函數、導數

吳文堯

函數是整個高中數學教學內容的核心，也是貫穿中學數學教學的主線，而導數是研究函數性質最有利的武器，所以函數、導數是歷年各地高考數學試卷中的最大熱點. 在選擇題、填空題、解答題三種題型中一般都有考查函數的試題，且理科試卷中的壓軸題通常是有關函數與導數的綜合問題. 因此，函數與導數是高中數學中最具有挑戰(zhàn)性的教學內容.做好函數、導數的復習工作，提高函數與導數應用方面的應試能力是高考數學取得高分的必要條件.

函數的概念及性質

函數的概念及性質一直都是各地高考數學中的必考內容，尤其是函數的定義、值域的求法、函數的單調性、函數的奇偶性等更是考試的熱點. 對函數的概念、性質的直接考查一般有一至兩個小題，以容易題和中檔題為主；間接考查則屢見不鮮，有時也有一定的難度.

在函數復習中，要“圍繞一個中心，抓住兩個基本點”，即緊緊圍繞函數思想這個中心，學會運用函數的觀點去分析問題和解決問題；抓住基本函數的圖象與性質、與函數相關的基本題型這兩個基本點.如何抓住這兩個基本點呢？事實上，研究函數的程序可總結如下：

給出定義？圯求其定義域？圯求其值域？圯畫出圖象？圯研究性質（單調性、奇偶性、周期性等）？圯綜合應用.

函數中的基本題型都可以看成是生長在這個程序上的. 總結函數中的基本題型主要有以下幾類：①如何求函數的解析式；②如何求函數的定義域；③如何求函數的值域及最值，有哪些方法；④如何作出函數的圖象，有哪些解題對策；⑤函數的單調性是如何定義的，如何證明函數的單調性，如何說明函數的單調性，函數的單調性有何重要的應用；⑥奇函數、偶函數是如何定義的，如何判斷函數的奇偶性，奇函數、偶函數有何重要性質，為何要研究函數的奇偶性；⑦什么樣的函數叫周期函數，周期函數有何重要性質，為何要研究函數的周期性.

（1）忽視相關函數的定義域是最容易犯的錯誤，因此，在解決有關函數問題時可優(yōu)先考慮相關函數的定義域，這樣可以有效地避免這方面的錯誤.

（2）當利用函數的思想解題時，最后往往可化歸為求某一目標函數的值域（或最值）問題. 要解決這個問題，首先，要努力掌握求函數值域的一些重要方法，如利用基本函數的值域、函數的單調性（可借助導數）求解，利用二次函數的最值求解，利用基本不等式求解，利用其反函數的定義域求解，利用判別式法求解等；其次，在具體操作中能根據試題的特點合理地選擇與之相匹配的解題對策.

（3）關于函數的奇偶性的判斷問題，要注意判斷的程序. 首先，檢查其定義域是否關于原點對稱；其次，利用奇、偶函數的性質判斷其奇偶性. 由于奇、偶函數的圖象具有對稱性，所以研究函數的奇偶性通常能對一些函數問題的解決起到事半功倍的效果，因此，同學們在平時的解題練習中要提高“自覺”地利用函數的奇偶性的意識.

（4）函數的單調性是函數性質的重中之重，要努力做到會判定、會證明、會應用.

例1 設函數g（x）=x2-2（x∈R），若 f（x）=g（x）+x+4，x

A. -，0∪（1，+∞）

B. [0，+∞）

C. -，+∞

D. -，0∪（2，+∞）

破解思路 由于本題是一個有關分段函數的問題，而解決分段函數問題的對策通常是“以其人之道還其人之身”，即分段函數問題可用分段解決的方法應對之. 注意到分段函數的解析式沒有給出，故先求出其解析式，然后再各個擊破.

答案詳解 法1：由題意，將g（x）的解析式代入得f（x）=x2+x+2，x

所以當x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）時， f（x）的值域為（2，+∞）；當x∈[-1，2]時， f（x）的值域為-，0，故選D.

法2：注意到x≥g（x）時， f（x）=g（x）-x≤0，所以可否定B；注意到？坌x∈R有x2+x+2≥恒成立，所以可否定A和C. 故選D.

例2 定義在[-2，2]上的奇函數f（x），當x∈（0，2]時， f（x）=-x+1，則不等式f（x）-f（-x）≥2x的解集為_________.

破解思路 本題首先要解決的問題是利用所給函數的性質求出函數的解析式，并把目標不等式化簡，把原問題化歸為解基本不等式（組）的問題. 注意到本題是一道填空題，若利用數形結合的方法解決之，則可簡化運算.

答案詳解 法1：由題意知， f（x）=-x-1，-2≤x<0，0，x=0，-x+1，0

所以f（x）-f（-x）≥2x？圳f（x）≥x？圳-2≤x<0，-x-1≥x或x=0或0

法2：如圖1，作出函數y=f（x）的圖象，其中A-，-，B，，原不等式等價于f（x）≥x. 由圖象可知，原不等式的解集為-2，-∪，2.

例3 對于區(qū)間I上有定義的函數g（x），記g（I）={yy=g（x），x∈I}，定義域為[0，3]的函數y=f（x）有反函數y=f -1（x），且f -1（[0，1））=[1，2）， f -1（（2，4]）=[0，1）. 若方程f（x）-x=0有解x0，則x0=________.

破解思路 從題目的條件看：本題給出的條件是反函數的性質，因此先把它轉化為原函數y=f（x）的性質. 從題目的結論看：方程f（x）-x=0的解即為函數y=f（x）的圖象與直線y=x的圖象的公共點的橫坐標，所以求解時最好能畫出函數y=f（x）的圖象，但本題給出的函數是一個抽象函數，不可能畫出其圖象，所以可先作出函數圖象所在的平面區(qū)域.

答案詳解 由題意可知，函數y=g（x）（x∈I）的值域為g（I），又由f -1（[0，1））=[1，2）可知y=f（x）（1≤x<2）的值域為[0，1），由f -1（（2，4]）=[0，1）可知y=f（x）（0≤x<1）的值域為（2，4]. 由于函數y=f（x）有反函數，且定義域為[0，3]，所以y=f（x）的圖象只可能落在圖2中的陰影區(qū)域之內，直線y=x和陰影區(qū)域有唯一的公共點A（2，2），所以x0=2.

1. 定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+4）=f（x）， f（2015）=1，則f（1）=________.

2. 設偶函數f（x）滿足f（x）=2x-4（x≥0），則{xf（x-2）>0}等于（ ）

A. {xx<-2或x>4}

B. {xx<0或x>4}

C. {xx<0或x>6}

D. {xx<-2或x>2}

3. 定義在R上的偶函數f（x）滿足： f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，有下列一些關于f（x）的判斷：①f（x）是周期函數；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是減函數；④f（x）在[-2，-1]上是減函數. 其中正確的判斷是__________（把你認為正確判斷的番號都填上）.