變量相關(guān)性

本考點(diǎn)主要有兩類(lèi)問(wèn)題：一是回歸分析的問(wèn)題；二是獨(dú)立性檢驗(yàn)的問(wèn)題. 理科一般會(huì)在選擇題、填空題中出現(xiàn)，文科也會(huì)在解答題中出現(xiàn)，難度中等.

（1）了解獨(dú)立檢驗(yàn)（只要求2？鄢2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

（2）了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

①會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.

②了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式建立線(xiàn)性回歸方程（線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）.

了解獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析的基本思想、方法是解決兩類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵. 關(guān)于求線(xiàn)性回歸方程，方法是最小二乘法，其步驟是：①計(jì)算 ， ；②計(jì)算∑xiyi，∑x ；③計(jì)算 ， ；④代入寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程.其中求 ， 時(shí)需要利用系數(shù)公式，此公式在高考中會(huì)直接給出，同學(xué)們不需要記憶.關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，是求k2的值，通過(guò)比較臨界值表來(lái)分析兩個(gè)分類(lèi)變量的相關(guān)程度，其中k2公式在高考中也會(huì)直接給出，同學(xué)們亦不需要記憶.這兩類(lèi)問(wèn)題的解決還有一個(gè)關(guān)鍵就是數(shù)據(jù)處理與運(yùn)算求解，途徑合理、速度快捷、結(jié)果準(zhǔn)確非常重要.

例1 某高中學(xué)校對(duì)高一年級(jí)學(xué)生在計(jì)算機(jī)上練習(xí)使用五筆輸入法打字進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)研究，他們記錄了學(xué)生練習(xí)的時(shí)間和最后考核每分鐘打字的個(gè)數(shù)，從中抽取了五位學(xué)生的數(shù)據(jù)列表如下：

（1）從這5位學(xué)生中任選2人，記每分鐘打字?jǐn)?shù)分別為m，n，求事件“m，n均小于45”的概率；

（2）請(qǐng)根據(jù)乙、丙、丁三人的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程 = x+ ；

（3）若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2個(gè)，則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的，試問(wèn)：（2）所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠？

（參考公式：回歸直線(xiàn)方程是 = x+ ，其中 = ， = - ）

破解思路 本題共三個(gè)問(wèn)題，其中第一個(gè)問(wèn)題考查隨機(jī)事件的概率；第二、第三個(gè)問(wèn)題考查回歸分析的數(shù)學(xué)思想. 用最小二乘法求回歸直線(xiàn)的方程時(shí)要根據(jù)步驟來(lái)完成，其中第一步、第二步是對(duì)第三步的一個(gè)分解計(jì)算. 解決此題雖然不需要很強(qiáng)的思維能力，但對(duì)運(yùn)算能力的要求較高. 另外，如果沒(méi)有告訴兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性，求回歸直線(xiàn)方程前，首先應(yīng)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，若畫(huà)散點(diǎn)圖，則要觀(guān)察散點(diǎn)是否大致分布在一條直線(xiàn)附近，然后求出的回歸直線(xiàn)方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線(xiàn)方程毫無(wú)意義. 或通過(guò)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值與0.75的關(guān)系來(lái)判定兩個(gè)變量的相關(guān)性的強(qiáng)弱.

答案詳解 （1）m，n構(gòu)成的基本事件（m，n）有：（43，45），（43，50），（43，46），（43，36），（45，50），（45，46），（45，36），（50，46），（50，36），（46，36），共10個(gè). 其中“m，n均小于45”的有1個(gè)，即（43，36），所以事件“m，n均小于45”的概率為 .

（2）因?yàn)?=12， =47，所以 = = .

于是， =47- ×12=17.

故所求線(xiàn)性回歸方程為 = x+17.

（3）由（2）知， = x+17，當(dāng)x=10時(shí)，y=42；當(dāng)x=8時(shí)，y=37. 與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均為1，滿(mǎn)足題意. 故認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的.

例2 春節(jié)期間，某市消費(fèi)者報(bào)一記者走上街頭，調(diào)查消費(fèi)者對(duì)該市食品安全的滿(mǎn)意情況，他隨機(jī)詢(xún)問(wèn)了110名消費(fèi)者，得到如下的列聯(lián)表：

（1）采取分層抽樣的方法，從這50名女性消費(fèi)者中按對(duì)食品安全是否滿(mǎn)意抽取一個(gè)容量為5的樣本，問(wèn)：樣本中滿(mǎn)意與不滿(mǎn)意的女消費(fèi)者各有多少名？

（2）從（1）中的5名女消費(fèi)者樣本中隨機(jī)選取2名作深度訪(fǎng)談，求選到滿(mǎn)意與不滿(mǎn)意的女消費(fèi)者各一名的概率；

（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，請(qǐng)問(wèn)：有多大把握認(rèn)為“該市消費(fèi)者性別與對(duì)該市食品安全滿(mǎn)意”有關(guān)？

注：k2= .

臨界值表：

破解思路 本題第一問(wèn)考查分層抽樣，第二問(wèn)考查隨機(jī)事件的概率，第三問(wèn)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)思想. 第三問(wèn)的解決是根據(jù)k2公式求出k2的值，然后對(duì)照臨界值表評(píng)價(jià)兩個(gè)分類(lèi)變量的相關(guān)程度.

答案詳解 （1）根據(jù)分層抽樣可得：樣本中滿(mǎn)意的女消費(fèi)者為 ×5=3名，樣本中不滿(mǎn)意的女消費(fèi)者為 ×5=2名.

（2）記樣本中對(duì)食品安全滿(mǎn)意的3名女消費(fèi)者分別為a1，a2，a3，對(duì)食品安全不滿(mǎn)意的2名女消費(fèi)者分別為b1，b2. 從5名女消費(fèi)者中隨機(jī)選取2名，共有10個(gè)基本事件，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）. 其中事件A“選到滿(mǎn)意與不滿(mǎn)意的女消費(fèi)者各一名”包含了6個(gè)基本事件，分別為：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2）. 所以所求概率P（A）= = .

（3）假設(shè)H0：該市消費(fèi)者性別與對(duì)食品安全滿(mǎn)意無(wú)關(guān)，則k2應(yīng)該很小. k2= = ≈7.486，由P（k2≥6.635）=0.010可知，有99%的把握認(rèn)為：該市消費(fèi)者性別與對(duì)食品安全滿(mǎn)意有關(guān).

1. 對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），則下列說(shuō)法不正確的是（ ）

A. 若求得的回歸方程為 =0.9x-0.3，則變量y和x之間具有正相關(guān)

B. 若這組樣本數(shù)據(jù)分別是（1，1），（2，1.5），（4，3），（5，4.5），則其回歸方程 =bx+a必過(guò)點(diǎn)（3，2.5）

C. 若同學(xué)甲根據(jù)這組數(shù)據(jù)得到的回歸模型l的殘差平方和為E1=0.8，同學(xué)乙根據(jù)這組數(shù)據(jù)得到的回歸模型2的殘差平方和為E2=2.1，則模型1的擬合效果更好

D. 若用相關(guān)指數(shù)R2（R2=1- ）來(lái)刻畫(huà)回歸效果，回歸模型3的相關(guān)指數(shù)R23=0.32，回歸模型4的相關(guān)指數(shù)R24=0.91，則模型3的擬合效果更好

2. 某校對(duì)學(xué)生周末的業(yè)余生活狀況進(jìn)行調(diào)查. 某調(diào)查小組隨機(jī)抽查了該校55名學(xué)生，以此來(lái)研究學(xué)生在周末喜歡運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

（1）判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下認(rèn)為喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；

（2）用分層抽樣的方法從喜歡運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中任選2人，求恰有1名男生和1名女生的概率.

下面的臨界值表供參考：

注：k2= .endprint