對(duì)稱(chēng)性在積分計(jì)算中的應(yīng)用①

曹萬(wàn)昌，汪宏遠(yuǎn)，張志旭，溫紹泉，崔成賢

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯154007)

0 引 言

積分是高等數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，在積分計(jì)算中常會(huì)遇到積分區(qū)域和被積函數(shù)具有某種對(duì)稱(chēng)性的題型，在計(jì)算中恰當(dāng)利用對(duì)稱(chēng)性可以簡(jiǎn)化積分求解過(guò)程，或不必計(jì)算就可得到結(jié)果，因此，通過(guò)對(duì)此類(lèi)題進(jìn)行解析，供大家參考.

1 相關(guān)的定理

注意:這里閉區(qū)間［－a，a］也可換成(－a，a)或(－∞，+∞)公式還成立.

定理2 (1)設(shè)有界閉區(qū)域D=D1∪D2，D1與D2關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng).設(shè)函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，那么

若f(x，y)是關(guān)于x 的奇函數(shù)，即f(－x，y)=－f(x，y)則

若f(x，y)是關(guān)于x 的偶函數(shù)，即f(－x，y)=f(x，y)則

(2)設(shè)有界閉區(qū)域D=D1∪D2，D1與D2關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng).設(shè)函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，那么

若f(x，y)是關(guān)于y 的奇函數(shù)，即f(x，－y)=－f(x，y)則

若f(x，y)是關(guān)于y 的偶函數(shù)，即f(x，－y)=f(x，y)則

定理3 設(shè)有界閉區(qū)域D 關(guān)于x 軸和y 軸均對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(x，y)在D 上連續(xù)且f(x，y)關(guān)x 和y 均為偶函數(shù)，則

其中D3是D 的第一象限的部分:

D3={(x，y)∈D|x ≥0，y ≥0}

定理4 設(shè)有界閉區(qū)域D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(x，y)在D 上連續(xù)，如果f(－x，－y)=－f(x，y)，則如果f(－x，－y)=f(x，y)，其中D1={(x，y)∈D|x ≥0}，D2={(x，y)∈D|y ≥0}

定理5 設(shè)空間有界閉區(qū)域Ω=Ω1∪Ω2，Ω1與Ω2關(guān)于xoy 坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(x，y，z)在Ω上連續(xù)，那么:

若f(x，y，z)是關(guān)于z 的奇函數(shù)，則

若f(x，y，z)是關(guān)于z 的偶函數(shù)，則:

同時(shí)，若Ω 關(guān)于yoz 坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，f(x，y，z)關(guān)于奇函數(shù)或偶函數(shù);或者若Ω 關(guān)于xoz 坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)f(x，y，z)關(guān)于y 為奇函數(shù)或偶函數(shù)，同樣也有類(lèi)似結(jié)論.

2 定理的分析與應(yīng)用

觀察所求積分的特點(diǎn)，先看積分范圍是否具有對(duì)稱(chēng)性，再看被積函數(shù)的是否具有奇偶性或能否變換成奇偶性函數(shù)和或差的形式，這里技巧性很強(qiáng)，通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)體會(huì)一下.

解: 被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間(－1，1)，由對(duì)稱(chēng)性得I=0

解: 這個(gè)積分在實(shí)數(shù)范圍不能積分，需要改變思路，做下列變化.積分和積分只是變量形式不同，結(jié)果相同.變形為兩個(gè)積分的乘積用二重積分做.所以I2=其中D={(x，y)∣x，y ∈R}，積分區(qū)域關(guān)于x 軸和y 軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)為x 和y 的偶函數(shù)D1={(x，y)∣x ≥0，y ≥0}求得I2=π，即I=

例3 已知D={(x，y)|－x ≤a，x ≤y ≤a}.D1={(x，y)|0 ≤x ≤a，x ≤y ≤a}.則

提示:將D 分成四個(gè)部分D1，D2，D3，D4

而cos x sin y 在D3 ∪D4 上關(guān)于y 的奇函數(shù)，在D1 ∪ D2 上關(guān)于 x 的偶函數(shù).選(A).

解: 積分區(qū)域如圖2，添加輔助線y=x 將D分為D1，D2 利用對(duì)稱(chēng)性.

圖1

圖2

例6 設(shè)Ω1由x2+y2+z2≤R2，z ≥0 確定，Ω2由x2+y2+z2≤R2，x ≥0，y ≥0，z ≥0 所確定則正確選項(xiàng)().

提示:利用對(duì)稱(chēng)性(A)(B)(D)左邊為0，右邊為正.顯然不對(duì)，故選(C).

3 結(jié) 語(yǔ)

在定積分，重積分計(jì)算時(shí)必須兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)兩方面，只有當(dāng)兩方面的對(duì)稱(chēng)性相匹配時(shí)才能使用.要善于發(fā)現(xiàn)利用問(wèn)題中所具有的對(duì)稱(chēng)性，會(huì)起到事半功倍的效果.當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性并巧妙利用有一定難度，重要的是要多實(shí)踐，大膽創(chuàng)新，開(kāi)拓思路，這樣才能較好地掌握對(duì)稱(chēng)性在積分運(yùn)算的應(yīng)用.

［1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.5 版.北京:高等教育出版社.2002.

［2］ 常浩.對(duì)稱(chēng)性在積分中的應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2011，(3):59－63.

［3］ 周海娜.對(duì)稱(chēng)性在積分計(jì)算中的應(yīng)用［J］.溫州科技職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，(6):46－48.