數(shù)學(xué)解題中的聯(lián)想和探索

【摘""要】在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，抓住典型例題進(jìn)行深入講解，可啟發(fā)學(xué)生對例題的思考，探索更多更深層次的結(jié)論和方法。解完一題后應(yīng)善于聯(lián)想，探索能否在保持已知條件不變的情況下得出更深刻的結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)""聯(lián)想""探索

【中圖分類號】G712"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2015）13-0174-02

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，抓住典型例題進(jìn)行深入講解，可啟發(fā)學(xué)生對例題的思考，探索更多更深層次的結(jié)論和方法。步步深入，層層推出，既使知識達(dá)到一定的高度，又可降低知識的坡度，既加深豐富了所學(xué)知識，又可培養(yǎng)學(xué)生的思維，能更有效地提高教學(xué)效果。

此外，解完一題后應(yīng)善于聯(lián)想，探索能否在保持已知條件不變的情況下得出更深刻的結(jié)論。這樣的探索對于培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的精神及創(chuàng)造性思維是大有裨益的。

下面略舉幾例，期望能起到舉一反三、觸類旁通的作用。

例1，計(jì)算（ctg3°-1）（1-ctg42°）的值。

解：（ctg3°-1）（1-ctg42°）=（ctg3°-1）[1-ctg（45°-3°）]

=（ctg3°-1）（1-）

=（ctg3°-1）·=-2。

以上解法利用了42°+3°=45°且ctg45°=1的特點(diǎn)，那么我們可以利用這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行探索、聯(lián)想。

探索1：（ctg4°-1）（1-ctg41°）=-2（證略）。

探索2：若x+y=45°，則（ctgx-1）（1-ctgy）=-2。

證：左=（ctgx-1）[1-ctg（45°-x）]=（ctgx-1）

[1-]

=ctgx-ctg45°-ctgxctg45°-1=-2=右

探索3：（1-ctg1°）（1-ctg2°）（1-ctg3°）…（1-ctg44°）=（-1）22（-2）22=222（證略）。

上述解法主要利用了x+y=45°及ctg45°=1的特點(diǎn)，同時(shí)ctg（180°+45°）=ctg45°=1，因此有下面的探索。

探索4：若x+y=225°，則（ctgx-1）（1-ctgy）=-2（證略）。

進(jìn)而有下面的探索。

探索5：若x+y=k·180°+45°（k∈z），則（ctgx-1）（1-ctg"y）=-2（證略）。

若將探索5的條件與結(jié)論倒過來，是否成立呢？因此有下面的探索。

探索6：若（ctgx-1）（1-ctg"y）=-2，則x+y=k·180°+45°（k∈z）。

證：只證ctg（x+y）=1即可。

事實(shí)上，由條件知ctgx-ctgxctgy-1+ctgy=-2，所以ctgx+ctgy=ctgxctgy-1。

從而ctgx+ctgy≠0，否則條件不成立，所以，

即ctg（x+y）=1。

我們將探索5的結(jié)論變?yōu)閇-ctg（-x）-1][1+ctg（-α）]=-2。

由x+y=k·180°+45°，知-x+（-y）=-k·180°-45°。

若令α=-x，β=-y，n=-k，則又可得到下面的探索。

探索7：若α+β=n·180°-45°（n∈z），則有（-ctgα-1）（1+ctgβ）=-2。

同樣想到將探索7的條件與結(jié)論倒置，因此有下面的探索。

探索8：若（-ctgα-1）（1+ctgβ）=-2，則α+β=n·180°-45°（n∈z）（證略）。

例2，設(shè)x≥0，y≥0，z≥0且x+y+z=1。

求證：。

證明：∵x≥0，y≥0，z≥0

教學(xué)實(shí)踐證明，教學(xué)中抓住典型例題，探索其蘊(yùn)藏的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，加以改進(jìn)、發(fā)展、延伸，既能強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識、運(yùn)算能力和思維能力，又能使學(xué)生學(xué)得主動(dòng)、靈活。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕