一道“偽坐標系”考題引發(fā)的思考

☉江蘇省如皋市實驗初中 陳海宏

一道“偽坐標系”考題引發(fā)的思考

☉江蘇省如皋市實驗初中 陳海宏

近讀《中學數(shù)學》，發(fā)現(xiàn)一個可喜的現(xiàn)象，即對中考命題或平時的期中、期末地區(qū)試題進行較有深度的探討、商榷甚至批判（見文1～文5）.特別是文5，作者拿本地區(qū)的“權(quán)威考卷”說事，這種敢于批評與自我批評的態(tài)度值得點贊！特別是在當前不少命題研究的同行習慣于對中考題“唱贊歌”式的賞析相比，《中學數(shù)學》能集中刊發(fā)這么多命題商榷與批判的文章，也顯示了編輯部這種倡導爭鳴、說真話的膽略與勇氣！受他們的啟發(fā)和鼓勵，作為一種實踐響應，本文也擬就新近關(guān)注到一些考題展開命題探討，就教于大家.

一、一道考題及思路突破

例1（某QQ群里同行的征解題）如圖1，點A是反比例函數(shù)y=圖像上一點，點B是x軸正半軸上一點，點C的坐標為（0，2），當△ABC是等邊三角形時，點A的坐標為________.

解法一：如圖2，在x軸的負半軸上取點D，使∠DCO=30°，在OB延長線上取點E，使BE=CD，連接AE，則∠BDC=60°，所以∠BCD+∠CBD= 120°.

圖1

圖2

因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC，∠ABC= 60°，所以∠ABE+∠CBD=120°，所以∠ABE=∠BCD，所以△ABE≌△BCD，所以AE=BD，∠AEB=∠BDC=60°，所以BD，所以O(shè)D+HE=

解后反思：在上面的求解過程中，有兩處是關(guān)鍵步驟：

第一，基于所謂“一線三等角”基本圖形獲得的啟示，構(gòu)造輔助線成為思路獲得進展的關(guān)鍵.不妨鏈接一些常見的“一線三等角”圖形：在圖3中，點D、A、E在同一條直線上，∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，則有△BDA∽△AEC；在圖4中，∠BDA=∠BAC=∠AEC，仍有△BDA∽△AEC.（注：如果恰有BA=CA，則△BDA≌△AEC）

圖3

圖4

解法二：如圖5，以O(shè)C為邊，在第一象限作等邊△OCD，連接AD，可證△ACD≌△BCO，∠ADC=∠BOC=90°.基于“一線三等角”基本圖形的啟示，過點D作DG∥x軸，交y軸于點G，過點A作AH⊥DG，垂足為H.可得

圖5