高等數(shù)學中函數(shù)極限的求法分析

【摘 要】微積分建立在實數(shù)、極限、函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過19世紀柯西與維爾斯特拉斯的極限理論以及康托爾的實數(shù)理論，形成當前嚴密化的微積分知識。函數(shù)極限是微積分知識的基礎(chǔ)，本文主要分析了高等數(shù)學中函數(shù)極限的求法。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限 微積分 求法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）11-0082-02

在高等數(shù)學中，極限作為微積分學的基礎(chǔ)，貫穿微積分的始終。學生要掌握好計算極限的方法，實際解題中函數(shù)極限的求法是多種多樣的，以下做具體介紹。

一 函數(shù)極限問題

函數(shù)極限理論作為微積分學的理論基礎(chǔ)，貫穿高等數(shù)學的整個教學過程，學生只有掌握函數(shù)極限求法，才能學好高等數(shù)學。函數(shù)極限有很多種求法，如洛必達法則、泰勒公式、級數(shù)收斂性、Stolz公式等，學生在實際解題中要根據(jù)高等數(shù)學題的實際情況，運用適當?shù)奈⒎e分方法，不僅可以及時找到問題的突破口，還可以舉一反三地解決問題。

二 函數(shù)極限求法

1.洛必達法則求函數(shù)極限

在函數(shù)極限問題的求解中，洛必達法則多用來求不定式極限，要求在點的空心鄰域內(nèi)兩者都可導，且作分母的函數(shù)的導數(shù)不為零。

內(nèi)必須滿足洛必達法則的條件。同時，在教學中也可以根據(jù)高等數(shù)學教學內(nèi)容，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限問題、分析解決函數(shù)極限問題，提升學生的自主學習能力。

2.泰勒公式求函數(shù)極限

可以結(jié)合學生興趣以及教學大綱，以個性化、合理化、智能化的手段，對學生進行教學；教學中，對于知識點應(yīng)該是循序漸進的，使學生在教師引導下，借助多媒體的形象直觀，共同完成問題的抽象算法構(gòu)建，創(chuàng)設(shè)問題情景，使學生能夠感受函數(shù)極限問題的內(nèi)涵，提升學生的學習積極性。

例2：求極限 。

分析：當x→0時，此函數(shù)為 型未定式，滿足洛必達

法則求極限。若直接用洛必達法則就會發(fā)現(xiàn)計算過程十分復雜，稍不注意就會出錯。先用泰勒公式將分子展開，再求極限就會簡潔得多。求函數(shù)極限中，可以根據(jù)實際問題需求，靈活運用解題方法，可以幾種方法聯(lián)合運用，尋找并總結(jié)解題規(guī)律。

從學生主體出發(fā)，減少學生對于函數(shù)極限求解知識的生疏，在合理的范圍內(nèi)綜合函數(shù)極限求解知識，加強綜合應(yīng)用，適度深化高等數(shù)學函數(shù)極限習題，把新舊知識巧妙組合，使學生可以看到相關(guān)性，真正體現(xiàn)高等數(shù)學中函數(shù)極限教學的價值。

3.定積分求函數(shù)極限

在高等數(shù)學函數(shù)極限中，若f（x）在[a，b]上可積，則可對[a，b]用某種特定的方法并取特殊的點，所得積分和的極限就是f（x）在[a，b]上的定積分。因此，遇到求一些和式的極限時，若能將其轉(zhuǎn)化為某個可積函數(shù)的積分和，就可用定積分求此極限。這是求和式極限的一種方法。

例3：求極限 。

4.級數(shù)收斂求函數(shù)極限

給出一數(shù)列un，對應(yīng)一個級數(shù) ，若能判定此級數(shù)收斂，則必有 。由于判別級數(shù)收斂的方法較多，因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較為方便。教師引導學生對函數(shù)極限題型知識點進行總結(jié)歸納，加強學生對函數(shù)極限題型解題思路的記憶，使學生對函數(shù)極限知識點運用更加靈活；引導學生將函數(shù)極限難題化繁為簡，找準解函數(shù)極限題思路，提高高等數(shù)學教學效率。

例4：如果a是在數(shù)列（0，1）中的一個數(shù)，如果要證明滿足下面遞推公式xn-1=axn+（1-a）xn-1中的任何實數(shù)序列{xn}都應(yīng)該有一個極限，并求出可以用a，x0及x1表示出來的極限。

極限是建立連續(xù)、導數(shù)、積分以及無窮級數(shù)的基礎(chǔ)，分析高等數(shù)學的函數(shù)極限問題，提升學生求解能力，是高等數(shù)學微積分教學中的關(guān)鍵?？偨Y(jié)分析求函數(shù)極限的方法，幫助學生解決求各類函數(shù)極限的問題，在實際求函數(shù)極限時，也可以多種方法綜合運用，提升函數(shù)極限解題能力。

三 結(jié)論

綜上所述，在高等數(shù)學函數(shù)極限教學中，應(yīng)該創(chuàng)新教學方法，使學生對函數(shù)極限有更加深入的認識，能夠從多種角度實現(xiàn)解題轉(zhuǎn)化，使學生具備解答函數(shù)極限問題的能力，提升高等數(shù)學微積分教學質(zhì)量。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕〕