朱海祥
(蘇州市職業(yè)大學(xué) 教育與人文學(xué)院,江蘇 蘇州215104)
隨著數(shù)學(xué)課程改革的深入,一線教師越發(fā)重視對(duì)課標(biāo)理念和課改成果的主動(dòng)反思和評(píng)價(jià),如過程與方法目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)與考核、學(xué)生差異性的界定和教學(xué)實(shí)施、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化的滲透、數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的操作方法等,并思考如何在教學(xué)改革和評(píng)價(jià)體系之間找到最佳的契合點(diǎn)等。近年來,中考數(shù)學(xué)命題思路也體現(xiàn)課標(biāo)的基本理念,出現(xiàn)了一些具有較高示范價(jià)值的好題,并帶動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的同步改革;與此同時(shí),一般的中考試題分析都是基于對(duì)中考數(shù)學(xué)命題思路的解讀,引導(dǎo)師生進(jìn)行有效復(fù)習(xí),而對(duì)中考命題本身改革的逆向研究相對(duì)較少[1]。如何結(jié)合自身教學(xué)主動(dòng)推出一些具有復(fù)制意義的好題目、好思路和好方法,值得數(shù)學(xué)教育研究者主動(dòng)探究。
由于考試的引領(lǐng)作用,升學(xué)考試的命題方式和內(nèi)容就顯得尤為重要。近年來許多地方中考數(shù)學(xué)試題的形式和內(nèi)容都有新的嘗試,更好地體現(xiàn)“四基”的要求,命題呈現(xiàn)出內(nèi)容綜合性、應(yīng)用實(shí)踐性、開放探究性、策略多樣性、表征程序性等特點(diǎn)。在這當(dāng)中,出現(xiàn)了一些新的突破性嘗試,很好地詮釋了課改的目標(biāo)和要求。這些問題不一定很難,但都具備創(chuàng)新性,如2014年杭州中考數(shù)學(xué)第23 題、寧波中考數(shù)學(xué)第26 題、金華中考數(shù)學(xué)第22 題,它們是以過程性考核為主,這在以往紙筆測(cè)試中是較難見到的。這些題目能夠體現(xiàn)新課程的一些基本理念,如自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式,數(shù)學(xué)思想方法顯性化,變式教學(xué)的策略,數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的呈現(xiàn),科學(xué)方法的蘊(yùn)含等。這些問題都重在培養(yǎng)學(xué)生的思維方式、促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣。
問題1 (2014·杭州第23 題)關(guān)于x 的函數(shù)y =2kx -(4kx +1)x -k +1(k 是實(shí)數(shù))。教師:請(qǐng)獨(dú)立思考,并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫到黑板上。學(xué)生思考后,黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論。教師作為活動(dòng)一員,又補(bǔ)充一些結(jié)論,并從中選擇四條(具體略),請(qǐng)學(xué)生分別判斷四條結(jié)論的真假,并給出理由。最后簡(jiǎn)單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法。
評(píng)析 這道題目作為2014年杭州中考數(shù)學(xué)最后一題,主要考查函數(shù)本身,題目難度不大,卻不失為一道好題,題目的形式和內(nèi)容都比較新穎,在歷年中考試題中都沒有出現(xiàn)類似問題,具有很好的示范意義。該題主要有如下特點(diǎn):1)能夠結(jié)合新課標(biāo)的基本理念,將思想方法等隱性知識(shí)顯現(xiàn)化,并進(jìn)行直觀考查,能夠較好地更新老師的教學(xué)關(guān)注點(diǎn);2)能初步考查學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)能力,讓學(xué)生經(jīng)歷問題的提出、分析、比較、實(shí)驗(yàn)、猜想和驗(yàn)證等一系列流程;3)能考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力,特別是下位學(xué)習(xí)的能力;4)能夠充分考查學(xué)生的發(fā)散性思維能力和邏輯反思能力,這兩種能力顯著影響著學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的形成。
思考與命題建議 題目中出現(xiàn)的四條結(jié)論主要是命題者的設(shè)想,可以讓考生在解決問題前后補(bǔ)充一些其他的猜想和結(jié)論,將該題拓展為真正意義上的開放題,這樣更能體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和發(fā)散思維能力。另外,為避免出現(xiàn)過多無效結(jié)論,可以加上適當(dāng)?shù)南拗茥l件,如與字母k 相關(guān)的結(jié)論,或與最值或交點(diǎn)有關(guān)的猜想等。
教學(xué)策略 從學(xué)習(xí)內(nèi)容看,函數(shù)內(nèi)容主要包括數(shù)形結(jié)合、分類討論、集合思想、對(duì)應(yīng)思想、函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想方法;從學(xué)習(xí)方式看,學(xué)生提出問題的能力往往來源于平時(shí)對(duì)問題的反思和回顧,如結(jié)論的檢驗(yàn)、思維方法的比較和優(yōu)化、前后內(nèi)容和方法的聯(lián)系、問題的變形和類比、解題程序和方法的應(yīng)用等,自主學(xué)習(xí)時(shí)更多的工作讓學(xué)生自己去做;從教學(xué)方式看,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的興趣,關(guān)注解答的動(dòng)機(jī)、步驟而不僅僅局限于結(jié)果,運(yùn)用普適性的問題和建議,能夠判斷好問題和壞問題。立足于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的“通性通法”,不僅著眼于初中階段已經(jīng)掌握了的思想方法,而且放眼于學(xué)生未來發(fā)展過程中需要的思想方法[2]。
問題2 (2014·寧波第26 題)木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3,寬BC=2 的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面,他設(shè)計(jì)了四種方案,具體方案略,并說明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大。
評(píng)析 該題作為寧波市2014年中考數(shù)學(xué)的壓軸題,是一道質(zhì)量較高的題目,主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:首先,問題相關(guān)內(nèi)容的背景簡(jiǎn)單,是我們熟悉又易上手的問題,背景問題是周長(zhǎng)一定時(shí)矩形面積的最值情況,學(xué)生應(yīng)該具備知識(shí)和方法基礎(chǔ);其次,由于與以往問題的差異性,作為一道變形問題,學(xué)生又不易直接遷移思路;再次,解題時(shí)不需要特別的技巧,掌握一般性分析問題的步驟和策略即可,將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為若干具有串聯(lián)或者并聯(lián)關(guān)系的子問題。
思考與命題建議 本題考查不同方案的篩選和優(yōu)化,要求學(xué)生具備較高的綜合分析能力,需要較高的數(shù)學(xué)思維水平,而這關(guān)鍵在于學(xué)生常規(guī)解題習(xí)慣和方法的養(yǎng)成。該題如能略去一兩種方案,改為學(xué)生自主發(fā)現(xiàn),并與已有方案進(jìn)行比較判斷,可能會(huì)形成更多有意義的方案;或者計(jì)算前先對(duì)已有四種方案中半徑大小順序進(jìn)行猜想并說明理由;或者進(jìn)一步拓展,如在矩形中鋸出扇形、平行四邊形、正方形等,更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)和應(yīng)用水平。
教學(xué)策略 作為一線教師,在平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生分析問題特別是綜合題時(shí),有三個(gè)方面需要特別重視:一是學(xué)生擁有常規(guī)的解題步驟,即熟悉題目、深入理解題目并獲取和整合有用的信息,建立與已有知識(shí)和方法的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)有用的思路并得到執(zhí)行,最后是對(duì)過程和方法的優(yōu)化、應(yīng)用和拓展。二是學(xué)生遇到解題障礙,教師啟發(fā)時(shí)提問的方法非常重要。教師所提出的問題應(yīng)該是學(xué)生本身應(yīng)該想到的,建議必須自然、簡(jiǎn)短、普適,太直白和具體的引導(dǎo)會(huì)使問題失去原有價(jià)值,教師應(yīng)能辨析出啟發(fā)時(shí)提出的是好問題還是壞問題。三是教會(huì)學(xué)生回顧和反思的習(xí)慣和方法。
問題3 (2014·金華第22 題)矩形ABOD 的兩邊OB,OD 都在坐標(biāo)軸的正半軸上,OD=3,另兩邊與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),且DE =2。過點(diǎn)E 作EH⊥x 軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)F 作FG⊥EH 于點(diǎn)G。閱讀合作學(xué)習(xí)內(nèi)容,請(qǐng)解答其中的問題(問題略);小亮進(jìn)一步研究四邊形AEGF 的特征后提出問題:“當(dāng)AE >EG 時(shí),矩形AEGF 與矩形DOHE 能否全等?能否相似?”針對(duì)小亮提出的問題,請(qǐng)你判斷這兩個(gè)矩形能否全等?直接寫出結(jié)論即可;這兩個(gè)矩形能否相似?若能相似,求出相似比;若不能相似,試說明理由。
評(píng)析 該題主要新在三個(gè)方面:一是要求考生對(duì)已有問題進(jìn)行回顧和反思,且需初步具備提出問題的能力;二是對(duì)新問題中已知條件進(jìn)行弱化,再次思考原有結(jié)論是否成立;三是需要考生經(jīng)歷觀察、比較、猜想、推理和驗(yàn)證等過程。本題難度適中,考生具備基本的解題方法和變式思維能力就能解決。
思考與建議 新課標(biāo)提倡合作學(xué)習(xí),本題雖然提出合作學(xué)習(xí),但在試題中較難體現(xiàn)合作過程和結(jié)果的考查。小組合作一般具有組內(nèi)異質(zhì)、組間同質(zhì)的特點(diǎn),命題時(shí)應(yīng)考慮是否可以適當(dāng)呈現(xiàn)學(xué)習(xí)共同體成員的想法和問題,或者考查考生提出相應(yīng)問題的能力,并加以比較、判斷及其驗(yàn)證,以期達(dá)到對(duì)問題特征的歸類和融合。
教學(xué)策略 變式教學(xué)是掌握方法和深化思維的重要手段,但平時(shí)學(xué)生解題時(shí)有給定問題的習(xí)慣,自主變式的機(jī)會(huì)相對(duì)較少。習(xí)題變式的具體操作方法很多,從題目的形式入手有:變化條件、變化結(jié)論、逆向調(diào)換條件和結(jié)論;從題目條件結(jié)論之間的邏輯關(guān)系入手有:類比、強(qiáng)化、弱化[3]。在此基礎(chǔ)上形成的解題思想方法可以通過不同知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)形成廣義上的變式訓(xùn)練。在教學(xué)中,我們更希望學(xué)生具備自我變式的能力和習(xí)慣,無論是從問題本身還是方法選擇上,加深對(duì)問題本質(zhì)的理解,將解題回顧和反思落到實(shí)處,生成命題聯(lián)想系統(tǒng)和顯性化的解題經(jīng)驗(yàn)。
新課標(biāo)提出了新的目標(biāo)、理念和學(xué)生應(yīng)具備的基本能力和基本素養(yǎng),新教材重在引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn),強(qiáng)調(diào)解題策略和數(shù)學(xué)應(yīng)用、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。前兩道典型試題都能較好地體現(xiàn)對(duì)課標(biāo)中基本理念和教材中策略多樣化的考查,通過呈現(xiàn)更多類似的問題,可以加強(qiáng)教師對(duì)課標(biāo)和教材新變化的關(guān)注、及時(shí)解讀和養(yǎng)成對(duì)新課標(biāo)的深度認(rèn)識(shí),挖掘和提煉教材中隱含的策略和觀念。
教是為了不教,學(xué)生學(xué)習(xí)不能以失去高層次思維為代價(jià)。學(xué)生學(xué)習(xí)中最缺乏的就是自主學(xué)習(xí)的能力,否則即使中考取得較好的成績(jī),在后階段的學(xué)習(xí)還會(huì)遇到許多問題。如初中所講的方程和函數(shù)屬于靜態(tài)的觀點(diǎn),高中卻是動(dòng)態(tài)的,學(xué)生沒有自己主動(dòng)理解是很難完成函數(shù)概念認(rèn)識(shí)上的過渡的?,F(xiàn)在也有很多學(xué)校在嘗試培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和方法,涉及到概念形成、命題判斷、問題提出、解題回顧等不同階段,促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式向下位學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變。我們?cè)诿}時(shí),特別要注意這方面的引導(dǎo),低難度問題注重呈現(xiàn)形式的變化,中等難度以上出現(xiàn)更多新的綜合問題和實(shí)際問題,從方法和應(yīng)用兩方面加以考查,促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力的養(yǎng)成。
新的課標(biāo)和教材要求教師根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)對(duì)象的特點(diǎn),創(chuàng)新運(yùn)用教學(xué)模式和方法,創(chuàng)造適切的情境,像數(shù)學(xué)家一樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,提出猜想和解決方法,結(jié)合學(xué)生差異化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維方式,獲得優(yōu)化的整體教學(xué)效果。一般的證明題和解答題略去了思維過程的兩端,沒有發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程,也沒有結(jié)論回顧、引申和應(yīng)用等過程。考慮到學(xué)生的思維差異性,可以在命題過程中考慮增加一題多問、一題多解、寫出解題計(jì)劃的題目;考慮到學(xué)生的思維水平,可以增設(shè)一些關(guān)于命題創(chuàng)設(shè)、命題變形和命題應(yīng)用舉例的題目,增加更能融合整體思維過程的作圖題、軌跡問題,促進(jìn)數(shù)學(xué)基本思想方法四維層次的教學(xué)實(shí)施。
克萊因認(rèn)為應(yīng)該把算數(shù)、代數(shù)和幾何學(xué)方面的內(nèi)容,用幾何的形式以函數(shù)為中心綜合起來。演繹幾何中需要滲透變換幾何,將圖形性質(zhì)的演繹推理和圖形的變換進(jìn)行聯(lián)系。不同模塊之間的聯(lián)系和融合有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)模塊內(nèi)容的本質(zhì)理解,也有利于學(xué)生更高階段的學(xué)習(xí)。命題時(shí)可考慮兩個(gè)方向,一是模塊內(nèi)容本身的考查,如方程(組)的函數(shù)理解、函數(shù)的變量理解、幾何圖形的動(dòng)態(tài)變換理解;二是模塊之間聯(lián)系的考查,如代數(shù)公式的幾何理解、幾何問題的坐標(biāo)構(gòu)建、概率求解的幾何表示等。
[1]蘇耀忠,張壽福,蘇敏.注重基礎(chǔ)與能力 落實(shí)課程目標(biāo) 體現(xiàn)開放與探究 引領(lǐng)課堂教學(xué)——2013年山西省中考數(shù)學(xué)命題思路解讀[J].教育理論與實(shí)踐,2013(32):3 -6.
[2]王亮亮.平中見奇 導(dǎo)向明確——以北京市中考數(shù)學(xué)試題為例[J].?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),2014(9):55 -57.
[3]陳永明名師工作室.?dāng)?shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海:上海教育出版社,2010.