用增補(bǔ)變量法求二維連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的計(jì)算技巧

【摘 要】二維連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的計(jì)算是概率論教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，更是一個(gè)難點(diǎn)，其中增補(bǔ)變量法是一個(gè)簡(jiǎn)潔明了易掌握的方法，但學(xué)生不能準(zhǔn)確確定聯(lián)合密度函數(shù)的積分區(qū)域，本文針對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了確定積分區(qū)域的方法。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)隨機(jī)變量 密度函數(shù) 增補(bǔ)變量法

【中圖分類號(hào)】O211.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）10-0014-02

一 引言

求二維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)是概率論中的一個(gè)重要內(nèi)容，由于變量分布的差異性，如何求又是一個(gè)難題，一般沒(méi)有統(tǒng)一的公式可循。一般教材中介紹了常用的方法，即先求分布函數(shù)，然后對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)就得密度函數(shù)，但計(jì)算比較麻煩，學(xué)生掌握困難很大。變量變換法和增補(bǔ)變量法相對(duì)于常用方法而言，計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)捷。其中變量變換法許多學(xué)者都有研究，而增補(bǔ)變量法甚少提及，總結(jié)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生難以掌握這部分內(nèi)容的精髓，運(yùn)用起來(lái)容易犯錯(cuò)，特別表現(xiàn)在確定被積函數(shù)的積分區(qū)域上，本文針對(duì)這個(gè)問(wèn)題理清了一個(gè)簡(jiǎn)單通用的確定方法。

二 增補(bǔ)變量法

增補(bǔ)變量法實(shí)質(zhì)上是變量變換法的一種應(yīng)用：為了求出二維連續(xù)隨機(jī)變量（X，Y）的函數(shù)Z=g（X，Y）的密度函數(shù)，增補(bǔ)一個(gè)新的隨機(jī)變量V=h（X，Y）。先用變量變換法求出（Z，V）的聯(lián)合密度函數(shù)pZV（z，v），再對(duì)pZV（z，v）關(guān)于v積分，從而得到關(guān)于Z的邊際密度函數(shù)pZ（z）。

問(wèn)題：（1）如何增補(bǔ)新隨機(jī)變量？（2）如何確定p（z，v）中v的積分區(qū)域？

由例題可以看出，只要掌握了增補(bǔ)變量和確定積分區(qū)域的技巧，增補(bǔ)變量法是一個(gè)極易掌握而且便于計(jì)算的方法。

增補(bǔ)變量法將比較難求的多維連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求變換后的兩個(gè)變量的聯(lián)合密度函數(shù)，然后利用聯(lián)合密度函數(shù)與邊際密度函數(shù)之間的關(guān)系，積分求出要求的變量的密度函數(shù)。相對(duì)于常用方法，可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕