函數(shù)對稱性的探究

【摘 "要】函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，其中既有函數(shù)自身的對稱性又有不同函數(shù)之間的對稱性，性質(zhì)結(jié)論復(fù)雜且繁多，既是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點，也是高考考查的重點，廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中。筆者通過對函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性兩個方面的探討和歸納，希望能對讀者有所幫助。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)對稱性 "周期性 "內(nèi)部對稱 "外部對稱

【中圖分類號】G632 " " " "【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A " " " " 【文章編號】1674-4810（2015）30-0096-02

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。筆者擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。

一 函數(shù)自身對稱性的探究

定理1，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b。

證明：（必要性）在y=f（x）圖像上任取一點P（x，y），則點P（x，y）關(guān)于點A（a，b）的對稱點P’（2a-x，2b-y），點P’也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=

f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b。

（充分性）在y=f（x）圖像上任取一點P（x0，y0），則y0=f（x0）

∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0） 。

故點P’（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P’關(guān)于點A（a，b）對稱。

特別的：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。

定理2，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是：

f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）（證明留給讀者）

若寫成：f（a+x）=f（b-x），函數(shù)y=f（x）關(guān)于

直線 對稱。

特別的：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）。

定理3，（1）若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。（2）若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。（3）若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。

以下給出（1）的證明：

證明：函數(shù)y=f（x）的圖像同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱，則f（2a+x）+f（-x）=2c，f（2b-x）+f（x）=2c。

所以f[2（a-b）+x]=f[2a+（-2b+x）]

=2c-f[-（-2b+x）]=2c-f（2b-x）=2c-[2c-f（x）]=f（x）

所以2|a-b|是它的一個周期。

讀者可試證（2）（3）。

應(yīng)用舉例：

例1，（2009全國卷）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（ " ）

A.f（x）是偶函數(shù) " " " "B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2） " " "D.f（x+3）是奇函數(shù)

解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)

∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1）

∴函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）及點（-1，0）對稱，函數(shù)f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函數(shù)

∴f（x+3）=f（x-1+4）=f（x-1）=-f（-x-1）=-f（-x-1+4）=-f（-x+3）

∴f（-x+3）=-f（x+3），即f（x+3）是奇函數(shù)。故選D。

例2，設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f（10-x）=f（10+x）與f（20-x）=-f（20+x），則f（x）是（ " ）

A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)。

B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)。

C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)。

D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)。

解：T=4|a-b|=4|20-10|=40

∴f（-x）=f（-x+40）=f[10+（30-x）]=f[10-（30-x）]=f（x-20）=f（x-20+40）=f（x+20）=-f（20-x）=-f[10+（10-x）]=-f[10-（10-x）]=-f（x）

所以為奇函數(shù)。故選C。

例3，函數(shù) ，（1）證明函數(shù)的圖像關(guān)于

（-1，-1）對稱。（2）求f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（0）+f（1）+f（2）的值。

解：因為 ，由 的對稱

中心（0，0），平移可得 對稱中心（-1，-1），

由命題3知，f（x）+f（-x-2）=-2。

則f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（0）+f（1）+f（2）=3×[f（-2）+f（0）]=3×（-2）=-6。

二 不同函數(shù)對稱性的探究

定理1，函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點A（a，b）成中心對稱。

定理2，函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。

現(xiàn)證定理1：

證明：設(shè)點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0）。點P（x0，y0）關(guān)于點A（a，b）的對稱點為P’（2a-x0，2b-y0），此點坐標(biāo)滿足y=2b-f（2a-x），顯然點P’（2a-x0，2b-y0）在y=2b-f（2a-x）的圖像上。

同理可證：y=2b-f（2a-x）圖像上關(guān)于點A（a，b）對稱的點也在y=f（x）的圖像上。

特別的：函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖像關(guān)于直線y軸對稱。

應(yīng)用舉例：

例4，函數(shù)y=f（x+1）與函數(shù)y=f（3-x）的圖像關(guān)于__________對稱。

解：由命題1知，兩函數(shù)圖像關(guān)于 ，即

關(guān)于直線x=1對稱。

例5，若方程f（3+2x）=0有三個根，則方程f（1-2x）=0有_____個根，兩方程所有的根之和為______。

解：設(shè)y1=f（3+2x），設(shè)y2=f（1-2x），由推廣1

知，兩函數(shù)圖像關(guān)于 對稱，故兩函數(shù)圖像

與x軸交點個數(shù)相同，方程f（1-2x）=0也有三個根，

這六個跟之和為 。

三 三角函數(shù)圖像的對稱性

函數(shù) 對稱中心坐標(biāo) 對稱軸方程

y=sin x （kπ，0） x=kπ+π/2

y=cos x （kπ+π/2，0） x=kπ

y=tan x （kπ/2，0） 無

注：上表中k∈Z

應(yīng)用舉例：

例6，函數(shù)y=3sin（ ）的對稱中心是________。

解：由 =kπ，k∈Z得 +kπ。

∴x= +2kπ，k∈Z?！鄬ΨQ中心是（ +2kπ，0）。

例7，（92全國高考理）函數(shù)y=sin（2x+ ）的

圖像的一條對稱軸的方程是（ " ）

A.x= " B.x= " C.x= " D.x=

解：函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖像的所有對稱軸的

方程是2x+ =kπ+

∴x= -π，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=

，故選（A）。

練習(xí)：1.若函數(shù)f（x）=x2+bx+c對一切實數(shù)都有f（2+x）=f（2-x），則（ " ）

A.f（2）

C.f（2）

2.函數(shù)y=f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ " ）

A.f（1）

C.f（ ）

3.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）3對任意實數(shù)x都有f（2+x）=-f（2-x），則f（3）+f（-3）=（ " ）

A.-124 " "B.124 " "C.-56 " "D.56

4.函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（12-x）=f（x），方程f（x）=0有n個實數(shù)根，這些實數(shù)根的和為1992，那么n為（ " ）

A.996 " " "B.498 " " "C.332 " " D.116

5.函數(shù)y=f（x）對一切x滿足f（x+a）=f（b-x）（1）若方程f（x）=0恰有2n（n∈N*）個根，則這些根的和為多少？（2）若方程恰2n+1（n∈N*）個根，則這些根的和為多少？

6.設(shè)f（x）=x2+1，若g（x）的圖像與y=f（x+2）的圖像關(guān)于點（1，1）對稱，求g（x）。

〔責(zé)任編輯：林勁、李婷婷〕