淺析數(shù)形結合

【摘 "要】數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老、最基本的元素，所有的數(shù)學問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的。每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關系，而數(shù)量關系又常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性做出形象的描述。因此，數(shù)形結合是數(shù)學學習中一種重要的數(shù)學思想方法。

【關鍵詞】數(shù)形結合 "高中數(shù)學 "解決問題 "注意點

【中圖分類號】G632 " " " "【文獻標識碼】A " " " " 【文章編號】1674-4810（2015）30-0092-03

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的一門學科，所以數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要方法?！靶问菙?shù)的翅膀，數(shù)是形的靈魂”，所謂數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化解決問題的一種重要的思想方法。它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一方面是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的;另一方面是借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的。其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，將代數(shù)問題與圖形相互轉(zhuǎn)化，從而使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化。下面我就數(shù)形結合在高中數(shù)學教學中解決的問題，及在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時的注意點，談些粗淺認識。

一 數(shù)形結合在高中數(shù)學教學中解決問題

例3， 解決集合問題

在處理集合運算時，常常借助于數(shù)軸對集合間關系加以判斷，對集合的交、并、補等進行運算;一般借助韋恩圖來處理抽象集合間關系的判斷、運算，通過畫韋恩圖表示出各集合，可以直觀形象地表現(xiàn)出各部分數(shù)量間的關系 ，從而使抽象問題簡單形象化，很快找到問題的答案，使運算快捷明了，而且又不易出錯，學生易于理解掌握。

例：已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B。

分析：對于這兩個有限集合，我們將它們在數(shù)軸上表示出來，就可以很清楚的知道結果。由圖我們不難得出A∩B=[0，3]。

2.解決函數(shù)問題

借助于函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的數(shù)學方法。通過函數(shù)圖像的幾何特征（函數(shù)圖像在同一坐標系中分布及圖像的延伸趨勢和圖像伸展“速度”）與數(shù)量特征（變量的取值范圍及參數(shù)的取值）緊密結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法。如在研究指數(shù)函數(shù)y=ax（a大于0且a不等于1）的圖像和性質(zhì)時，就是給a取不同的值，引導學生在同一坐標系中做出相應函數(shù)的圖像，通過觀察圖像從而歸納得出指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)。在討論函數(shù)的值域（或最值）時，先求解變量的取值范圍，再運用數(shù)形結合思想，將數(shù)與形等價轉(zhuǎn)化，既考查了學生的化歸轉(zhuǎn)化能力，又培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力，是函數(shù)教學中的一項重要內(nèi)容。

3.解決方程與不等式問題

在處理方程問題時，把求方程的根的問題看作求兩個函數(shù)圖像的交點問題，通過作圖可以很快得到問題的答案，這就是把代數(shù)與幾何有機地結合起來，使問題的解決得到簡化。對于一些比較復雜的方程使用常規(guī)的方法無法求解，如果采用數(shù)形結合思想，可以使問題得到解決。如：求方程x2=2x的根的個數(shù)時，引導學生方程兩邊分別對應兩個y=x2與y=2x函數(shù)，然后讓學生在同一坐標系下作出這兩個函數(shù)的圖像，通過觀察函數(shù)圖像的交點個數(shù)，學生便可很快求得方程根的個數(shù)。在整個解題過程中，讓學生體會了將方程的根與函數(shù)圖像的交點相互轉(zhuǎn)化的方法，用到了化歸轉(zhuǎn)化的思想，同時又訓練的學生作圖、讀圖、識圖的能力，使學生的思維得到了很好的訓練。

在處理不等式時，聯(lián)系相關函數(shù)，數(shù)形結合，著重分析其幾何意義，從圖形上來尋找解決問題的思路。如在學習一元二次不等式的解法時，從具體的二次函數(shù)與一元二次方程的關系出發(fā)，利用二次函數(shù)圖像的直觀性，數(shù)形結合借助方程的根是二次函數(shù)的兩個零點，引導學生觀察二次函數(shù)的圖像上任一點橫縱坐標的變化，歸納出一元二次不等式解集的求法。在此過程中，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要性。

4.解決三角函數(shù)問題

單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀性，可以使學生更好地理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，在學習余弦函數(shù)圖像時，通過平移三角函數(shù)線來描點，準確快捷，使學生更好地體會數(shù)形結合的思想。有關三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、比較三角函數(shù)值的大小、求解簡單的三角不等式等問題時，一般要借助于單位圓中的三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來處理，所以數(shù)形結合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。

5.解決線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題是在線性約束條件下求解目標函數(shù)的最值問題。解決線性規(guī)劃問題時，利用圖解法求目標函數(shù)的最值，就是通過觀察目標函數(shù)在坐標軸上截距的變化，從而找到目標函數(shù)的最優(yōu)解，從而使問題得到解決。

6.解決數(shù)列問題

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結合的思想研究數(shù)列問題就是借助函數(shù)的圖像進行直觀的分析，從而把數(shù)列的有關問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關問題來解決。如在等差數(shù)列中，借助二次函數(shù)的圖像幫助學生理解等差數(shù)列前n項和的最值及取到最值時n的值。

7.解決解析幾何問題

平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結合的學科，其基本思想就是數(shù)形結合，就是用代數(shù)方法（坐標法）解決幾何問題。在此過程中，讓學生不斷體會數(shù)形結合的思想，數(shù)形結合的思想應貫穿平面解析幾何的始終。用方程表示直線、曲線以及直線與曲線的位置關系等;幾何問題代數(shù)化，用數(shù)量關系表示空間形式、位置關系等，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化與整合。教學中應注意“數(shù)”與“形”的有效結合，將幾何量之間的關系運用代數(shù)式及方程來表示，并根據(jù)方程的理論進行了由數(shù)到形的探究。例如：已知曲線x2+y2=2（y大于0）與直線y=x+b有兩個交點，一個交點，無交點分別求b的取值范圍。這時用代數(shù)方法求解需考慮y的范圍，求解過程相對復雜，相反利用數(shù)形結合教師引導學生在坐標系下畫出曲線，讓動直線y=x+b在坐標系下平行移動，觀察移動過程中直線與曲線的交點情況，找到問題的答案，從而使問題變得簡單，容易解決。

8.解決向量、幾何問題

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，是一個很好的數(shù)形結合的重要工具;向量有著深刻的幾何背景，向量的運算及運算定律有明顯的幾何意義，是解決幾何問題的有力工具。如利用空間向量解決立體幾何中的平行與垂直關系的判斷與證明;利用空間向量求異面直線所成的角的線面角。

二 運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時要注意的問題

在解題時，運用數(shù)形結合思想適當?shù)貙ⅰ皵?shù)”與“形”的問題相互轉(zhuǎn)化解決問題時，往往能使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，避免了繁雜的計算、證明等，獲取出奇制勝的解法，達到事半功倍的效果。然而，它并不是萬能的，我們在依賴圖形的直觀形象來解題時，不能馬虎應付，更不能潦草作圖。因此，我們在用數(shù)形結合解決具體問題時，應注意以下這幾個主要問題。

1.作圖時注意圖像延伸趨勢和圖像伸展“速度”

我們在用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)或來解決方程根的個數(shù)時，需要在同一坐標系下作出幾個函數(shù)的圖像來分析并加以比較，這時作圖一定要精確，在作圖過程中要注意函數(shù)圖像的延伸趨勢和圖像伸展。

避免因馬虎作圖而導致出現(xiàn)錯誤，因為我們畫出的只是函數(shù)圖像的一小部分，而不是圖像的全部。所以我們要想從函數(shù)圖像的部分判斷它的全部，對于沒有畫出來的部分圖像可能會是怎樣的呢？就只能根據(jù)函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”來加以判斷了。

2.在“數(shù)”與“形”的等價轉(zhuǎn)化時，注意變量的取值范圍

在數(shù)與形等價轉(zhuǎn)化的過程中，一定要注意變量的取值范圍，如果不注意轉(zhuǎn)化過程等價，那么變量的取值范圍就有可能擴大或縮小。這樣，畫出來的圖像就會不完整，而根據(jù)這個存在誤差的圖像，得出來的結果一定是不準確的，所以“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化過程要注意等價轉(zhuǎn)化是非常關鍵的。

3.注意仔細觀察圖像

根據(jù)問題情境畫出來的圖像，在觀察圖像得到結論時，一定要仔細，避免因觀察不慎而漏掉了一些可能的情形，從而導致做出錯誤的答案和得出一些錯誤的結論。

4.避免簡單用“形”代替證明過程

“形”并不能做為證明的依據(jù)，在數(shù)形結合做證明題時，在對幾何圖形做出直觀分析之后，必須用嚴謹?shù)臄?shù)學語言寫出證明過程及其證明的理論依據(jù)，這樣才有說服力，證明過程才是有效的。所以，“形”只能為們思考問題和解決問題提供一些有效幫助，而不能作為證明的理論依據(jù)。

總之，數(shù)形結合思想方法是一種非常有用的數(shù)學方法，它能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，應用性極強。但它又是一把雙刃劍，時時充滿誘惑和危險。因此，我們在數(shù)形結合解題時，要慎之又慎，要揚長避短，在直觀分析的同時，輔有嚴謹?shù)难堇[推理。引導學生在解決問題中正確理解“數(shù)”與“形”的相對性，使之有機地結合起來。作為一線教師的我們，在教學中要充分挖掘教材內(nèi)容，將數(shù)形結合思想滲透于具體的問題中，讓學生真正地將數(shù)形結合思想應用到數(shù)學學習當中去，逐步養(yǎng)成用數(shù)形結合的方法解決問題的良好習慣，真正做到胸中有圖，圖中有數(shù)，做到學以致用，不斷提高自己的數(shù)學解題能力和數(shù)學思維能力。

〔責任編輯：林勁、李婷婷〕