解三角形

本節(jié)為高考的必考和重點考查內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，并越來越成為三角函數(shù)部分的核心考點. 題型有：（1）解三角形出現(xiàn)邊角互化，求角、求邊；（2）三角形形狀判定；（3）最值問題. 題型和分值較穩(wěn)定，且有逐漸上升趨勢，屬中等難度.

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.

抓住正弦、余弦定理對邊角進行轉(zhuǎn)化，使“力量”合一，再結(jié)合三角恒等變形公式化簡求解. 有時與向量結(jié)合在一起，試題突出向量的工具作用，體現(xiàn)了在知識交匯點處命題的指導思想，此類問題在求解時，首先利用向量的坐標運算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，依代數(shù)式的形式進行三角變換.

例1 在△ABC中，bc=b2-a2，且B-A=80°，則內(nèi)角C的余弦值為（ ）

A. 1 B. C. D.

破解思路 先利用余弦定理把bc=b2-a2化為角的等式，再利用三角形三內(nèi)角和為π，結(jié)合和差角公式變形出A-B，利用B-A=80°，求出B，A兩角，最后求出C角.

答案詳解 由bc=b2-a2可得cosA= = + ，2bcosA=b+c，2sinB·cosA=sinB+sinC，可得2sinB·cosA=sinB+sinAcosB+cosAsinB，故sin（B-A）=sinB. 所以（B-A）+B=180°，可得B=100°，A=20°，可知C=60°，cosC= .

例2 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 · = · =1.

（1）求證：A=B；

（2）求邊長c的值；

（3）若 + = ，求△ABC的面積.

破解思路 直接把向量等式“翻譯”為三角形中邊角關(guān)系即可解決（1）（2）. （3）中 + 為？荀ABDC對角線AD長，由平行四邊形對角線性質(zhì)可求出AC=BC.

答案詳解 （1）利用數(shù)量積定義，bccosA=accosB=1？圯 = = ？圯tanA=tanB？圯A=B.

（2）如圖5所示，取等腰三角形AB邊上的中線（即高線CM，則AM=bcosA= . · =cbcosA=c· =1，故c= ；或AM= 是 在 方向上的投影，由向量數(shù)量積的幾何意義可知 · = = c2=1，故c= .

圖5

（3）如圖5所示，在？荀ABDC中， + = = ， 在△ABD中，BD=a=b，AD2=c2+a2-2accos（π-A）.

在△ABC中，BC2=b2+c2-2bccosA，

6=c2+a2+2accosA①，a2=b2+c2-2bccosA②.

由①+②得a2+6=2c2+2a2？圯a2=6-2c2=2，a= ，即a=b=c= ，在等邊△ABC中，S△ABC= absinC= × × × = .

1. 在△ABC中，若∠A=120°，c=5，△ABC的面積為5 ，則a=________.

2. 在△ABC中，已知 · =2，S△ABC=2.

（1）求tanA的值；

（2）若sinB=2cosAsinC，求BC的長.endprint