素環(huán)Jordan 理想上的右(θ，θ)－導(dǎo)子①

苑智莉

(吉林師范大學(xué)研究生院，吉林 長春130000)

0 引 言

Bell 和Kappe 證明了，d 為R 上導(dǎo)子，在R 上非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d = 0［1］.Rehman 進(jìn)一步研究素環(huán)非零理想上廣義導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài)，若d ≠0，則R 為可交換的［2］.Ashraf 推廣到δ:R →R 左(θ，θ)－導(dǎo)子在素環(huán)Jordan 理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則δ=0［3］探究了Ashraf 的結(jié)果在右(θ，θ)－導(dǎo)子上是否成立.

1 預(yù)備知識

定義1: 如果對任意的a，b ∈R，aRb=0 有a=0 或b=0，則稱R 為素環(huán).

定義2: 設(shè)R 是結(jié)合環(huán)，d:R →R 是R 上可加映射，如果對于任意x，y ∈R，有d(xy)=d(x)y+xd(y).則稱d 為R 上的一個導(dǎo)子.

定義3: 環(huán)R 的一個可加子群J 稱為環(huán)R 的Jordan 理想，如果u ?r ∈J，對?u ∈J，r ∈R 成立.

定義4:S 為環(huán)R 的非空子集，θ，φ 為R 上自同構(gòu)，可加映射δ:R →R 若滿足δ(xy)=θ(x)δ(y)+φ(y)δ(x)，x，y ∈S，則稱δ 為左(θ，φ)－導(dǎo)子.

由左(θ，φ)－導(dǎo)子的定義，類似的，定義右(θ，φ)－導(dǎo)子.

定義5:S 為環(huán)R 的非空子集，θ，φ 為R 上自同構(gòu)，可加映射δ:R →R 若滿足δ(xy)=δ(x)θ(y)+δ(y)φ(x)，x，y ∈S，則稱δ 為右(θ，φ)－導(dǎo)子.

2 主要結(jié)果

引理1［［3］引理2.5］:R 為2－扭自由素環(huán)，J 為R 上非零Jordan 理想，若aJ=(0)或Ja=(0)，a ∈R 則a=0.

引理2［［3］引理2.6］:R 為2－扭自由素環(huán)，J 為R 上非零Jordan 理想，若aJb=(0)，則有a=0 或b=0.

定理1:R 為2－扭自由素環(huán)，J 為R 上非零Jordan 理想且為R 上子環(huán)，θ 為R 上自同構(gòu)，δ:R →R 右(θ，θ)－導(dǎo)子，若δ 作為J 上同態(tài)，則δ=0.

證: 由已知

在(1)中，用uv 代替v，并應(yīng)用(1)，可得δ(u)δ(u)θ(v)=δ(u)θ(uv)，?u，v ∈J.所以

則δ(u)(δ(u)－θ(u))θ(J)=0，?u ∈J.θ為自同構(gòu)，J 為R 上非零Jordan 理想，θ(J)也為R上非零Jordan 理想，由引理1 可知，δ(u)(δ(u)－θ(u))=0，?u ∈J.

則δ(u2)=δ(u)θ(u)，?u ∈J.因?yàn)棣?為右(θ，θ)－導(dǎo)子，可得

對(3)進(jìn)行線性化，令u=u+v，可得

在(4)式中，vu 代替v，可得δ(u)θ(v)θ(u)=0，?u，v ∈J.即θ－1(δ(u))Ju=0，?u ∈J，由引理2 可知u=0 或θ－1(δ(u))=0.

當(dāng)u=0 時，θ－1(δ(u))=0;當(dāng)θ－1(δ(u))=0，即δ(u)=0，?u ∈J.

令u=u ?r 可得2δ(u)θ(r)=0，?u ∈J，r ∈R

R 為2－扭自由素環(huán)，θ(J)為R 上非零Jordan理想，由引理1 可知δ(u)=0.

得證.

［1］ H.E.Bell and L.C.Kappe，Rings in Which Derivations Satisfy Certain Algebric Conditions［J］.Acta Math.Hung.1989，53:339－346.

［2］ M.Ashraf，N.Rehman and M.A.Quadri，On(σ，τ)－derivations in Certain Classes of Rings［J］.Rad.Math.1999，9，187－192.

［3］ Zaidi，S.M.A.，Ashraf，M.And Ali，S.:On Jordan Ideals and Left－Derivations in Prime Rings［J］.International Journal of Mathematical Sciences，2004，37:1957－1964.

［4］ N.Rehman，On Generalized Derivation as Homomorphisms and Anti－h(huán)omomophisms［J］.Glasnic Mat.2004，39(59):27－30.

［5］ I.N.Herstein，Topics in Ring Theory［M］.Univ.Chicago press，Chicago 1969.