(xL,xR),t∈(0,T],

(3)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR],

(4)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,

u(xL,t)x=u(xR,t)x=0,

u(xL,t)xx=u(xR,t)xx=0,t∈(0,T],

(5)

其中,p≥2為整數(shù)，u0(x)是一個已知的光滑函數(shù).問題(3)～(5)具有如下守恒律[10-11]

(6)

本文對問題(3)～(5)提出了一個3層線性差分格式，格式合理地模擬了問題的守恒量(6)，且該格式是線性的，數(shù)值計算時不需要迭代，計算時間比較節(jié)約[12].

1 差分格式及其守恒律

xj=xL+jh, 0≤j≤J,

在本文中記

|u-2=u-1=

u-0=uJ=uJ+1=uJ+2=0,

n=-2,-1,0,…,J,J+1,J+2},

用C表示一般正常數(shù)(即在不同地方可以有不同的取值)，并定義如下記號：

‖Un‖2=Un,Un,

(7)

(8)

n=0,1,2,…,N,

(9)

差分格式(7)～(9)對守恒律(6)的數(shù)值模擬如下.

‖Un+1‖2+‖Un‖2+

(10)

(11)

其中

由邊界條件(9)和分部求和公式[12-15]得

=0,=0,

(12)

(13)

將(12)、(13)式帶入(11)式后，遞推即可得(10)式.

2 差分格式收斂性和穩(wěn)定性

差分格式(7)～(9)的截斷誤差為

(14)

由Taylor展開，可知當(dāng)h,τ→0時，

).

‖u‖L2≤C, ‖ux‖L2≤C,

‖uxx‖L2≤C, ‖u‖L∞≤C,

‖ux‖L∞≤C.

證明 由(6)式有

‖u‖L2≤C, ‖uxx‖L2≤C,

再利用Cauchy-Schwarz不等式有

‖ux‖L2·‖uxx‖L2≤

最后由Sobolev不等式得

‖u‖L∞≤C, ‖ux‖L∞≤C.

‖U‖≤C, ‖Ux‖≤C,

‖Uxx‖≤C, ‖U‖∞≤C,

‖Ux‖∞≤C.

證明 由定理1有

‖U‖≤C, ‖Uxx‖≤C,

再由分部求和公式[12-15]及Cauchuy-Schwarz不等式有

再由離散Sobolev不等式[16]得：

‖U‖∞≤C, ‖Ux‖∞≤C.

注 1 定理2表明，差分格式(7)～(9)的解Un以‖·‖∞無條件穩(wěn)定.

(15)

(16)

類似于(12)式有

=0,=0,

(17)

再由引理1，定理2以及Cauchy-Schwarz不等式有

=

(‖en-1‖2+‖en‖2+‖en+1‖2+

(18)

(19)

(20)

則將(17)～(20)式代入(16)式整理有

‖en‖2+‖en-1‖2).

(21)

令

對(21)式兩邊乘以2τ,然后從1到N求和得

‖

先用兩層的二階方法(如C-N格式)先計算出U1，使之滿足：B0=O(τ2+h2)2,又

‖rn‖2≤

則由離散的Gronwall不等式[16]可得

BN≤O(τ2+h2)2,

即

‖eN‖≤O(τ2+h2),

再由(19)式，可以推得

最有由離散Sovolev不等式[16]有

‖eN‖∞≤O(τ2+h2).

3 數(shù)值實驗

對初邊值問題(3)～(5)考慮p=3和p=5兩種情形進行數(shù)值實驗.當(dāng)p=3時，方程(3)的孤波解[9-10]為

當(dāng)p=5時，方程(3)的孤波解[9-10]為

在計算中，取初值函數(shù)u0(x)=u(x,0)，固定

xL=-80,xR=120,T=40.

就τ和h的不同取值對數(shù)值解和孤波解在幾個不同時刻的誤差見表1；格式對守恒量(6)的數(shù)值模擬見表2.

表 1 數(shù)值解和孤波解在不同時刻的誤差

表 2 格式對守恒量En的數(shù)值模擬

從表1和表2可以看出，差分格式(7)～(9)明顯具有二階精度，且合理地模擬了守恒量(6)，所以該格式是可靠的.

致謝 西華大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(YCJJ2014033)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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2010 MSC：65N12; 65M12; 65N06

(編輯 陶志寧)

A Conservative Linear Difference Schemes of Generalized Rosenau-Kawahara Equation

CHEN Tao, HU Jinsong
(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039,Sichuan)

A linear three-level conservative difference scheme for the numerical solution of the initial-boundary value problem of generalized Rosenau-Kawahara equation is proposed. The difference scheme simulates two conservative quantities of the problem well.The prior estimation of the finite difference solution is obtained. It is proved that the finite difference scheme is convergent with second-order and unconditionally stable by discrete functional analysis method. Numerical experiments verify the theoretical results.

generalized Rosenau-Kawahara equation; finite difference scheme; conservation; convergence; stability

2014-06-29

四川省基礎(chǔ)應(yīng)用研究項目基金(2013JY0096)

O241.82

A

1001-8395(2015)06-0884-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.018

*通信作者簡介：胡勁松(1973—),男,教授,主要研究方向為微分方程數(shù)值解,E-mail:hjs888hjs@163.com