三階非線性三點邊值問題解的存在性和唯一性

王國燦,李莉

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

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三階非線性三點邊值問題解的存在性和唯一性

王國燦,李莉

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

用Volterra型積分算子和微分不等式技巧，研究了某一類三階微分方程非線性三點邊值問題，得到了解的存在性與唯一性，此外，在適當?shù)臈l件下，通過構造具體的上下解，刻劃了方法的應用性.

三階微分方程；非線性三點邊值問題；存在性與唯一性；微分不等式

0 引言

三階非線性常微分方程三點邊值問題在工程物理中有著十分重要的應用，文獻[1]～[4]及其參考論文已作過一系列研究，以往的工作主要局限于特殊的兩點與Robin邊值問題，對于解的唯一性的研究相對較少.本文利用微分不等式理論，考慮以下三階非線性三點邊值問題

得到了解的存在性和唯一性.

1 輔助引理

考慮一類二階Volterra型積分微分方程的非線性邊值問題

定義1 如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤β(t)，β″(t)≤f(t,[Tβ](t),β′(t))，α″(t)≥f(t,[Tα](t),α′(t))，則稱β(t)和α(t)為方程(3)的上下解.

引理1 假設

(1)f(t,v,u)∈C([-1,1]×R2)，且在[-1,0]上關于v單調(diào)不減，在[0,1]上關于v單調(diào)不增；

證明：利用文獻[3]定理4的方法可知結論成立.

引理2 假設

(1)引理1中的(1)條件成立；

(2)g(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)對固定的ξ關于η單調(diào)不減.

(3)方程(3)有上解β(t)和下解α(t)滿足

g(α(-1),α′(-1))≥0,g(β(-1),

則邊值問題(3)，(4)有解u(t)，使得，-1≤t≤1.

再考慮α(-1)<β(-1)時的情形.

由引理1知邊值問題

如果上式等式成立，則α0(t)便是(3)，(4)的解.否則考慮邊值問題

從引理1可得其解存在，又任取一個記為u(t)，則α0(t)≤u(t)≤β0(t),-1≤t≤1，如果g(u(-1),u′(-1))=0，則定理得證；如果g(u(-1),u′(-1))>0，則取α1(t)=u(t),β1(t)=β0(t)；如果g(u(-1),u′(-1))<0，則取α1(t)=α0(t),β(t)=u(t)，于是

顯然問題有解，同理任取一個記為u(t)，與α1(t),β1(t)的類似選取可得α2(t),β2(t)滿足

α1(t)≤α2(t)≤β2(t)≤β1(t),-1≤t≤1

于是利用數(shù)學歸納法可得兩個序列{αn(t)}1∞，{βn(t)}1∞滿足

故存在一致收斂的子序列{βnj(t)},{αni(t)}使得

-1≤t≤1,j→∞

-1≤t≤1,i→∞

引理3 假設

則邊值問題

只有零解.

顯然，M0?D，于是存在t1∈[-1,1]，使得

2 主要結果

下面我們來討論邊值問題(1)，(2)解的存在性與唯一性.

定義2 如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得當-1≤t≤1時，α′(t)≤β′(t),β?(t)≤f(t,β(t),β′(t)),α?(t)≥f(t,α(t),α′(t))，且當-1≤t≤0時，β(t)≤α(t)，當0≤t≤1時，α(t)≤β(t)，則稱β(t)和α(t)為方程(1)的上下解.

定理1 假設

(1)f(t,x,x′)∈C([-1,1]×R2)，且當-1≤t≤0時，關于x單調(diào)不減；當0≤t≤1時，關于x單調(diào)不增；

(2)引理2中的條件(2)成立；

(3)方程(1)存在上下解β(t)和α(t)，且

β(0)=A=α(0),α′(1)≤B≤β′(1),g(α′(-1),

α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0

則邊值問題(1)，(2)有一解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0,α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

又注意到表達式

定理2 假設

(1)定理1中的條件(1)，(2)成立;

(2)存在函數(shù)β(t)∈C3[-1,1]，使當-1≤t≤1時0<β′(t),0<β″(t),β?(t)≤fx′(t,x,x′,x″)β′(t)+fx(t,x,x′,x″)β(t)，且當-1≤t≤0時，β(t)≤0，當0≤t≤1時，0≤β(t);

(3)對任意ξ,η∈(-∞,+∞)，滿足gξ(ξ,η)β′(-1)+gη(ξ,η)β″(-1)<0,則邊值問題(1)，(2)至多存在一解.

證明 如果邊值問題(1)、(2)有兩個不同解x1(t),x2(t)，記y(t)=x2(t)-x1(t)，則y(t)應滿足下述邊值

y?=a(t)y′+b(t)y

y(0)=0,ay′(-1)+by″(-1)=0,y′(1)=0

定理3 假設

(1)函數(shù)f(t,x,x′)及其關于t,x,x′的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={((t,x,x′)|-1≤t≤1,-∞

(2)當(t,x,x′)∈Ω時，fx′(t,x,x′)≥m>0，當-1≤t≤0時，fx(t,x,x′)≥0，當0≤t≤1時，fx(t,x,x′)≤0，且|fx(t,x,x′)|≤l;

(3)函數(shù)g(ξ,η)在R2上連續(xù)可微，，且g(0,0)=0.

則邊值問題(1)，(2)有且僅有唯一解.

證明 構造上下解分別為

|β(t)|).

余下的工作只需逐步驗證β(t),α(t)滿足定理1的條件即得存在性.

[1]王國燦.某一類三階非線性兩點邊值問題的解的存在性與唯一性[J].應用數(shù)學學報， 1997，20(4):631-634.

[2]沈建和，余贊平，周哲彥.非線性三階常微分方程的非線性三點階的存在性[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2007，23(3):355-360.

[3]周欽德，苗樹梅.Volterra型積分微分方程的奇攝動[J].高校應用數(shù)學學報，1998,3(3):392-400.

[4]葛渭高.三階常微分方程的兩點邊值問題[J].高校應用數(shù)學學報，1997，12(3):265-271.

[5]BERNFELDSR,LASHMIKANTHANV.Anintroductiontononlinearvalueproblems[M].NewYork:AcademicPress,1974.

Existence and Uniqueness of Nonlinear Three-Point Boundary Value Problem for Third Order Equation

WANG Guocan,LI Li

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Nonlinear three-point boundary value problems for a class of third order differential equations is studied by Volterra type operator and differential inequality,and the existence and uniqueness of solution are obtained.The result shows the feasibity that by constructing upper and lower solutions based on suit condition.

third order nonlinear equation;three-point boundary value problem;existence;differential inequality

1673-9590(2015)03-0109-04

2014-08-05

王國燦(1963-),男，教授,碩士，主要從事常微分方程邊值問題的研究E-mail:wanggc@dl.cn.

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