用樣本估計(jì)總體

本考點(diǎn)主要涉及兩類(lèi)問(wèn)題：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布；二是用樣本的數(shù)字特征（如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征. 高考時(shí)理科一般會(huì)在填空題、選擇題中出現(xiàn)，文科也可能在解答題中出現(xiàn). 難度中等偏易，屬易得分題.

（1）了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).

（2）理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差. 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等），并給出合理的解釋.

（3）會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.

（4）會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

熟悉三圖（頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖）和一表（頻率分布表）的制作方法與特點(diǎn)，掌握基本數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）的求解公式與技巧，對(duì)解決此類(lèi)問(wèn)題非常重要. 另外，也要掌握用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征的方法.

例1 根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：車(chē)輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100mL（不含80）之間，屬于酒后駕車(chē)，處暫扣一個(gè)月以上三個(gè)月以下駕駛證，并處200元以上500元以下罰款；血液酒精濃度在80mg/100mL（含80）以上時(shí)，屬醉酒駕車(chē)，處十五日以下拘留和暫扣三個(gè)月以上六個(gè)月以下駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款.

據(jù)某報(bào)報(bào)道，2014年9月5日至9月28日，某地區(qū)共查處酒后駕車(chē)和醉酒駕車(chē)共500人，如圖1是對(duì)這500人酒后駕車(chē)血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則這500人屬酒后駕駛的人數(shù)與這500人血液中酒精含量的平均值分別約是（ ）

A. 50人，56mg/100mL

B. 450人，56mg/100mL

C. 50人，58mg/100mL

D. 450人，58mg/100mL

圖1

破解思路 本題主要考查樣本的頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征及總體的估計(jì). 解決問(wèn)題時(shí)，務(wù)必注意頻率分布直方圖是用圖形面積的大小來(lái)表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率.另外，用頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)平均數(shù)時(shí)，是用頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)所得積之和. 除頻率分布直方圖外，莖葉圖也是對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法.用莖葉圖分析數(shù)據(jù)有兩大優(yōu)點(diǎn)：一是直方圖上沒(méi)有保留原始數(shù)據(jù)，但從莖葉圖中可以得到所有數(shù)據(jù)信息；二是用莖葉圖可以隨時(shí)記錄數(shù)據(jù)，隨時(shí)添加數(shù)據(jù)，方便記錄與表示.

答案詳解 酒后駕駛的人數(shù)為500×（1-0.005×20）=450，平均值為30×0.2+50×0.4+70×0.3+90×0.1=56.故選B.

例2 在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過(guò)正常生活，有公共衛(wèi)生專(zhuān)家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5人”. 根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計(jì)算，下列各選項(xiàng)中，一定符合上述指標(biāo)的是（ ）

①平均數(shù) ≤3；②標(biāo)準(zhǔn)差S≤2；③平均數(shù) ≤3且標(biāo)準(zhǔn)差S≤2；④平均數(shù) ≤3且極差小于或等于2；⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4.

A. ①② B. ③④

C. ③④⑤ D. ④⑤

破解思路 此題綜合考查了樣本的數(shù)字特征. 理解每一個(gè)數(shù)字特征的含義是解題的關(guān)鍵. 眾數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；中位數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)由小到大排序后處于中間的數(shù)或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)；平均數(shù) 反映的是一組數(shù)據(jù)的平均水平，即 = （x1+x2+…+xn）；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映的是一組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均水平的集中與分散程度，其計(jì)算方法是方差S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+…+（xn- ）2]，方差的算術(shù)平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差. 另外，此類(lèi)問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力有著較高的要求，途徑要合理、運(yùn)算要迅速、結(jié)果要準(zhǔn)確是運(yùn)算能力強(qiáng)的主要體現(xiàn)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要不斷地加強(qiáng)訓(xùn)練.

答案詳解 ①錯(cuò)，如數(shù)據(jù)：1，1， 1，1，1，1，6；②錯(cuò)，如數(shù)據(jù)6，6，6，6， 6，6，6；③錯(cuò)，如數(shù)據(jù)2，2，2，2，2，2，6；④對(duì)，若極差等于0或1，在 ≤3的條件下顯然符合指標(biāo)；若極差等于2，在 ≤3的條件下最大數(shù)不超過(guò)4，符合指標(biāo)；⑤對(duì)，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，則最大數(shù)不超過(guò)5，符合指標(biāo). 故選D.

例3 某校開(kāi)展“愛(ài)我家鄉(xiāng)、愛(ài)我校園”攝影比賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的9個(gè)分?jǐn)?shù)如莖葉圖（圖2）所示. 記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則這9個(gè)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_____.

作品A

8 8 9 9

9 2 3 x 2 1 4

圖2

破解思路 根據(jù)題意，先分類(lèi)討論確定最高分，再計(jì)算平均分，從而確定x的值；然后算出平均數(shù)代入公式求方差，按從小到大排序找到中位數(shù)即可.

答案詳解 由已知，當(dāng)x≥4時(shí)， = ≠91，所以x<4，所以 =91，解得x=1. 于是可求出中位數(shù)為91，則方差為S2= [（-3）2+（-2）2+（-2）2+0+0+12+12+22+32]= .

1. 某校高一組織一次百米測(cè)試，結(jié)果發(fā)現(xiàn)成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18）. 圖3是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖估計(jì)該校高一在這次百米測(cè)試中，成績(jī)的中位數(shù)為_(kāi)_______秒（精確到0.1）.

圖3

2. 甲、乙兩個(gè)小組各5名同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖如圖4所示，則甲、乙兩組中數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)比較集中的小組是__________.

甲 乙

6 7 9

5 5 4 8 0 2 8

0 9 1

圖4endprint