基于LQR的工程車輛電液制動(dòng)壓力控制

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(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 北京　100192)

引言

隨著電液控制技術(shù)及工程車輛制動(dòng)系統(tǒng)的不斷發(fā)展，氣推油制動(dòng)系統(tǒng)因其管路復(fù)雜、噪聲大、容易制動(dòng)失靈等缺點(diǎn)已經(jīng)不能滿足要求，而全動(dòng)力液壓制動(dòng)系統(tǒng)因管路布置簡(jiǎn)單、噪聲小等優(yōu)點(diǎn)得到快速發(fā)展。全動(dòng)力液壓制動(dòng)系統(tǒng)通過與線控技術(shù)相結(jié)合，形成電液制動(dòng)系統(tǒng)EHB(Electo-Hydraulic Braking System)。與傳統(tǒng)的制動(dòng)系統(tǒng)不同，電液制動(dòng)系統(tǒng)由電子單元提供控制信號(hào)，液壓系統(tǒng)提供動(dòng)力，有踏板轉(zhuǎn)角與踏板力可按比例調(diào)控的電子踏板和控制制動(dòng)力矩與踏板轉(zhuǎn)角的電子控制單元[1]。電子控制單元可以靈活地控制制動(dòng)力的大小以及制動(dòng)力的分配，完全實(shí)現(xiàn)使用傳統(tǒng)控制元件所能達(dá)到的ABS及ASR等功能[2,3]。目前，應(yīng)用于工程中的電液控制方法主要有PID控制、二次型最優(yōu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、智能控制等。由于線性二次型控制的最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)求解的規(guī)范化，且可形成一個(gè)簡(jiǎn)單的線性狀態(tài)反饋控制律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)反饋控制，便于工程實(shí)現(xiàn)，因而在實(shí)際工程問題中得到了廣泛應(yīng)用[4]。

1　電液制動(dòng)系統(tǒng)原理及結(jié)構(gòu)

根據(jù)工程車輛電液制動(dòng)系統(tǒng)的制動(dòng)原理，單輪電液制動(dòng)簡(jiǎn)化原理示意圖如圖1。系統(tǒng)所用制動(dòng)閥為電液比例減壓閥。電液制動(dòng)系統(tǒng)控制器根據(jù)制動(dòng)踏板行程、路面附著系數(shù)和車速等信息計(jì)算車輪所需制動(dòng)力，控制器通過功率驅(qū)動(dòng)單元控制比例減壓閥閥芯開口量，液壓油通過閥芯進(jìn)入制動(dòng)輪缸，推動(dòng)制動(dòng)輪缸運(yùn)動(dòng)，對(duì)車輪進(jìn)行制動(dòng)。電液制動(dòng)的動(dòng)力由蓄能器直接提供，蓄能器選型一般應(yīng)滿足6次制動(dòng)后，制動(dòng)系統(tǒng)壓力不能低于設(shè)定的最低壓力。蓄能器壓力低于最低壓力時(shí)，由制動(dòng)泵為其充液。制動(dòng)過程與充液過程相對(duì)獨(dú)立，不同時(shí)工作。因此，分析制動(dòng)過程時(shí)，一般不考慮充液過程。

圖1　電液制動(dòng)原理圖

系統(tǒng)控制的目標(biāo)是輪缸制動(dòng)壓力快速響應(yīng)和跟隨目標(biāo)壓力，因此系統(tǒng)的控制問題可表述為：當(dāng)理想制動(dòng)壓力Yr(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生控制向量，使系統(tǒng)實(shí)際制動(dòng)壓力Y(t)始終跟隨目標(biāo)制動(dòng)壓力Yr(t)的變化，并使性能指標(biāo)極小，即以極小的控制能量為代價(jià)且使誤差保持在零值附近[4]。本研究的控制對(duì)象為制動(dòng)壓力，控制向量為電壓信號(hào)。系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2　電液動(dòng)力制動(dòng)控制系統(tǒng)框圖

2　電液制動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

電液制動(dòng)系統(tǒng)工作過程在液壓控制系統(tǒng)中為閥控液壓缸的過程。在建模過程中不考慮蓄能器中的壓力變化，即假定蓄能器的壓力始終可以滿足系統(tǒng)要求。

1) 比例電磁鐵線圈回路的電壓方程

比例電磁鐵控制線圈端電壓為:

(1)

2) 銜鐵輸出的推力方程

銜鐵在磁場(chǎng)中受到電磁力的作用，在工作行程范圍內(nèi)，電磁力為:

Fm=Kii+Kxexv

(2)

式中，Ki為比例電磁鐵的電流-力增益；Kxe為比例電磁鐵的電磁彈簧剛度(位移-力增益)。因Kxe≈0，Kxexv一項(xiàng)忽略不計(jì)。計(jì)算時(shí)，取Fm=Kii。

3) 閥芯力平衡方程

將銜鐵及推桿與控制閥芯看作一體，對(duì)閥芯進(jìn)行受力分析，忽略卡緊力，則作用于控制閥芯上的力平衡方程為:

K1(x01+xv)+Ksxv

(3)

式中，pc為減壓閥出口壓力；Am為壓力檢測(cè)閥芯端面面積；m1為閥芯、彈簧、液柱等的等效質(zhì)量；B1為綜合阻尼系數(shù)；取B1=Bv+Bt；Bv為閥芯粘性阻尼系數(shù)；Bt為瞬態(tài)液動(dòng)力阻尼系數(shù)；K1為彈簧剛度；Ks為液動(dòng)力剛度系數(shù)；x01為對(duì)中彈簧預(yù)壓縮量；xv為閥芯位移。計(jì)算時(shí)，忽略對(duì)中彈簧預(yù)壓縮量，即x01≈0。

4) 閥的線性化流量方程

Ql=Kqxv-Kcpc

(4)

式中，Ql為比例閥流量；Kq為比例閥流量增益；xv為閥芯位移；Kc比例閥流量壓力增益。

5) 液壓缸控制腔的流量方程

(5)

式中，Ap為液壓缸控制腔的活塞面積；xp為液壓缸活塞位移；Cip為液壓缸內(nèi)部泄漏系數(shù)；Vt為液壓缸控制腔的容積；βe為液體體積彈性模量。Cip≈0，Cippc一項(xiàng)忽略不計(jì)。

6) 活塞和負(fù)載的力平衡方程

忽略任意外干擾力，則平衡方程為:

(6)

式中，F(xiàn)g為液壓缸輸出力；mt為活塞和負(fù)載的總質(zhì)量；Bp為黏性阻尼系數(shù)；Ky為負(fù)載彈簧剛度。

整理式(1)～(6)得：

(7)

(8)

(9)

對(duì)式(7)～(9)進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

KiK0u0(s)-pc(s)Am=[m1s2+B1s+

(K1+Ks)]xv(s)

(10)

(11)

pc(s)Ap=(mts2+Bps+Ky)xp(s)

(12)

(13)

寫成矩陣形式為：

(14)

系統(tǒng)研究的電液制動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)賦值如表1。

表1　電液制動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

將表1中的參數(shù)帶入式(13)中得到矩陣A、B、C分別為：

3　二次型最優(yōu)控制理論

系統(tǒng)狀態(tài)變量是X(t)，控制變量為U(t)，輸出變量為Y(t)，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫為：

(15)

Y(t)=C(t)X(t)

(16)

最優(yōu)控制就是使系統(tǒng)的輸出盡可能地接近系統(tǒng)希望輸出值，誤差很小，同時(shí)要求使用最少的能量。設(shè)系統(tǒng)的誤差為e(t)，開始時(shí)間為t1，結(jié)束時(shí)間為t2，用二次型性能指標(biāo)函數(shù)表示為：

式中，Q(t)為半正定對(duì)稱矩陣；R(t)為正定對(duì)稱矩陣。Q(t)為誤差的加權(quán)矩陣，R(t)為控制能量的加權(quán)矩陣。

根據(jù)龐特利亞金極小值原理，滿足要求的控制信號(hào)為U*(t)：

U*(t)=-R-1(t)BT(t)[PX(t)-g(t)]

=-K(t)X(t)+G(t)

(18)

電液制動(dòng)系統(tǒng)方塊圖如圖3所示，最優(yōu)控制系統(tǒng)的方塊圖如圖4所示。兩圖相比較可以看出，為了得到跟蹤運(yùn)動(dòng)的最佳控制，需要在原系統(tǒng)圖上加上前饋控制和反饋控制[5]。

圖3　電液制動(dòng)系統(tǒng)方塊圖

圖4　電液制動(dòng)最優(yōu)控制系統(tǒng)方塊圖

最優(yōu)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

BR-1BTg(t)，X(0)=0

(19)

在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了基于Schur變換的黎卡提方程求解函數(shù)are()，該函數(shù)的調(diào)用格式為[4]:

P=are(A，V，Q)

(20)

式中，A、V、Q矩陣滿足下列的代數(shù)黎卡提方程

AP+PAT-PVP+Q=0

(21)

4　仿真及結(jié)果分析

經(jīng)過計(jì)算得，系統(tǒng)完全能控能觀，故輸出跟蹤器的最優(yōu)控制U*(t)存在。取Q=1000，R=1，在MATLAB中得到：

K=[-15058-7-530.24-31](22)

(23)

將K帶入得經(jīng)過二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)之后，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

1.03×1011/s5+663.8s4+2.284×105s3+

4.597×107s2+4.226×109s+1.03×1011

閉環(huán)系統(tǒng)的特征根為：

e=102×[-1.1820+2.4889i-1.1820-2.4889i

-2.2741-1.6351-0.3649]

特征根均為負(fù)值，證明系統(tǒng)穩(wěn)定。

運(yùn)用MABLAB/Simulink建立線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)制動(dòng)壓力控制仿真模型如圖5所示。

圖5　LQR壓力控制仿真模型

在式(17)中，Q和R分別代表誤差與能量的加權(quán)矩陣。如果Q和R選擇不合適，系統(tǒng)甚至是不穩(wěn)定的，更不可能達(dá)到最優(yōu)，所以Q與R的取值對(duì)控制結(jié)果有很大影響。圖6表示R=1，分別取Q=10000，Q=1000，Q=100時(shí)的響應(yīng)曲線，圖7表示Q=1000，分別取R=0.1，R=1，R=10時(shí)的響應(yīng)曲線。

圖6　Q不同時(shí)的階躍響應(yīng)曲線

圖7　R不同時(shí)的階躍響應(yīng)曲線

由圖6與圖7可以看出，本系統(tǒng)中，Q增大和R減小可以使系統(tǒng)的控制效果變好。

同時(shí)，為了比較兩種方法的控制效果，對(duì)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、系統(tǒng)穩(wěn)定增壓過程以及實(shí)際應(yīng)用中的ABS控制過程進(jìn)行了仿真。

圖8為系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。由圖可知，對(duì)于系統(tǒng)階躍響應(yīng)，LQR控制到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間為0.05 s，PID控制到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間為0.3 s，LQR控制到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間短。兩種控制方法都存在一定的超調(diào)量，但是LQR控制方法的超調(diào)量小于PID控制且LQR控制出現(xiàn)一次震蕩，PID控制出現(xiàn)多次震蕩。由此可知LQR控制方法優(yōu)于PID控制方法。

圖8　LQR與PID控制階躍響應(yīng)比較曲線

圖9和圖10分別模擬車輛制動(dòng)增壓和ABS過程。模擬車輛制動(dòng)增壓，給制動(dòng)踏板輸入一個(gè)恒定角度，即希望制動(dòng)系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的制動(dòng)力2 MPa。模擬車輛ABS功能，即電子控制單元根據(jù)車身與車輪速度與加速度及路面附著系數(shù)的情況計(jì)算車輪所需制動(dòng)力，此處假設(shè)路面是由高附著系數(shù)向低附著系數(shù)躍變，希望車輛在高附著路面輸出大的制動(dòng)力，低附著路面輸出小的制動(dòng)力，高低附著路面均包含增壓、保壓和減壓過程。

圖9　穩(wěn)定增壓結(jié)果比較

圖10　ABS功能結(jié)果比較

由仿真結(jié)果可看出，LQR控制和PID控制的實(shí)際值都可以跟隨期望值，但是LQR控制的跟隨效果明顯優(yōu)于PID控制，采用二次型最優(yōu)控制方法實(shí)現(xiàn)的電液制動(dòng)系統(tǒng)壓力控制比PID控制精度高、響應(yīng)快、滯后小。

5　結(jié)論

(1) 介紹了工程車輛電液制動(dòng)原理、結(jié)構(gòu)以及電液制動(dòng)壓力控制的數(shù)學(xué)模型；

(2) 闡述了二次型最優(yōu)控制方法-輸出跟蹤器的原理，用MATLAB/Simulink軟件計(jì)算Gr(t)與反饋系數(shù)Kr(t)并建立制動(dòng)壓力控制仿真模型；

(3) 改變加權(quán)系數(shù)Q與R的值，對(duì)比不同Q、R值的階躍響應(yīng)曲線。結(jié)果表明：加權(quán)參數(shù)對(duì)控制效果有很大影響，本系統(tǒng)中增大Q和減小R可以使系統(tǒng)的控制效果變好；

(4) 將二次型最優(yōu)控制與PID控制進(jìn)行比較。結(jié)果表明，在正確選擇加權(quán)參數(shù)的前提下，二次型最優(yōu)控制效果優(yōu)于PID控制，可以應(yīng)用于制動(dòng)壓力調(diào)節(jié)。

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