對(duì)《運(yùn)用余弦定理解三角形的一類(lèi)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)》一文的推敲及續(xù)談

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，推敲問(wèn)題

文獻(xiàn)[1]原文摘錄如下：已知a，b和角B，常?？蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無(wú)解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無(wú)解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解，這樣的觀念是錯(cuò)誤的.

筆者認(rèn)為以上論斷不正確，其實(shí)這種觀念是正確的，文獻(xiàn)[1]通過(guò)例2，例3兩個(gè)具體題目，利用余弦定理都求出兩個(gè)正解，例2得出三角形有兩個(gè)解，而例3意在說(shuō)明雖然有兩個(gè)正解但是三角形卻只有一個(gè)解，由此還應(yīng)該結(jié)合條件利用三角形內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn).筆者產(chǎn)生疑問(wèn)，利用余弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)時(shí)，需要給定兩邊及其中一邊的對(duì)角，而例2和例3所給的條件并不相同，例3中的“A=2B”并不等價(jià)于例2中的一個(gè)給定角度“B=60°”，若例3中的“A=2B”用此題求出的“cosB=35”替換后，才與例2題目類(lèi)型相同，A=2B看似一個(gè)條件，實(shí)際上潛在蘊(yùn)含了A，B之間的關(guān)系，一但求出B，A也就成已知了，無(wú)形中多了一個(gè)條件，由此通過(guò)例3的方程求解中有兩個(gè)正根，三角形并非有兩個(gè)解的推斷是不合適的.

結(jié)論證明，續(xù)談問(wèn)題

結(jié)論：已知a，b和角B（強(qiáng)調(diào)條件是其中一邊的對(duì)角，不能是其他的不等價(jià)條件），對(duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0（*）.

判別式Δ=（2acosB）2-4（a2-b2）化簡(jiǎn)得Δ=4（b2-a2sin2B），而三角形中sinB>0恒成立.

ⅰ若方程（*）有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解；

ⅱ若方程（*）有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；

ⅲ若該方程（*）無(wú)解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無(wú)解；

證明：對(duì)于ⅰ，若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則Δ>0得b>asinB，

設(shè)兩個(gè)正根c1，c2，c1+c2=2acosB>0，c1·c2=a2-b2>0.

得B為銳角，且asinB

對(duì)于ⅱ，若方程有一個(gè)正數(shù)根，包括①方程有兩個(gè)相等的正數(shù)根；②方程有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根

①當(dāng)方程有兩個(gè)相等的正數(shù)根時(shí)，則Δ=0得b=asinBc1+c1=2acosB>0，c21=a2-b2>0，得B為銳角，且asinB=b

②當(dāng)方程有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根時(shí)，則Δ>0，得b>asinB，c1+c2=2acosB，c1·c2=a2-b2<0（a

對(duì)于ⅲ，當(dāng)方程無(wú)解時(shí)，則Δ<0得b

當(dāng)只有負(fù)數(shù)根時(shí)，則Δ>0得b>asinB，c1+c1=2acosB<0，c21=a2-b2>0，得B為鈍角且a>b，三角形無(wú)解.

綜上可知，結(jié)論是正確的，用方程的正數(shù)解來(lái)判斷三角形解的個(gè)數(shù)勿庸置疑.

方程增根的幾何解釋

對(duì)于方程（*）有兩個(gè)正根；無(wú)正根情況，對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)而言，都能較易理解，而方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，三角形有一個(gè)解，這個(gè)負(fù)根（增根）的幾何意義是什么？下面通過(guò)具體實(shí)例作幾何解釋?zhuān)员爿^好地理解.

實(shí)例一：在△ABC中，a=2，b=22，B=45°，求c.

解：由b2=a2+c2-2accosB，得c=2±6，如圖1所示：作CH⊥BA于點(diǎn)H，作DH=HA，其中BH=2，HA=6，AB=2+6符合題意，而2-6=

-|DB|（增根）.

實(shí)例二：在△ABC中，a=2，b=22，B=135°，求c.

解：由b2=a2+c2-2accosB，得c=-2±6.作CH⊥BA于點(diǎn)H，作DH=HB，其中BH=2，HA=6，AB=-2+6符合題意，而-2-6=-|DA|（增根）.

結(jié)語(yǔ)

只要甄別好具體條件，運(yùn)用余弦定理來(lái)辨別三角形解的個(gè)數(shù)，不存在任何爭(zhēng)議，由此，可消除學(xué)生判斷三角形解的個(gè)數(shù)的苦惱.對(duì)于給定兩邊及其中一邊的對(duì)角，當(dāng)角的余弦值已知時(shí)，用此法確實(shí)簡(jiǎn)便易行，但對(duì)于角的余弦值未知或不好求解時(shí)，筆者認(rèn)為仍要用《解討論》辨別三角形解的個(gè)數(shù)相對(duì)更適宜.

參考文獻(xiàn)

[1]施元蘭.運(yùn)用余弦定理解三角形的一類(lèi)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（11）：60-61.

作者簡(jiǎn)介孔德泉.男.1978年7月生，教育碩士，黑龍江省優(yōu)秀教師，牡丹江市名優(yōu)工程骨干教師，牡丹江市專(zhuān)家資源庫(kù)中心成員，牡丹江市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)能手，牡丹江市百?gòu)?qiáng)崗位能手，致力于高考數(shù)學(xué)試題命制與解法研究.