永磁球形電動(dòng)機(jī)永磁體渦流損耗分析

李洪鳳 沈彥波

永磁球形電動(dòng)機(jī)永磁體渦流損耗分析

李洪鳳 沈彥波

（天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院 天津 300072）

永磁球形電動(dòng)機(jī)的磁極呈球面錐體結(jié)構(gòu)，各定子線圈相互獨(dú)立分布于定子球殼內(nèi)表面，針對(duì)這些特性，提出了一種計(jì)算永磁球形電動(dòng)機(jī)永磁體渦流損耗的三維解析模型。該模型將雙重傅里葉級(jí)數(shù)法與矢量磁位解析法相結(jié)合，首先利用雙重傅里葉級(jí)數(shù)法求得定子內(nèi)徑處電流密度分布，繼而將其作為邊界條件，借助三維拉普拉斯方程，獲得了矢量磁位的特解，最后推導(dǎo)得到了永磁球形電動(dòng)機(jī)永磁體渦流損耗的解析表達(dá)式。該模型充分考慮到了時(shí)間諧波與空間諧波對(duì)渦流損耗的影響，并分析了不同的電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)永磁體渦流損耗的影響。將解析法與有限元法所得結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果一致，證明了該解析模型的有效性。

永磁球形電動(dòng)機(jī) 雙重傅里葉級(jí)數(shù)法 矢量磁位法 永磁體渦流損耗解析模型

1 引言

目前，機(jī)械手、機(jī)器人等裝置多自由度運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)需要多臺(tái)單自由度電機(jī)的相互配合，但是，這樣的系統(tǒng)具有體積大、精度低、摩擦大等缺點(diǎn)。為了改善系統(tǒng)的性能，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者將研究的重點(diǎn)放到了單軸可以實(shí)現(xiàn)多自由度運(yùn)動(dòng)的電動(dòng)機(jī)上。其中，永磁球形電動(dòng)機(jī)以體積小、重量輕、力能指標(biāo)高、控制簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，成為多自由度電動(dòng)機(jī)研究的熱點(diǎn)[1-9]。

永磁體的渦流損耗是永磁球形電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵性問題?，F(xiàn)階段，永磁體大多采用釹鐵硼， 這是因?yàn)槠渚哂休^高的矯頑力和剩磁，但其電導(dǎo)率比較高且耐熱性差，渦流會(huì)使永磁體發(fā)熱并升溫，甚至?xí)?dǎo)致部分不可逆退磁?？v觀國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于永磁體渦流損耗的研究，本質(zhì)上主要局限于采用解析法和有限元法對(duì)傳統(tǒng)單自由度永磁電動(dòng)機(jī)永磁體渦流損耗二維模型進(jìn)行的分析[10-16]。其中，文獻(xiàn)[10]將定子線圈電流等效為位于定子槽口處的等效電流片。還考慮了空間諧波分量和時(shí)間諧波分量對(duì)渦流損耗的影響，給出了解析表達(dá)式，并與有限元仿真進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了解析表達(dá)式的正確性。文獻(xiàn)[11]通過對(duì)理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較，得出了將永磁體分為多個(gè)單元并進(jìn)行相互隔離時(shí)能夠減小永磁體中產(chǎn)生渦流損耗的結(jié)論。文獻(xiàn)[12]應(yīng)用解析法分析了永磁同步電機(jī)帶交、直流負(fù)載時(shí)的渦流損耗情況，為如何降低帶載時(shí)的轉(zhuǎn)子渦流損耗提供了寶貴的數(shù)據(jù)材料。文獻(xiàn)[13]對(duì)比分析了永磁體渦流損耗對(duì)電動(dòng)機(jī)與發(fā)電機(jī)的溫升的影響情況。文獻(xiàn)[14]利用數(shù)值方法，計(jì)算了發(fā)電機(jī)在三相負(fù)載不對(duì)稱時(shí)負(fù)序電流在轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的渦流損耗以及由渦流損耗引起的溫升。文獻(xiàn)[15]則考慮了PWM調(diào)制對(duì)無刷直流電機(jī)轉(zhuǎn)子的渦流損耗的影響，通過改變占空比，分析了渦流損耗的變化情況。

本文的研究對(duì)象的實(shí)物模型如圖1所示，定子線圈被分為3層，每層18個(gè)線圈，6塊永磁體按N極與S極交替安裝在球形轉(zhuǎn)子上，各結(jié)構(gòu)名稱如表1所示。首先，應(yīng)用雙重傅里葉級(jí)數(shù)法推導(dǎo)得到了定子線圈的等效電流片的電流密度分布。其次，采用解析法，以矢量磁位為求解變量，對(duì)永磁體渦流損耗進(jìn)行了理論推導(dǎo)，得到了永磁體渦流損耗的解析表達(dá)式，最后用有限元法驗(yàn)證了解析方法的正確性。

圖1 永磁球形電動(dòng)機(jī)實(shí)物模型Fig.1 The prototype of the PMSM

表1 結(jié)構(gòu)名稱Tab.1 The names of different structures

2 定子線圈電流密度分布

為了計(jì)算永磁球形電動(dòng)機(jī)永磁體的渦流損耗，需要計(jì)算出定子線圈在氣隙與永磁體內(nèi)的電磁場(chǎng)分布，而這需要得到線圈在定子內(nèi)徑處的電流密度分布。

圖2 永磁球形電動(dòng)機(jī)的三維模型Fig.2 The 3-D model of the PMSM

圖2 (a)給出了電機(jī)全部磁極與線圈的三維模型，圖2(b)給出了單個(gè)磁極與局部線圈模型，其中Rs、Rm和Rr分別為定子內(nèi)徑、磁極外徑和磁極內(nèi)徑，αb表示線圈間隙對(duì)應(yīng)機(jī)械角度，θr為單個(gè)磁極的經(jīng)度角，φr為單個(gè)磁極的緯度角，O為球心。假設(shè)把電機(jī)的三層線圈沿定子周向延展開，將圓形線圈電流等效為位于線圈間隙間的厚度無窮小的圓環(huán)狀電流片，由于存在α，φ兩個(gè)變量，需要應(yīng)用到雙重傅里葉變換對(duì)等效電流片電流密度進(jìn)行分析。為了簡(jiǎn)化分析，進(jìn)一步將圓環(huán)狀的電流片等效為方形的[5]，如圖3中陰影部分所示。那么，定子上的每一個(gè)線圈在定子內(nèi)徑處的電流密度都可由其等效成的方形的電流片的電流密度值Js所表示。

圖3 等效電流片模型Fig.3 The model of equivalent current sheet

本文以永磁球形電動(dòng)機(jī)的自轉(zhuǎn)為例來分析電機(jī)的永磁體渦流損耗，方法同樣適用于其他形式的運(yùn)動(dòng)。將永磁球形電動(dòng)機(jī)沿赤道一周的定子線圈分為三相（位于同一經(jīng)度的三個(gè)線圈為同一相，且通電方式是一樣的），采用典型的三相橋式電路對(duì)定子線圈進(jìn)行供電來實(shí)現(xiàn)電機(jī)的自轉(zhuǎn)。

以任意選取的位于赤道處一層的一個(gè)線圈A1為分析對(duì)象，分別沿α，φ方向進(jìn)行剖分，可以得到兩個(gè)剖面圖4(a)與圖4(b)，如圖4所示。

圖4 永磁球形電動(dòng)機(jī)的剖面圖Fig.4 The cross sections of the PMSM

當(dāng)僅有A相通電，電流為i時(shí)，電流密度的分布如圖5所示。

圖5 等效電流片電流密度Fig.5 The current density of the equivalent current sheet

J的表達(dá)式可表示為

αy表示單個(gè)線圈所對(duì)應(yīng)的機(jī)械角度，N為單個(gè)線圈總匝數(shù)，且方形電流片面積S為將J進(jìn)行雙重傅里葉分解，即:

其中，v與w分別為沿α，φ方向的空間諧波次數(shù)，i為虛數(shù)單位，ps為定子極對(duì)數(shù)，且

其中，T1與T2分別為對(duì)α，φ進(jìn)行雙重傅里葉分解的周期值，并引入ω1與ω2，分別為對(duì)應(yīng)的角頻率，且

所以，綜合式（3）與式（4），可推得

以上電流密度僅分析了A相通電時(shí)的情況，由球形電動(dòng)機(jī)的通電方式可知，位于同一經(jīng)度的三個(gè)線圈為同一相，因而不涉及三相電流疊加，只需將沿α方向的三相電流進(jìn)行疊加。由于三相電流在空間與時(shí)間上對(duì)稱，假定各次時(shí)間諧波次數(shù)為u，幅值為Iu，則A、B、C三相電流時(shí)間表達(dá)式為

式中，ωr為轉(zhuǎn)子角速度，θu為各次時(shí)間諧波相角，pr為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)。

將式（10）代入式（9），可得三相電流密度傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式

其中，

所以，位于定子內(nèi)徑處的等效電流片的電流密度分布表達(dá)式為

3 定子線圈電磁場(chǎng)分布

得到了定子線圈的電流密度分布，可以對(duì)線圈的電磁場(chǎng)分布進(jìn)行分析。引入矢量磁位A，其在包含永磁體與氣隙的三維求解域內(nèi)滿足三維拉普拉斯方程

矢量磁位A在球坐標(biāo)系下的通解為

其中，X和Y為待定系數(shù)，且

其中

給定永磁球形電動(dòng)機(jī)邊界條件

矢量磁位可解得

將式(13)代入上式，可得

由此矢量磁位可以得到定子線圈電磁場(chǎng)的Br，Bθ和Bφ三個(gè)磁密分量，如圖6所示。

圖6 磁密分布Fig.6 The flux density distribution

由圖6可知，三個(gè)分量的幅值相差不大，都在0.15特斯拉左右，永磁球形電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)的特殊性使其較常規(guī)電機(jī)多了一個(gè)磁密分量Bφ，且其幅值較大，不容忽視，這也說明了對(duì)永磁球形電動(dòng)機(jī)進(jìn)行三維建模和分析的必要性。

4 永磁體渦流損耗計(jì)算

將式(22)在靜止坐標(biāo)系下的表示形式轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的表示形式，有α=θ+ωrt ，所以

永磁體中由時(shí)變的定子線圈電磁場(chǎng)感應(yīng)產(chǎn)生的渦流可以由下式表示

其中，ρ為永磁體的磁阻率，C(t) 的引入是因?yàn)槊總€(gè)磁極對(duì)外界總電流密度表現(xiàn)為零，所以永磁體內(nèi)的感應(yīng)電流需滿足如下約束條件

其中，φ1、φ2為磁極上下邊緣處的緯度。永磁球形電動(dòng)機(jī)的永磁體渦流損耗為

令φr=φ2-φ1，P1、P2分別為

其中，

5 永磁體渦流損耗分析

渦流損耗的計(jì)算需要應(yīng)用到相電流各次時(shí)間諧波的幅值Iu，可以應(yīng)用有限元法得到相電流波形。電機(jī)的相關(guān)參數(shù)如表2所示。永磁球形電動(dòng)機(jī)空載轉(zhuǎn)速為45rpm時(shí)，有限元法得到的A相的相電流波形圖如圖7所示。

表2 結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)Tab.2 Structure and material parameters

圖7 A相電流波形Fig.7 The current waveform of phase A

可以看出，電流波形為非正弦，含有諧波分量。對(duì)此波形進(jìn)諧波分析就可以得到各次時(shí)間諧波的幅值Iu與相位θu，可以將此結(jié)果應(yīng)用到解析模型。其中各次諧波的幅值如圖8所示。

圖8 電流諧波Fig.8 The current harmonics

可以看出，除基波外， 5、7、11、13次諧波的幅值還是比較高的，隨著轉(zhuǎn)速的增加，它們?cè)陔姍C(jī)不同部位產(chǎn)生的損耗將會(huì)很高。

由式(26)可以得到永磁球形電動(dòng)機(jī)永磁體渦流損耗隨不同參數(shù)變化的三維圖形，如圖9所示。其中，轉(zhuǎn)速為300rpm，相電流為10A，空載。

圖9 永磁體渦流損耗隨不同參數(shù)變化的三維圖形Fig.9 The influence of different parameters on eddy current loss 3-D diagram

圖9 a給出了永磁體渦流損耗隨永磁體經(jīng)度角θ和永磁體厚度R的變化情況。圖9b給出了永磁體渦流損耗隨永磁體經(jīng)度角θ和氣隙長(zhǎng)度δ的變化情況。為了便于分析，圖10給出了當(dāng)永磁體經(jīng)度角θ為360°時(shí)的二維圖形，圖10a給出了R對(duì)渦流損耗的影響，圖10b給出了δ對(duì)渦流損耗的影響。

圖10 θ為360°時(shí)不同參數(shù)對(duì)渦流損耗影響的二維圖Fig.10 The influence of different parameters on eddy current loss2-D diagram when θ is 360°

由圖10a可以看出，永磁體內(nèi)的渦流損耗隨著永磁體厚度的增大而增大。當(dāng)永磁體太厚時(shí)，交變的磁場(chǎng)在永磁體內(nèi)衰減較快，因而出現(xiàn)了圖中所示的永磁體大于10mm后渦流損耗幾乎不再增加的情況。永磁體太厚也會(huì)增加轉(zhuǎn)子重量，提高成本，降低工作性能，所以應(yīng)該減小永磁體厚度，但是不能太薄，否則會(huì)嚴(yán)重削弱永磁體的磁密分布[4]。適當(dāng)?shù)販p小永磁體厚度（不大于10mm），將減少永磁體運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的渦流損耗，并且提高電動(dòng)機(jī)的工作性能。

由圖10(b)可以看出，隨著氣隙逐漸增大，渦流損耗迅速下降。這是由于氣隙的增大會(huì)使諧波磁動(dòng)勢(shì)在氣隙處的降落增大，從而使永磁體遭受的磁動(dòng)勢(shì)降低，進(jìn)而減少了渦流損耗。但氣隙不能過大，否則會(huì)降低輸出轉(zhuǎn)矩。因此，在不影響電機(jī)運(yùn)行的前提下，適量增加氣隙長(zhǎng)度（不小于1mm）將會(huì)大大降低永磁體渦流損耗，減少永磁體的發(fā)熱，延長(zhǎng)電機(jī)的壽命。

6 有限元仿真驗(yàn)證

對(duì)于永磁體渦流損耗，可以應(yīng)用三維有限元法得到的渦流密度分布J直接計(jì)算得到[16]，計(jì)算公式為

圖11為永磁球形電動(dòng)機(jī)不同轉(zhuǎn)速時(shí)的磁極內(nèi)渦流密度分布的有限元仿真結(jié)果。

圖11 渦流密度分布圖Fig.11 The eddy current density distribution

為了分析磁極不同區(qū)域渦流密度分布情況，分別對(duì)a、b和c三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行作圖，其中，a點(diǎn)位于非赤道一層的線圈所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，b點(diǎn)位于赤道一層的線圈所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，c點(diǎn)位于赤道一層的兩個(gè)相鄰的線圈所夾空隙對(duì)應(yīng)的區(qū)域，隨轉(zhuǎn)速的不同，各點(diǎn)處渦流密度變化曲線如圖12所示。

圖12 渦流密度對(duì)比Fig.12 The comparison of eddy current density

由圖12可以看出，相比之下，c點(diǎn)所處區(qū)域的渦流密度數(shù)值很小，而b點(diǎn)所處區(qū)域的渦流密度明顯大于其他區(qū)域，這與永磁球形電動(dòng)機(jī)的定子線圈的分布情況有關(guān)，多個(gè)線圈的相互獨(dú)立的排列形式造成了永磁體內(nèi)渦流密度的不均勻分布。

將本文提出的永磁體渦流損耗三維解析模型與有限元法所得結(jié)果進(jìn)行比較，如圖13所示。

圖13 電機(jī)不同轉(zhuǎn)速下單塊磁極渦流損耗Fig.13 The eddy current loss of a single pole at different speeds

可以看出兩者結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了此解析模型的有效性。

7 實(shí)驗(yàn)

永磁球形電動(dòng)機(jī)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖14所示。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用三相橋式電路對(duì)永磁球形電動(dòng)機(jī)定子線圈供電，實(shí)現(xiàn)了永磁球形電動(dòng)機(jī)的連續(xù)自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?？蛰d實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為45rpm時(shí)，A相電流波形如圖15所示。圖中，縱軸坐標(biāo)對(duì)應(yīng)2A/div。

圖14 永磁球形電動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.14 The experiment platform of the PMSM

圖15 A相電流波形圖Fig.15 The current waveform of phase A

虛線部分的放大圖為圖16，縱軸坐標(biāo)對(duì)應(yīng)2A/div，可以看出，空載時(shí)，通過定子線圈的電流為4A，該實(shí)驗(yàn)波形與有限元仿真波形圖7相吻合。

圖16 局部放大圖Fig.16 The partial enlarged diagram

8 結(jié)論

本文采用雙重傅里葉級(jí)數(shù)法得到了永磁球形電動(dòng)機(jī)定子線圈的等效電流片模型，基于矢量磁位,建立了永磁體渦流損耗解析模型，得到了等效電流片的磁密分布，并求解出永磁體渦流損耗的三維解析表達(dá)式，該表達(dá)式考慮到了空間諧波與時(shí)間諧波對(duì)永磁體渦流損耗的影響。分析了不同永磁體厚度與氣隙等結(jié)構(gòu)參數(shù)情況下永磁體產(chǎn)生的渦流損耗。通過有限元仿真，驗(yàn)證了該解析法的準(zhǔn)確性。本文的解析模型對(duì)永磁球形電動(dòng)機(jī)的初始設(shè)計(jì)與優(yōu)化具有一定的借鑒意義。

附錄 A

式（13）的推導(dǎo)過程如下，

當(dāng)v=3c-u（c =0,±1,±2...）時(shí)，有

所以，

當(dāng)v=3c+u（c =0,±1,±2...）時(shí)，有

所以，

綜上，

附錄 B

電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的Br，Bθ和Bφ三個(gè)磁密分量，

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Eddy Current Loss Analysis in the Rotor magnets of Permanent Magnet Spherical Motor

Li Hongfeng Shen Yanbo
（School of Electrical Engineering and Automation Tianjin University Tianjin 300072 China）

The rotor magnets of the permanent magnet spherical motor(PMSM) have a structure of spherical cone, and all of the stator coils are distributed on the inner surface of the stator shell independently of each other. In view of these characteristics, a three-dimensional(3-D) analytical model is presented to study the eddy current loss of magnets in the PMSM. And this model combines the double Fourier series decomposition and the magnetic vector potential method. First, the current density distribution at the inner diameter of the stator is described by employing the double Fourier series decomposition. With the current density distribution and other boundary conditions, the unique solution of magnetic vector potential is obtained by solving 3-D Laplace’s equations. Further, the analytic expression of PM eddy current loss in the PMSM is derived. This model considers the effect of harmonics, and the influence of different motor parameters on the eddy current loss has been analyzed. The results of analytical method and finite element method(FEM) are compared, proving the effectiveness of the proposed analytical model.

PMSM, double Fourier series decomposition, magnetic vector potential method, analytical model of PM eddy current loss

TM351

李洪鳳 女，1979年生，副教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)與電器。

國(guó)家自然科學(xué)基金（51007061）。

2014-07-10

沈彥波 男，1991年生，碩士，研究方向?yàn)殡姍C(jī)與電器。