單重休假M/PH/1 排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型研究①

毛炳蔚，趙 海，王福偉

(1.燕山大學理學院，河北 秦皇島066004;2.燕山大學信息與科學工程學院，河北 秦皇島066004)

0 引 言

近年來，很多工作集中于研究若干簡單排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型［1～2］，這時，流模型的隨機環(huán)境是某個排隊系統(tǒng)的平穩(wěn)隊長過程.徐秀麗等研究了M/PH/1 排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型［3］.在此基礎(chǔ)上，我們引入休假策略，將模型推廣為單重休假M/PH/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型.休假策略的引入將使流模型的優(yōu)化設(shè)計更為靈活多變.

1 二維驅(qū)動系統(tǒng)—單重休假M/PH/1 排隊系統(tǒng)

考慮單重休假M/PH/1 排隊系統(tǒng)，其到達間隔服從參數(shù)為λ 的指數(shù)分布，服務時間服從PH 分布，其m 階表示為(α，T)，且αm+1=0，Te+T0=0，其中e 和I 分別表示相應階數(shù)的分量皆為1 是列向量和單位矩陣，由此易知αe =1 及服務時間的均值為μ－1=－αT－1e.服務員遵循單重休假策略，即當系統(tǒng)為空時，服務員進行一次休假，當休假結(jié)束時，系統(tǒng)中有顧客則進入忙期，否則進入閑期.休假時間服從參數(shù)為θ 的指數(shù)分布，另外，到達間隔、服務時間及休假時間相互獨立，服務順序為先到先服務.令L(t)，J(t)分別表示時刻t 系統(tǒng)中的顧客數(shù)和服務員所處的狀態(tài)，其中J(t)?。?，0，j(1 ≤j≤m)分別表示服務員處于假期、閑期和忙期中的位相狀態(tài)j.

易知(L(t)，J(t))為擬生滅過程，其狀態(tài)空間為Ω={(00)}∪{(k，－1)，(k ≥0)}∪{(kj)，(k ≥1，1 ≤j ≤m)}.將狀態(tài)按字典順序排列，可得其生成元為

令(L(t)，J(t))的平穩(wěn)分布為

2 三維流模型—單重休假M/PH/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型

令X(t)表示時刻t 流模型系統(tǒng)中的庫存量，流體的凈輸入率取決于驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)，當驅(qū)動系統(tǒng)處于閑期、假期且無顧客、假期且有顧客及忙期時，流體的凈輸入率分別為σ，σ1，σ2及σ3，其中σ＜0，σ1，σ2，σ3＞0，于是流模型過程為三維馬氏過程(L(t)，J(t)，X(t))，且其平均漂移為

當d ＜0 且ρ ＜1 時，流模型為穩(wěn)定系統(tǒng).我們假設(shè)這一條件恒成立.此時，其穩(wěn)態(tài)隨機向量記為(L，J，X)，其中X 稱為穩(wěn)態(tài)庫存水平，其穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布記為Fkj(x)=P{L=k，J=j，X ≤x}，((kj)∈Ω).引入向量F(x)=(F0(x)，F(xiàn)1(x)，F(xiàn)2(x)，…)，其中F0(x)=(F0，－1(x)，F(xiàn)00(x))，F(xiàn)k(x)=(Fk，－1(x)，F(xiàn)k1(x)，…，F(xiàn)km(x))，k=1，2，….不難得到流模型的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布滿足如下的矩陣微分方程

其中F(0)=(0，a，0，0，…，0)，Λ=diag(σ1，σ，Σ，Σ，…)，Σ=diag(σ2，σ3Im)

記F(x)、Fk(x)的Laplace 變換(LT)分別為，對微分方程(1)兩邊取LT，并考慮到邊界條件F(0)，得

在此，引入一重要的矩陣二次方程

這個方程的最小非負解稱為率函數(shù)矩陣.

引理1 若ρ ＜1，則二次矩陣方程(3)有最小非負解

其中

證明: 因矩陣B，A－sΣ 和C 都是上三角陣，故滿足方程(3)的解必定也是上三角陣，故設(shè)

代入方程(3)，給出R(s)的元素所滿足的方程組

由前二式得到R11(s)，R22(s)，代入第三式得到R12(s).證畢.

定理1 當流模型穩(wěn)定(即d ＜0 且ρ ＜1)時，其穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布函數(shù)序列的}為

證明: 方程(2)可寫為下列等價的差分方程組

若d ＜0 且ρ ＜1，三維Markov 過程(L(t)，J(t)，X(t))有唯一的平穩(wěn)概率分布，從而上述差分方程組存在唯一解.于是，我們只需驗證(4)和(5)滿足上述方程組.

首先對k ≥2，將(5)代入方程組中的最后一式，得到

其次，將(5)代入方程組中的第二式得

最后，將(5)代入方程組中的第一式，得

經(jīng)過簡單計算證得(4).

3 庫存量的穩(wěn)態(tài)分布LT 及空庫概率

兩個特例

(1)當θ →∞時，模型退化為經(jīng)典無休假M/PH/1 排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型，此時空庫概率為

結(jié)論與文獻［3］中的一致.

(2)當m=1 時，模型退化為單重休假M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型.此時，α=1，T=－μ，T0=μ，模型的空庫概率為

［1］ J.Virtamo，I.Norros.Fluid Queue Driven by an M/M/1 Queue［J］.Queueing Systems，1994，16(3－4):373–386.

［2］ Q.L.Li，L.M.Liu，W.X.Shang.Heavy－tailed Asymptotics for a Fluid Model Driven by an M/G/1 Queue［J］.Performance Evaluation，2008，65(3－4):227–240.

［3］ Xiuli Xu，Yongze Zhao，Jie Geng，etc.Analysis of the Fluid Model Driven by an M/PH/1 Queue［J］.Journal of Information＆Computational Science，2013，10(11):3489－3496.