深入數(shù)學(xué)本質(zhì)感悟數(shù)學(xué)精神

文獻(xiàn)[1]中，許曉天老師對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在聽(tīng)課、評(píng)課的基礎(chǔ)之上對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了理性思考.筆者欣賞之余亦發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1]中存在著三個(gè)“忽視”，而這三個(gè)“忽視”的內(nèi)容恰是揭示數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的重要支撐點(diǎn)，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)歸納法必須要經(jīng)歷的階段，筆者借此機(jī)會(huì)把這三個(gè)“忽視”給予補(bǔ)充，供同行參閱.

1第一個(gè)忽視——如何確定第一步中n的起始值

文獻(xiàn)[2]把數(shù)學(xué)歸納法分成2課時(shí)，例題的個(gè)數(shù)達(dá)到5個(gè)，包含了與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、數(shù)的整除性、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)的和等問(wèn)題，但沒(méi)有涉及不等式的證明問(wèn)題.對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)，在文獻(xiàn)[3]中明確指出：要把重點(diǎn)放在第二步上，其關(guān)鍵在于讓學(xué)生弄清“歸納假設(shè)”是什么（即當(dāng)n=k時(shí)，命題是什么），要證明的又是什么（即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題是什么）.在此教學(xué)建議下，第二步成為了課堂上討論、研究的核心.筆者認(rèn)為，這樣的教學(xué)處理，雖對(duì)學(xué)生的做題有幫助，但卻不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì).文獻(xiàn)[1]雖然對(duì)第一步做了理性的思考，并概括為“一個(gè)足夠，多了沒(méi)用”，但是仍然沒(méi)有揭示數(shù)學(xué)歸納法第一步的本質(zhì)問(wèn)題.下面筆者結(jié)合文獻(xiàn)[2]中的一道糾錯(cuò)題給出說(shuō)明.

題目設(shè)n∈N*，求證：2n>n2.

證明：①n=1時(shí)，21>12，不等式顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即2k>k2，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=（k+1）2.這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.根據(jù)①和②，可知對(duì)任何n∈N*不等式都成立.

請(qǐng)分析上述問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中的錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤剖析第二步證明有錯(cuò).一般地，對(duì)自然數(shù)k，當(dāng)k≥3時(shí)，k2≥2k+1才成立，即當(dāng)k≥3時(shí)，第二步才能無(wú)限地運(yùn)行下去.那么，如何來(lái)確定第一步中n的起始值呢？我們現(xiàn)在來(lái)規(guī)定多米諾骨牌一個(gè)新的游戲規(guī)則：從第三塊骨牌開(kāi)始，前一塊倒下后一定能擊倒下一塊.在這樣的規(guī)則要求下，如果要使所有的骨牌都倒下，只要做三件事：第一，推倒第一塊骨牌（第二塊骨牌未倒下）；第二，推倒第二塊骨牌（第三塊骨牌未倒下）；第三，推倒第三塊骨牌（從第三塊開(kāi)始，前一塊倒下后一定能擊倒下一塊）.即第二步能無(wú)限傳遞下去的基礎(chǔ)是第三塊骨牌倒下，也就是說(shuō)第一步中起始值不一定是1，因此，起始值的選擇要根據(jù)題目所給條件和第二步綜合確定.需要特別指出的是，多米諾骨牌畢竟不是數(shù)學(xué)問(wèn)題，重要的是通過(guò)直觀化處理為學(xué)生提供了一種“數(shù)學(xué)化”（所謂數(shù)學(xué)化，是指通過(guò)一種組織與構(gòu)建的活動(dòng)，運(yùn)用已有的知識(shí)與技能去發(fā)現(xiàn)未知的規(guī)律、關(guān)系和結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化）思想，有利于幫助學(xué)生對(duì)第一步本質(zhì)的認(rèn)識(shí).在此題目中，我們要找出n≥3時(shí)，不等式2n>n2成立的最小正整數(shù).當(dāng)n=3時(shí)，2nn2.從而，本題中第一步起始值應(yīng)為5，當(dāng)n≥5時(shí)，第二步才具有實(shí)質(zhì)上的無(wú)限傳遞性，即證得n≥5時(shí)，2n>n2.至此，數(shù)學(xué)歸納法第一步的本質(zhì)不攻自破.

因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師必須讓學(xué)生經(jīng)歷起始值的討論，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)歸納法第二步論證的基礎(chǔ).就像玩多米諾骨牌一樣，在“前一塊倒下后一定能擊倒下一塊”的游戲規(guī)則下，如果我們不推倒第一塊骨牌，那么所有的骨牌能倒下嗎？

下面再利用文獻(xiàn)[4]中的一道題說(shuō)明確定起始值的重要性：

例題用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+2+3+…+n）（1+12+13+…+1n）≥n2，其中n∈N*.

證明①n=1時(shí)，不等式顯然成立，n=2時(shí)，不等式的左邊=（1+2）×（1+12）=92，右邊=22=4，不等式也成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）≥k2成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有[1+2+3+…+k+（k+1）]1+12+13+…+1k+（1k+1）=（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1>k2+k2+3k2+1=（k+1）2.這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.根據(jù)①和②，可知對(duì)任何n∈N*不等式都成立.

說(shuō)明本題結(jié)合不等關(guān)系1+12+13+…+1n≥1+12，n≥2來(lái)證明，但注意要將第一步的起點(diǎn)后移，即第一步中的起始值為2.因此，在第一步證明中，不僅要證明當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立，還要說(shuō)明當(dāng)n=1時(shí)不等式成立.

2第二個(gè)忽視——為什么在第二步的證明中要用“假設(shè)”兩字

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，想必有很多教師現(xiàn)在還無(wú)法進(jìn)行清晰的解釋.筆者認(rèn)為：這一知識(shí)點(diǎn)是這節(jié)課最重要的難點(diǎn)之一，在數(shù)學(xué)歸納法起始課的教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)此有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，否則，學(xué)生只是掌握了數(shù)學(xué)歸納法的“形”，而沒(méi)有真正掌握數(shù)學(xué)歸納法的“神”.

譬如，要使多米諾骨牌全部倒下需要兩個(gè)條件，第一個(gè)條件：第一塊骨牌倒下；第二個(gè)條件：若第k塊骨牌倒下，則第k+1塊骨牌也倒下.從實(shí)際教學(xué)看，第一個(gè)條件容易理解，第二個(gè)條件理解起來(lái)比較困難.如何解釋呢？為了方便起見(jiàn)，記命題P（n）是與自然數(shù)n有關(guān)的命題.P（n）可以理解為是編了號(hào)的命題.第1號(hào)命題是P（1），第2號(hào)命題是P（2），……，第k號(hào)命題是P（k），第k+1號(hào)命題是P（k+1），…….第一步只是驗(yàn)證命題P（n）中的第1號(hào)命題P（1）成立.第二步實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)命題，即如果P（k）成立，則有P（k+1）成立.P（k）到底成立還是不成立，不是第二步的任務(wù).第二步的任務(wù)是：假設(shè)P（k）成立；證明P（k+1）也成立.這就好像命題“如果0>1，那么1>2”是真命題，因?yàn)楸M管0<1，但如果有0>1，則由不等式的性質(zhì)有0+1>1+1，即1>2.至此，學(xué)生就會(huì)明白第二步中的命題P（k）和P（k+1）實(shí)質(zhì)上斷定的是一種關(guān)系，而不是對(duì)P（k）的斷定.如果更形象一點(diǎn)說(shuō)，第二步所斷言的是有了一臺(tái)功能特殊的“遞推機(jī)”，該遞推機(jī)的功能是：只要把原料P（k）遞進(jìn)去，那么該機(jī)便能輸出P（k+1）這個(gè)產(chǎn)品.當(dāng)然，有了遞推機(jī)并不能保證一定有原料.現(xiàn)在就可結(jié)合第一步來(lái)看數(shù)學(xué)歸納法.第一步斷言了P（1）為真，而第二步就是一臺(tái)遞推機(jī)，這樣將P（1）作為初次原料送進(jìn)遞推機(jī)，它立即輸出P（2），有了P（2）就可以把它作為原料再次送入遞推機(jī)，于是就有了P（3），如此重復(fù)地運(yùn)用遞推機(jī)，就可相應(yīng)地得到P（4），P（5），……，這樣就看清楚了數(shù)學(xué)歸納法的“遞推機(jī)”在有初始原料P（1）的情況下的“工作”原理，這里實(shí)質(zhì)上也就是數(shù)學(xué)歸納法為什么能作為一個(gè)嚴(yán)密的證題方法的邏輯原理.因此應(yīng)該讓學(xué)生清楚：數(shù)學(xué)歸納法是一種演繹推理，是典型的三段論，而這種演繹推理又是為了歸納.數(shù)學(xué)歸納法與一般歸納法的根本區(qū)別在于，數(shù)學(xué)歸納法具有明確的論證意識(shí)，通過(guò)應(yīng)用歸納步驟和傳遞步驟來(lái)確保論證的嚴(yán)密性和正確性.

3第三個(gè)忽視——第二步中的歸納假設(shè)如何使用

在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師必須要強(qiáng)調(diào)：由假設(shè)P（k）成立證P（k+1）時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用P（k）.文獻(xiàn)[1]中雖提到：第二步中“假設(shè)”也是條件，不用不行，但遺憾的是卻沒(méi)有指出如何使用這個(gè)假設(shè)條件？下面借助于第二個(gè)“忽視”中的例題來(lái)說(shuō)明如何使用假設(shè)條件.

另證①當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)不等式成立，即（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）≥k2成立，即1+12+13+…+1k≥k21+2+3+…+k=k2k（k+1）2=2kk+1成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，

（1+2+3+…+k+k+1）（1+12+13+…+1k+1k+1）≥（k+1）（k+2）2（2kk+1+1k+1）=（k+1）2+k2≥（k+1）2.……

分析數(shù)學(xué)歸納法規(guī)定：在P（k）成立的前提下，證明P（k+1）成立.但是如何使用P（k）就要適時(shí)考慮.在第二個(gè)“忽視”中，證明（放縮法）思路體現(xiàn)在：要證P（k+1）成立，必須在P（k+1）的結(jié)構(gòu)中湊出P（k）的結(jié)構(gòu).另證在P（k）成立的前提下，對(duì)P（k）進(jìn)行深加工，為P（k+1）的成立創(chuàng)造更優(yōu)越的條件.如果教師過(guò)度強(qiáng)調(diào)“證明P（k+1）時(shí)要湊出P（k）的結(jié)構(gòu)”，就有掩蓋數(shù)學(xué)歸納法第二步本質(zhì)的嫌疑.因此，教師要讓學(xué)生清楚地了解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，了解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用范圍，了解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的所以然，才能更好地講授數(shù)學(xué)歸納法.

4一個(gè)擔(dān)心——直觀與形式化不能代替數(shù)學(xué)本質(zhì)

關(guān)于強(qiáng)調(diào)本質(zhì)的問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒(méi)在形式化的海洋里.”事實(shí)上，沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，就不可能有應(yīng)用和創(chuàng)新[5].這就要求我們，教學(xué)中必須要弄清問(wèn)題產(chǎn)生的背景，抽象的過(guò)程以及結(jié)果的表述，體會(huì)其內(nèi)在的本質(zhì).但目前的現(xiàn)狀是：模仿操作的多了，體會(huì)內(nèi)在本質(zhì)的少了.教學(xué)中不能因?qū)W生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，就忽視數(shù)學(xué)歸納法的基本思想.甚至有的教師過(guò)度追求形式化，把數(shù)學(xué)歸納法程序化（見(jiàn)矩形框圖），并要求學(xué)生做題時(shí)填空就可以了.對(duì)此，筆者在此呼吁：數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)決不能得魚(yú)而忘筌.

證明：①n=n0時(shí)結(jié)論成立。

②假設(shè)n=k時(shí)成立，即 ，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

即結(jié)論對(duì)于所有的n=k+1都成立.

綜合①②，可知結(jié)論成立.

另外，多米諾骨牌是一個(gè)經(jīng)典的教學(xué)實(shí)例，很多專家與一線教師在反復(fù)探討之后，仍然覺(jué)得其它實(shí)例都無(wú)法代替多米諾骨牌這個(gè)經(jīng)典實(shí)例[6].由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推倒第一塊骨牌，第二塊就會(huì)自己倒下，接著第三塊就會(huì)倒下，第四塊也會(huì)倒下，……，如此傳遞下去，所有的骨牌都會(huì)倒下.通過(guò)師生的共同討論得出結(jié)論：（1）第一塊要倒下；（2）當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下.把這兩個(gè)條件遷移到具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，引出數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟.最后讓學(xué)生套用這個(gè)模式解題.鑒于學(xué)生的實(shí)際，我們認(rèn)為這些做法十分必要.但遺憾的是，這些做法對(duì)隱藏在實(shí)例背后的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題揭露不夠，雖然多米諾骨牌這個(gè)例子學(xué)生確實(shí)比較容易理解，但無(wú)論你如何解釋，這只是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想的一個(gè)直觀認(rèn)識(shí)，它決不能替代其豐富的理性內(nèi)涵.學(xué)生也因此被稀里糊涂地帶進(jìn)了模仿操作的怪圈里，學(xué)生對(duì)它的掌握僅僅停留在被稱作“表象”的水平上，還并沒(méi)有真正掌握.因此，對(duì)于直觀的東西應(yīng)用一定要適可而止，少了，會(huì)降低理解上的難度，多了，會(huì)抑制數(shù)學(xué)思維，只有恰到好處，才能發(fā)揮它的應(yīng)用作用.

最后，如果因?yàn)榻處熥陨砀械侥硞€(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)不好解釋、不自然，所以就放棄對(duì)它的詮釋，那就放棄了一次讓學(xué)生真正體驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”思想的歷程，學(xué)生也就失去了一次數(shù)學(xué)理性思維提升的過(guò)程.課堂上，教師應(yīng)該展示數(shù)學(xué)歸納法的形成過(guò)程，讓數(shù)學(xué)歸納法的原理水到渠成.在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生學(xué)到的不僅僅是形式和抽象的理論，而是讓數(shù)學(xué)歸納法的思想真正走入學(xué)生的內(nèi)心世界.總之，課堂教學(xué)既是一門學(xué)問(wèn)，也是一門藝術(shù).衷心愿我們的課堂教學(xué)真正做到遠(yuǎn)離浮躁，回歸本質(zhì).

參考文獻(xiàn)

[1]許曉天.提煉問(wèn)題，理性分析，整體設(shè)計(jì)——對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法”評(píng)課中問(wèn)題的反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（10）：25-28.

[2]單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)：數(shù)學(xué)選修2-2（蘇教版）[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[3]單墫.高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)：選修2-2（蘇教版）[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[4]李善良.學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)——高中數(shù)學(xué)選修2-2[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[5]陳云平.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（10）：12.

[6]馬茂年，俞昕.課堂教學(xué)回歸“數(shù)學(xué)化”的討論和分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（3）：80.

作者簡(jiǎn)介 曹軍，1986年出生，中教二級(jí).主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，研究方向?yàn)檎n堂教學(xué)研究，中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究.發(fā)表論文近30篇.