帶干擾的農(nóng)民工醫(yī)療保險風(fēng)險模型①

楊 璐，陳奕含，王志福

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州121001)

0 引 言

農(nóng)民工是個特殊的群體，面臨著健康和醫(yī)療無保障雙重困境.目前，有人提出購買醫(yī)療保險的觀點，在此基礎(chǔ)上，本文研究了文獻(xiàn)［1－2］并聯(lián)系實際，建立了保費收入和理賠為復(fù)合Poisson 過程的帶干擾的風(fēng)險模型［3］，同時考慮了隨機利率，最終得到調(diào)節(jié)系數(shù)，破產(chǎn)概率表達(dá)式，通過某市八個行業(yè)的數(shù)據(jù)分析，估算出保險公司的破產(chǎn)概率與初始資本的關(guān)系.

1 模型的建立

其中U(t)為保險公司t 時刻的盈余，u=U(0)(u＞0)為時刻0 的初始資本;I 為隨機利率.對于模型(1)，作如下假設(shè):

(1)Xj為保險公司第j 張保單收取的保費，Yj為保險公司第j 次的理賠額，且{Xj，j=1，2，…}與{Yj，j=1，2，…}為恒正的獨立同分布的隨機序列，其分布函數(shù)分別為F(x)，G(y)，E(Xj)=μ1，

(2)M(t)，N(t)分別為保險公司截止時刻t 的保單數(shù)和理賠次數(shù);且{M(t)，t ≥0}，{N(t)，t ≥0}是參數(shù)分別為λ1，λ2的Poisson 過程，M(0)=0，n(0)=0;

(3){W(t)，t ≥1}為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動，表示保險公司的不確定收入與支出，b 為干擾因子;

(4)S(t)為到t 時刻的理賠額［4］;

(5){Xj，j = 1，2，…}，{Yj，j = 1，2，…}，{M(t)，t ≥0}，{N(t)，t ≥0}相互獨立;

若不考慮初始資本，模型(1)可寫為

即在某時刻t 時保險公司的盈余過程，其中如果保險公司的盈余小于零，可視之為破產(chǎn).

定義1: 破產(chǎn)時刻:T=inf{t:U(t)＜0}，最終破產(chǎn)概率Ψ(u)=P{T ＜∞|U(0)=u}，相對安全系數(shù);當(dāng)θ=0 或θ ＜0 時破產(chǎn).

2 醫(yī)療保險模型的破產(chǎn)概率

引理1 對于盈余過程［5］，{G(t)，t ≥0}，存在函數(shù)使得E［e－rG(t)］=exp(tg(r)).

引理2 對于g(r)，則方程g(r)=0 在r ＞0內(nèi)有唯一正解R，稱R 為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明: 由于

故

又易知

所以

從而g(r)是具有極小值點的下凸函數(shù)，

則g(r)在r ＞0 內(nèi)有唯一極小值點

故方程g(r)=0 有唯一正解，設(shè)該解為R，R即為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明:

當(dāng)r 取調(diào)節(jié)系數(shù)R 時，有E［e－RU(t)］=e－Ru(1+I)，則上式可化為

由

當(dāng)t →∞時，

以下證明limt E［e－RU(t)|T ＞t］P(T ＞t)=0 E［U(t)］=u(1+I)+λ1tμ1－λ2tμ2=u(1+I)+ωt

由切比雪夫不等式，

當(dāng)t →∞時，

所以

從而得到，

由在t ＜∞上，－RU(T)≥0，可知E［e－RU(T)|T ＜∞］≥1

由此可得

3 醫(yī)療保險模型的應(yīng)用

3.1 醫(yī)療保險購買情況調(diào)查

為得到模型(1)中Poisson 過程中參數(shù)值，通過對J 城市部分主要行業(yè)中農(nóng)民工是否有意向購買醫(yī)療保險進行調(diào)查統(tǒng)計，得到部分農(nóng)民工購買意愿的統(tǒng)計結(jié)果如下:

表1 農(nóng)民工購買醫(yī)療保險意愿問卷數(shù)據(jù)分析

根據(jù)表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可以通過購買者比例來估算各行業(yè)中醫(yī)療保險的購買人數(shù).假設(shè)城市八個主要行業(yè)每個行業(yè)從業(yè)人員大約有2000 人，則通過上表相應(yīng)比例可得各行業(yè)有購買醫(yī)療保險意向人數(shù)分別為:417 人，546 人，576 人，758 人，650 人，599 人，671 人，733 人.

做無偏估計得:

3.2 醫(yī)療保險破產(chǎn)概率Ψ(u)的估算

通過對保險公司的保單和理賠數(shù)據(jù)進行分析我們可以得到，每筆保單的Xj服從指數(shù)分布，參數(shù)大約為α=1，每筆理賠額Yj也服從指數(shù)分布，參數(shù)大約為

在模型(1)中I 為一年的年利率，設(shè)I =3.3%，農(nóng)民工患病率0.18，則λ2=0.18.干擾因子b=0.2，由以上計算可知:

令g(r)=0 得R ≈3.43×10－4

當(dāng)u=10000 時，將R=3.43×10－4，i=3.3%代入(3)式得Ψ(u)≤2.89%;

當(dāng)u=20000，30000，50000 時，可以計算出破產(chǎn)概率的上界，如表2:

表2 破產(chǎn)概率的上界

由上表可知，主要影響破產(chǎn)概率的因素為初始資本，初始資本越多，破產(chǎn)概率越低，這與保險公司的實際運營是一致的.當(dāng)然本文也存在一些誤差，如樣本較小，對一些變量的取值較小等［6］，這些結(jié)果都會影響實際運營.伴隨市場經(jīng)濟的日益復(fù)雜，繼續(xù)深入和完善風(fēng)險理論是非常有價值的，該課題的研究也一定會有更廣闊的前景.

［1］ 邊寬江，張振力，蔣紅敬.金融危機下的農(nóng)民工失業(yè)保險模型探究［J］.安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)，2010，11:5946－5947.

［2］ 陳漢平，何謙.農(nóng)民工失業(yè)保險研究述評［J］.當(dāng)代經(jīng)理人，2008，(21):1292－1293.

［3］ 陳松男.金融工程數(shù)學(xué)［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2002:1－15.

［4］ 解俊山.保險風(fēng)險模型破產(chǎn)理論的若干成果［J］.西北工業(yè)大學(xué)，2006.

［5］ 黎鎖平，劉琪.考慮投資和干擾具有隨機保費的離散風(fēng)險模型［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，24(1):9－14.

［6］ AsmussenS.Ruin Probailities［M］，World Scientific，2000.

［7］ 張振力.利率環(huán)境下幾類金融風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題研究［D］.楊凌:西北農(nóng)林科技大學(xué)，2010－05－01.

［8］ 黃雯婷.關(guān)于兩種推廣風(fēng)險模型的研究［D］.重慶:重慶大學(xué)，2009－04－01.