分類討論思想

方志平

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究的對象進(jìn)行分類.分類討論時(shí)，應(yīng)該從所研究的具體問題出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)對象的屬性，科學(xué)地分類，把它們不重不漏地劃分為若干類別，再逐步進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，最后綜合給出結(jié)論

分類是人類認(rèn)識世界、改造世界的科學(xué)行為. 分類形成一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，分類討論的思想好比指南針，它給我們指明了方向.

分類討論的基本原則：①對所討論的全域分類要“即不重復(fù)，也不遺漏”；②在同層次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；③對多級討論，應(yīng)逐級進(jìn)行，不能越級.

下面列舉數(shù)例談?wù)劮诸愑懻摰慕忸}策略，從中體悟分類討論的解題思想，供大家參考.

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由概念內(nèi)涵引起的分類討論

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所有數(shù)學(xué)概念都有其明確的內(nèi)涵，在解決問題的過程中，凡是涉及相關(guān)的概念問題，當(dāng)不能直接解答時(shí)，一般都應(yīng)以所定義的概念來進(jìn)行分類討論，討論時(shí)要注意概念所受的限制條件.

例1 函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大 ，則a的值是________.

思路點(diǎn)撥 欲求指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值，需要先確定底數(shù)a與1的大小，所以需要分a>1和0

破解 當(dāng)a>1時(shí)，y=ax在[1，2]上遞增，故a2-a= ，得a= ；

當(dāng)0

故a= 或a= .

例2 設(shè)k為實(shí)常數(shù)，問：方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）·（k-4）表示的曲線是何種曲線？

思路點(diǎn)撥 很顯然，k的取值決定了方程的形式，進(jìn)而影響了方程所表示的曲線，故需對k進(jìn)行分類討論.

破解 方程表示何種曲線主要取決于k的取值，可對k分以下三種情形討論：

（1）當(dāng)k=4時(shí)，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示y軸.

（2）當(dāng)k=8時(shí)，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示x軸.

（3）當(dāng)k≠4且k≠8時(shí)，方程變?yōu)?+ =1，又有以下五種情形：

①當(dāng)k<4時(shí)，方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；

②當(dāng)4

③當(dāng)k=6時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)，半徑為 的圓；

④當(dāng)6

⑤當(dāng)k>8時(shí)，方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.

1. 設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=a- 是R上的減函數(shù)；命題q：函數(shù)f（x）=x2-4x+3在[0，a]上的值域?yàn)閇-1，3]. 若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求a的取值范圍.

2.已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上移動(dòng)，且 = = ，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖1），是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.

圖1

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由公式限制引起的分類討論

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有些定理、公式、運(yùn)算法則在不同的條件下有不同的形式，如數(shù)列通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和公式、方根性質(zhì)等，因此在解題時(shí)一般要分類討論.

例3 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，試比較 與an+1的大小，并證明你的結(jié)論.

思路點(diǎn)撥 由于等比數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)形式受到公比q的影響，于是第一層需對主要變量q分類討論，即分q=1和q>0且q≠1討論；由于數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是分段的，于是第二層需對n分類討論，即分n=1和n≥2討論；在q>0且q≠1，同時(shí)n≥2的情況下， 與an+1差值的正、負(fù)與q有關(guān)，于是第三層需對q進(jìn)一步分類討論，即分q>1和0

破解 設(shè)Sn=S1qn-1（其中S1>0，q>0），則可得an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，即an=S1，n=1，S1（q-1）qn-2，n≥2？搖.

（1）當(dāng)q=1時(shí)，a2=a3=…=an=0（n≥2），①當(dāng)n=1時(shí)， >an+1；②當(dāng)n≥2時(shí)， =an+1.

（2）當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，

①當(dāng)n=1時(shí)，由已知得 -a2= -S1（q-1）= S1·q- + >0，所以 >a2.

②當(dāng)n≥2時(shí)，由已知得 -an+1= [S1·（q-1）qn-2+S1（q-1）qn]-S1（q-1）qn-1= S1qn-2（q-1）3，若q>1，則 >an+1；若0

1. 求數(shù)列{（2n-1）an}的前n項(xiàng)和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

2. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1，n為奇數(shù)，2n，n為偶數(shù)，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S11，并求Sn的表達(dá)式.

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由參數(shù)變化引起的分類討論

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數(shù)學(xué)問題中含有變量或參數(shù)，這些變量或參數(shù)取不同值時(shí)會導(dǎo)致不同的結(jié)果，因而需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

例4 設(shè)a<1，集合A={x∈Rx>0}，B={x∈R2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B.

（1）求集合D（用區(qū)間表示）；

（2）求函數(shù)f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn).

思路點(diǎn)撥 求解第（1）問的關(guān)鍵是求出集合B中的不等式，因其含有參數(shù)，在用判別式法時(shí)需對參數(shù)進(jìn)行分類討論；第（2）問的求解思路同第（1）問如出一轍，同樣需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

破解 （1）考慮不等式2x2-3（1+a）x+6a>0的解，因?yàn)棣?[-3（1+a）2]-4×2×6a=3（a-3）（3a-1），且a<1，所以可分以下三種情況：

（i）當(dāng)

（ii）當(dāng)a= 時(shí)，Δ=0，此時(shí)B={xx≠1}，D=（0，1）∪（1，+∞）.

（iii）當(dāng)a< 時(shí)，Δ>0，此時(shí)2x2-3（1+a）x+6a=0有兩根，設(shè)為x1，x2，且x1x2}.

①當(dāng)00，x1x2=3a>0，所以x2>x1>0，此時(shí)D=（0，x1）∪（x2，+∞）；

②當(dāng)a≤0時(shí)，x1x2=3a≤0，所以x1≤0，x2>0，此時(shí)D=（x2，+∞）.

綜上，當(dāng)

x1= ，x2= .

（2）f ′（x）=6x2-6（1+a）x+6a. 令f ′（x）=0可得6（x-a）（x-1）=0. 因?yàn)閍<1，所以f ′（x）=0有兩根m1=a和m2=1，且m1

①當(dāng)

所以f（x）在D內(nèi)有極小值點(diǎn)1，極大值點(diǎn)a.

②當(dāng)a= 時(shí)，D=（0，1）∪（1，+∞），此時(shí)f ′（x）=0在D內(nèi)只有一根m1=a= ，列表可得：

所以f（x）在D內(nèi)只有極大值點(diǎn)a，沒有極小值點(diǎn).

③當(dāng)00，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0，所以0

所以f（x）在D內(nèi)只有極大值點(diǎn)a，沒有極小值點(diǎn).

④當(dāng)a≤0時(shí)，D=（x2，+∞），此時(shí)x >1，于是f ′（x）在D內(nèi)恒大于0， f（x）在D內(nèi)沒有極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)

1. 解不等式 >0a為常數(shù)，a≠- .

2. 已知函數(shù)f（x）=ax3- x2+1（x∈R），其中a>0.

（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（2）若在區(qū)間- ， 上， f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

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由圖形不定引起的分類討論

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當(dāng)圖形的位置或形狀不確定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，例如某些函數(shù)在不同的區(qū)間上有不同的圖象特征，某些立體幾何不同的展開方式，圓錐曲線的類型或焦點(diǎn)位置不確定，點(diǎn)、線、面的位置不確定等. 解決此類問題時(shí)，一定要分析所有可能的位置關(guān)系，避免漏解.

例5 如圖2，四邊形ABCD為矩形，且AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面ABCD，問：BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD？說明理由.

圖2

思路點(diǎn)撥 BC邊的長短影響幾何圖形的形狀，從而影響PQ與QD的位置關(guān)系，對BC邊長a取值的分類討論，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，把點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題化歸為一元二次方程根的討論問題.

破解 連結(jié)AQ，由于PA⊥平面ABCD，若PQ⊥QD，則AQ⊥QD. 設(shè)BQ=x，則QC=a-x，AQ= ，DQ= . 在Rt△AQD中，x2+1+1+（a-x）2=a2，整理得x2-ax+1=0. 因?yàn)閍>0，又Δ=a2-4.

（1）當(dāng)a2-4=0，即a=2時(shí)，BC邊上有且只有一點(diǎn)，滿足PQ⊥QD，此時(shí)BQ=1，即Q為BC的中點(diǎn).

（2）當(dāng)a2-4>0，即a>2時(shí)，BC邊上存在兩點(diǎn)，使得PQ⊥QD，此時(shí)BQ= .

（3）當(dāng)a2-4<0，即0

1. 已知線段AB在平面α外，A，B兩點(diǎn)到平面α的距離分別為1和3，則線段AB的中點(diǎn)到平面α的距離為_______.

2. 求圓錐曲線 + =1的焦距，其中m≠0，m≠1.

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由題設(shè)條件引起的分類討論

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問題中的條件是分類給出的，在求解過程中由于受題設(shè)條件的限制，統(tǒng)一表達(dá)不方便，而變換需要突破這些限制條件時(shí)，常引起分類討論.

例6 某企業(yè)在第1年初購買一臺價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.

（1）求第n年初M的價(jià)值的表達(dá)式；

（2）設(shè)An= ，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則需在第n年初對M更新，證明：需在第9年初對M更新.

思路點(diǎn)撥 本題限制條件明顯，而且條件是分類給出的，因此對變量n的分類討論是自然合理的，也是必要的.

破解 （1）當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，an=120-10（n-1）=130-10n.

當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{an}是以a6為首項(xiàng)，公比為 的等比數(shù)列，又a6=70，所以an=70× .

因此，第n年初，M的價(jià)值an的表達(dá)式為an=130-10n，n≤6，70× ？搖 ，n≥7？搖.

（2）設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得：

當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn=120n-5n（n-1），An=120-5（n-1）=125-5n；當(dāng)n≥7時(shí)，Sn=S6+（a7+a8+…+an）=570+ =780-210× ，An= .

顯然{An}是遞減數(shù)列，又

A8= =82 >80，A9= =76 <80，

所以需在第9年初對M更新.

1. 有4個(gè)標(biāo)號為1，2，3，4的紅球和4個(gè)標(biāo)號為1，2，3，4的白球，從這8個(gè)球中任取4個(gè)球排成一排. 若取出的4個(gè)球的數(shù)字之和為10，則不同的排法種數(shù)是________.

2. 2010年云南遭受歷史罕見的旱災(zāi)后，本省各市紛紛采用價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的. 某城市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+排污費(fèi)，若每月水量不超過最低限量a m3時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每月定額排污費(fèi)c元；若用水量超過a m3時(shí)，除了付給同上的基本費(fèi)和排污費(fèi)外，超過部分每立方米付b元的超額費(fèi). 已知每戶每月的排污費(fèi)不超過4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：

根據(jù)以上規(guī)定，解決如下問題：

（1）求每戶每月水費(fèi)y（元）與月用水量x m3的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試分析該家庭一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求a，b，c的值.

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參考答案

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1 由概念內(nèi)涵引起的分類討論

1. 若p為真，則04，從而解得

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

2. 設(shè) = = =k（0≤k≤1），則E（2，4ak），G（-2，4a-4ak），F(xiàn)（2-4k，4a），直線GE：y-4ak=（2ak-a）（x-2），直線OF：y= x.令P（x，y），則由直線OF與GE的方程消去參數(shù)k，得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程 + =1. 由于出現(xiàn)參數(shù)a，下面加以討論：

當(dāng)a2= 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

當(dāng)a2≠ 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長，

當(dāng)a2< 時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)- ，a， ，a的距離之和為定值 ；

當(dāng)a2> 時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)0，a- ，0，a+ 的距離之和為定值2a.

2 由公式限制引起的分類討論

1. 若a=0，則Sn=0.

若a=1，則Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2.

若a≠0且a≠1時(shí)，Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an ①；

兩邊同時(shí)乘以a，得：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）a ②.

將①式減去②式可得：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+2a4+…+2an-（2n-1）a = -（2n-1）a -a. 所以Sn= - .

綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，Sn=0；當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n2；當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，Sn= - . 即Sn=n2，a=1， - ，a≠1.

2. 因?yàn)閍n=2n+1，n為奇數(shù)，2n，n為偶數(shù)，所以S11=3+22+7+24…+（2×9+1）+210+（2×11+1）=（3+7+…+23）+（22+24+…+210）= + =78+1364=1442.

由上面的求解可知，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列.

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=（3+7+…+2n-1）+（22+24+…+2n）= + = + ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=（3+7+…+2n+1）+（22+24+…+2 ）= + = + . 綜上可得：Sn= + ，n為奇數(shù)， + ，n為偶數(shù).

3 由參數(shù)變化引起的分類討論

1. 當(dāng)2a+1>0時(shí)，a>- ；當(dāng)-4a<6a時(shí)，a>0. 所以分以下四種情況討論：

當(dāng)a>0時(shí)，（x+4a）（x-6a）>0，解得x<-4a或x>6a；

當(dāng)a=0時(shí)，x2>0，解得x≠0；

當(dāng)- 0，解得x<6a或x>-4a；

當(dāng)a<- 時(shí)，（x+4a）（x-6a）<0，解得6a

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<-4a或x>6a；當(dāng)a=0時(shí)，x≠0；當(dāng)- -4a；當(dāng)a<- 時(shí)，6a

2. （1）當(dāng)a=1時(shí)， f（x）=x3- x2+1，所以f（2）=3且f ′（x）=3x2-3x，所以f ′（2）=6，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3= 6（x-2），即y=6x-9.

（2）f ′（x）=3ax2-3x=3axx- ，令f ′（x）=0，解得x=0或x= . 以下分兩種情況討論：

①若0

當(dāng)x∈- ， 時(shí)， f（x）>0等價(jià)于 f- >0， f >0，解不等式組得-5

②若a>2，則0< < ，當(dāng)x變化時(shí)， f ′（x）， f（x）的變化情況如下表：

當(dāng)x∈- ， 時(shí)， f（x）>0等價(jià)于 f- >0， f >0，解不等式組得

綜合①和②，可知a的取值范圍為0

4 由圖形不定引起的分類討論

1. 分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決. 答案為1或2.

2. 當(dāng)m<0時(shí)，方程表示雙曲線 - =1，其中a2=m2，b2=-m，所以c2=m2-m. 故該圓錐曲線的焦距為2 .

當(dāng)m>0時(shí)，該圓錐曲線表示橢圓，但有的同學(xué)直接就認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上了，這其實(shí)是錯(cuò)誤的. 因?yàn)閙2和m的大小還沒有確定，所以焦點(diǎn)到底在哪個(gè)軸也不能確定，因此我們還得比較m2和m的大小，才能下結(jié)論.

當(dāng)m>0且m≠1時(shí)，方程表示橢圓. 若m2m，即m∈（1，+∞）時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，此時(shí)a2=m2，b2=m，所以c2=m2-m. 故該圓錐曲線的焦距為2 .

5 由題設(shè)條件引起的分類討論

1. 若取出的球的標(biāo)號為1，2，3， 4，則共有C12C12C12C12A44=384種不同的排法；若取出的球的標(biāo)號為1，1，4， 4，則共有A44=24種不同的排法；若取出的球的標(biāo)號為2，2，3，3，則共有A44=24種不同的排法. 由此可得取出的4個(gè)球數(shù)字之和為10的不同排法種數(shù)是384+24+24=432.

2. （1）根據(jù)題意可知水費(fèi)與用水量是一個(gè)分段函數(shù)的關(guān)系式，設(shè)每月用水量為x m3，支付費(fèi)用為y元，則y=8+c，0≤x≤a，8+b（x-a）+c，x>a.

（2）由題意知0a，將x=8，y=9代入y=8+2（x-a）+c中，得9=8+2（8-a）+c，得2a=c+15，顯然與前面的等式矛盾，所以一月份用水量不超過最低限量. 又因?yàn)閥=8+c，所以9=8+c，c=1. 所以a=10，b=2，c=1.