二維無(wú)解區(qū)域上一類廣義Navier－Stokes 方程的衰減率①

王 艷，常敬騰，董柏青

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601)

0 引 言

主要研究二維無(wú)解區(qū)域Ω 上一類廣義Naiver－Stokes 方程Cauchy 問(wèn)題整體解的L2衰減率

這里u=u(x，t)=(u1，u2)和π=π(x，t)分別表示流體的速度場(chǎng)和壓力，μ0＞0，μ1＞0 為粘性系數(shù).Ω ?R2具有光滑的邊界.眾所周知，當(dāng)μ1=0時(shí)，(1)就變成經(jīng)典的Navier－Stokes 方程［1］.

關(guān)于經(jīng)典的Navier－Stokes 程，其解的衰減性一直是非常熱點(diǎn)的前沿問(wèn)題.例如Leray［2］首次提出了解的衰減性問(wèn)題.Schonbek［3］利用其創(chuàng)立的經(jīng)典的Fourier 分解方法研究了弱解在L2范數(shù)下的衰減率為(1+t)n/4(n 為空間維數(shù)).之后有大量的工作來(lái)進(jìn)一步研究其衰減性，如文獻(xiàn)［4 ～5］等.

本文第三作者［6］曾經(jīng)應(yīng)用改進(jìn)的Fourier 分解方法得到了廣義Navier－Stokes 方程當(dāng)初速度u0∈L2(Rn)∩L1(Rn)(n ≥2)時(shí)弱解在L2范數(shù)下的最優(yōu)衰減率為

然而當(dāng)考慮無(wú)界區(qū)域時(shí)，上述經(jīng)典的Fouerier 分解方法不再適用，本來(lái)將利用廣義Navier－Stokes方程的結(jié)構(gòu)，利用新的方法來(lái)刻畫(huà)速度梯度的衰減性，需要指出的是該方法僅僅依賴于能量方法，而且可以應(yīng)用到一般耗散系統(tǒng)的衰減性研究中

1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果

首先，本文采用以下記號(hào)和約定.不失一般性，首先假定 在(1)中μ0=μ1=1.C ＞0 表示僅依賴于初速度而與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，在不同的地方可以取不同的值.Lq(Ω)表示通常標(biāo)量和向量場(chǎng)的Lebesgue 可積空間，其范數(shù)記為‖·‖q.特別的記‖·‖=‖·‖2.

下面我們給出弱解的定義.

定義2.1 (參考［7］)假設(shè)初速u0∈L2(Ω)，u(x，t)稱為上述Navier－Stokes 方程初邊值問(wèn)題(1)的弱解如果它滿足

(ii)u 在 廣義意義下滿足方程(1).

(iii)u 滿足下面的能量不等式

下面敘述定理.

定理2.1 如果u0∈L2(Ω)，u(x，t)為廣義Navier－Stokes 方程初邊值問(wèn)題(1)的弱解，則

注: 一方面，定理2.1 不同于以往的結(jié)果先給出速度的衰減估計(jì)［8～10］，然后再來(lái)討論速度梯度的衰減估計(jì)，本定理本質(zhì)上提供了一種研究無(wú)界區(qū)域耗散方程解的衰減性的方法.另一方面，定理2.1 的結(jié)果和在相同初值可積條件下，全空間上Navier－Stokes 方程的最優(yōu)衰減率是一致的，因此(3)也是最優(yōu)的.

2 定理2.1 的證明

對(duì)廣義Navier－Stokes 方程(1)兩邊乘以－Δu 然后在空間上積分就得到

這里利用了速度的自由散度的性質(zhì)和零邊界條件，即

利用Holder 不等式，Gagliardo－Nirenberg 不等式和Young 不等式，就得到

這樣把(5)代入到(4)中并利用定義2.1 中的能量不等式，就有

也就是

然后關(guān)于t 時(shí)間從s 到t 積分，t ≥s ≥0，這樣有

再次利用定義2.1 中的能量不等式

代入(9)就得到

這里C0＞0 是一個(gè)僅僅依賴于初速度的常數(shù).

從而進(jìn)一步由能量不等式就得到

即

于是我們就證明了定理2.1.

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