淺談彈力與摩擦力的臨界問題

鐘佩文

摘 要：臨界問題是高中力學(xué)中的一個關(guān)鍵問題，目前備受大型考試的青睞與關(guān)注。這一問題涉及物體在臨界條件下所處的運(yùn)動狀態(tài)，需要分析該種狀態(tài)下物體的受力情況，用以確定變化范圍。本文結(jié)合人教版教材高一大綱的內(nèi)容，淺談有關(guān)彈力與摩擦力的臨界問題，從而為研究圓周運(yùn)動的臨界問題打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：彈力；摩擦力；臨界問題

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）2-0041-2

《彈力》與《摩擦力》兩節(jié)內(nèi)容位于普通高中人教版教材必修1《物理》的第三章《相互作用》。其臨界問題對研究豎直平面內(nèi)與水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題起著巨大的推動作用。清楚地認(rèn)識這類求解范圍變化問題顯得尤為重要。下面，本文分別就彈力與摩擦力的臨界問題展開探討。

1 彈力的臨界問題

彈力發(fā)生在兩個物體的接觸面之間，其產(chǎn)生條件為：①相互接觸；②發(fā)生彈性形變。當(dāng)物體處于臨界狀態(tài)時，往往某個接觸面的彈力會發(fā)生突變。因此，彈力在物體的接觸面之間的臨界條件是“它恰好為0，表現(xiàn)為恰好消失”。

例題1 如圖1所示，質(zhì)量m=10 kg的小球掛在傾斜角為37°的光滑斜面的固定鐵桿上，求解：①當(dāng)斜面和小球以a1=g/2的加速度水平向右勻加速運(yùn)動時，小球?qū)?xì)繩的拉力和斜面對小球的支持力分別為多大？②當(dāng)斜面和小球以a2= g的加速度水平向右勻加速運(yùn)動時，小球?qū)?xì)繩的拉力和斜面對小球的支持力分別為多大？

解析 此題設(shè)置了①②兩個小問，并且兩個小問的文字表述中只有加速度a不同，其余前提條件都相同，旨在提醒學(xué)生認(rèn)清此題的考點(diǎn)類型，它是一道關(guān)于彈力的臨界問題。當(dāng)斜面和小球以不同的加速度a水平向右勻加速運(yùn)動時，兩者之間的彈力會出現(xiàn)“是否存在”這兩種基本情況。也即是說，該題需要學(xué)生求解的關(guān)鍵問題是“當(dāng)斜面和小球以多大加速度a0水平向右勻加速運(yùn)動，彈力N會出現(xiàn)恰好為0的臨界狀況。”針對N=0這一臨界條件，取定小球?yàn)檠芯繉ο螅_始

對小球進(jìn)行受力分析。

如圖2所示，分析在斜面上的小球的受力情況。假定當(dāng)斜面和小球以加速度a0水平向右勻加速運(yùn)動時，接觸面的彈力N發(fā)生突變恰好為0。這時，斜面與小球之間沒有相互作用，小球受到重力mg與細(xì)繩的拉力T這兩個外力作用。借助于平行四邊形定則，根據(jù)牛頓第二定律，在臨界狀況下有：

tan37°= （1）

可以求出：

a0= g。

①因?yàn)閍1

所以，此問中小球仍然位于斜面上，它受到重力mg、細(xì)繩的拉力T1與斜面的支持力N1這3個外力作用。如圖3所示，采用正交分解法，將這些外力分解到水平方向與豎直方向：

圖3 受力的正交分解

根據(jù)牛頓第二定律：

T1cos37°-N1sin37°=ma1 （2）

T1sin37°+N1cos37°=mg（3）

可以求出細(xì)繩對小球的拉力T1和斜面對小球的支持力N1的大小分別為：

T1=mg；N1= mg。

根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)?xì)繩的拉力T1'的大小為：

T1'=T1=mg。

②因?yàn)閍2>a0

所以，此問中小球不在斜面上，而會離開斜面“飛起來”，被細(xì)繩拴著“漂浮”于空中，斜面對其的支持力N2等于0。小球受到重力mg、細(xì)繩的拉力T2這兩個外力作用。如圖4所示，運(yùn)用平行四邊形定則合成上述兩個外力。此時，細(xì)繩之中拉力T2的方向不再平行于斜面。

根據(jù)牛頓第二定律與勾股定理：

（mg）2+（ma2）2=T （4）

可以求出細(xì)繩對小球的拉力T2和斜面對小球的支持力N2的大小分別為：T2=2mg，N2=0。

同樣，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)?xì)繩的拉力T2'的大小為：T2'=T2=mg。

2 摩擦力的臨界問題

與彈力類似，摩擦力也是一種接觸力。其產(chǎn)生條件為：①相互接觸；②發(fā)生彈性形變；③接觸面粗糙；④有相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢。摩擦力可以分為靜摩擦力與動摩擦力。其中，靜摩擦力是被動力，它的存在及其方向取決于物體之間的相對運(yùn)動趨勢，并且靜摩擦力的大小范圍為：0< F≤Fmax。在臨界狀況下，兩個物體之間即將發(fā)生相對滑動，物體之間的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力（高中階段近似認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。因此，摩擦力在物體的接觸面之間的臨界條件是“兩個物體發(fā)生相對運(yùn)動的瞬間，其間的靜摩擦力恰好等于最大靜摩擦力。”

例題2 如圖5所示，木塊A的質(zhì)量為1 kg，木塊B的質(zhì)量為2 kg，疊放在水平地面上，A、B之間的最大靜摩擦力為5 N，B與地面之間的動摩擦因數(shù)為0.1。今用水平力F作用于B，保持A、B相對靜止的條件是F不超過 N。（g=10 m/s2）

圖5 兩個重疊的木塊

解析 此題要求讓A、B兩個木塊處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，并且求出該種狀態(tài)下水平力F的最大值。顯而易見，它是一道關(guān)于摩擦力的臨界問題。當(dāng)水平力F達(dá)到最大值Fmax時，A、B兩個木塊即將發(fā)生相對滑動，它們之間的靜摩擦力恰好等于最大靜摩擦力。

先用整體法，將A、B兩個木塊當(dāng)作一個整體使用牛頓第二定律：F-μ（mA+mB）g=（mA+mB）a （5）

再用隔離法，對于木塊A使用牛頓第二定律：F靜=mAa（6）

在臨界條件下，當(dāng)F= Fmax時，水平力F達(dá)到最大值Fmax。

代入數(shù)據(jù)，可以求得：

Fmax=（mA+mB）（ +μg）=18 N

3 總 結(jié)

對于兩個相互接觸的物體，當(dāng)它們之間沒有相互作用的瞬間，會出現(xiàn)彈力的臨界條件──彈力恰好等于0；當(dāng)它們之間發(fā)生相對運(yùn)動的瞬間，會出現(xiàn)摩擦力的臨界條件——靜摩擦力恰好等于最大靜摩擦力。因此，在處理動力學(xué)中有關(guān)彈力與摩擦力的臨界問題時，一定要牢牢把握兩者的臨界條件，運(yùn)用平行四邊形定則與牛頓第二定律，適當(dāng)時候可以采用整體法和隔離法聯(lián)立求解。

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[1]張大昌，張維善.物理1[M].北京：人民教育出版社，2010.

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[3]鐘月鋒.動力學(xué)中一類臨界問題[J].物理教學(xué)探討，2014，（8）：50.（欄目編輯 羅琬華）