談“集合與函數(shù)概念”教學中初高中知識點的幾個銜接

近幾年我校對高一數(shù)學銜接教學進行了一些探索，通過開學初的摸底測試、同學座談等形式，了解到學生進入高中數(shù)學學習所遇到的一些問題.其中函數(shù)這一部分，學生普遍反應初高中知識點跳躍性大，銜接度不夠，給人有知識“脫節(jié)”的感覺.因此，本文就《必修一》第一章的“集合與函數(shù)概念”的教學，談談初高中知識點的幾個銜接教學.

1 情景設置，巧妙銜接，明確概念

集合這一數(shù)學概念，學生初中階段沒有接觸過.若教師照本宣科，開門見山直接講解，新知識與初中已有知識銜接不上，不僅枯燥無味，而且學生難以理解和掌握.如果教師能精心設計某一情景，把初、高中的知識內(nèi)容巧妙銜接起來，由淺入深把學生帶到高中數(shù)學的課堂，那將是事半功倍的好方法.例如：集合第一節(jié)課，我們可以這樣設置問題：“某同學第一次到商場買了墨水、日記本和練習本，第二次買了練習本和鋼筆，問這個同學兩次一共買了幾種東西？”學生會馬上回答：4種！然而結(jié)果為什么不是3+2=5種呢？這里運用了一種新的運算，即集合的并的運算：{a，b，c}∪{c，d}={a，b，c，d}，可見，這一問題中所研究的對象已不僅僅是數(shù)，而是由一些具有某種特征的事物所組成的集合，這樣自然就導入了集合的教學.因為問題情景熟悉，學生倍感親切;因為解答涉及到新的運算，學生注意力很快被吸引，課堂教學內(nèi)容也就自然地過渡到集合的概念上.可以說，正是因為巧妙的構思、合理的問題設置，符合了學生這個年齡的心理特征和學習特點，教師才很好地達到了第一節(jié)初高中數(shù)學課銜接教學的目標.

2 搭建橋梁，由淺入深，掌握新知

初高中數(shù)學知識在教學中的銜接，實際上就是一種承上啟下的過渡.針對初高中知識的脫節(jié)，尤其斷層與跳躍的部分，教師要善于挖掘知識間內(nèi)在的聯(lián)系，通過搭建橋梁，做好鋪墊，讓新舊知識自然過渡，緊密銜接，這樣高一學生才能輕松走進高中數(shù)學課堂.例如：函數(shù)的定義，初、高中“函數(shù)的概念”的表述差異很大，初中以學生比較熟悉的“運動”為出發(fā)點引入兩個變量來描述函數(shù)，而高中則以抽象的“集合”為出發(fā)點利用“映射”來研究函數(shù).由兩個變量“運動”的關系到兩個集合“映射”概念的引出，學生確實感覺反差很大，這種跳躍之感學生很難理解.如何在這兩者之間搭建一座橋梁，使學生自然接受呢？為此，我們不妨設置這樣一個問題：甲、乙兩地相距S公里，一輛汽車從甲地勻速地開往乙地，速度為V公里/小時，所需時間為t小時，回答下列問題：

（1）已知V=45公里/小時，寫出S關于t的表達式，求出當t=4時甲乙的距離S;

（2）已知S=100公里，寫出V關于t的表達式，并求出當V=30時所需時間t;

（3）用集合表示自變量的取值范圍.

上面這三個問題學生都能在初中知識的基礎上順利完成.在解答的過程中，教師就已經(jīng)初步滲透了：“函數(shù)值”、“一個t的值唯一對應于一個S的值”，“映射”、“解析式”、“定義域”等函數(shù)問題及相關概念.通過上面這些逐步深入、環(huán)環(huán)相扣的問題的解決，教師再因勢利導，逐步地將學生的思維向函數(shù)定義靠攏，函數(shù)的概念也就自然生成！順利地完成從“運動”向“集合”的過渡！同時，教學中教師有意識地使用抽象函數(shù)符號S=S（t），V=V（t）等更能誘發(fā)學生的好奇心與求知欲，更好地搭建“運動”、“集合”、“映射”之間的橋梁.并為將來學習規(guī)范書寫答題打下了基礎.

3 轉(zhuǎn)化語言，化難為易，凸顯性質(zhì)

高一教材對函數(shù)單調(diào)性的定義表述（敘述）為：一般地，設函數(shù)y=f（x）的定義域為I，D∈I，如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f（x1）<f（x2）即：（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0或f（x1）-f（x2）x1-x2>0;那么就說f（x）在這個區(qū)間D上是增函數(shù);

如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f（x1）>f（x2）即：（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0或f（x1）-f（x2）x1-x2<0.那么就說f（x）在這個區(qū)間D上是減函數(shù).

從函數(shù)單調(diào)性定義可以看出，盡管課本定義敘述嚴謹，但文字冗長，涉及到多個抽象的數(shù)學符號及符號語言：“當x1<x2時，都有f（x1）<f（x2）”或“（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0”，“f（x1）-f（x2）x1-x2>0”等.而這與初中“圖像上升、下降”形象的文字描述相比，理解起來顯然要困難的多！抽象思維的要求明顯提高.

如何過渡到高中的“符號語言”的教學呢？老師在學生已有的“圖形語言”的基礎上，讓學生觀察課本上的三個圖像，再次感受到“圖像上升與下降”的印象，然后再以熟悉的、具體的函數(shù)y=x，y=x2圖像為例，讓學生進一步觀察圖像，發(fā)現(xiàn)：“函數(shù)y=x的圖像在（-∞，+∞）是上升的，函數(shù)y=x2在（-∞，0）是下降的，在（0，+∞）是上升的”，老師進一步提問：如何將“函數(shù)y=x，y=x2的圖像上升或下降”現(xiàn)象用文字語言來描述呢？學生不難回答：“函數(shù)y=x的值隨著自變量x的增加而增加”，“函數(shù)y=x2的值在（0，+∞）上隨著自變量x的增加而增加，在（-∞，0）上隨著自變量x的增加反而減少”.這就實現(xiàn)了“圖形語言”向“文字語言”的轉(zhuǎn)化！緊接著，老師乘勝追擊：你能用數(shù)學符號的語言來描述這一現(xiàn)象嗎？這是學生用文字語言順利過渡到“函數(shù)單調(diào)性定義”的符號語言描述的關鍵！觀察圖像，在老師的啟發(fā)下，學生不難得到“當x1<x2時，都有f（x1）<f（x2）”的描述.類比讓學生根據(jù)“y=x2圖像上升與下降”的現(xiàn)象，用符號語言描述函數(shù)圖像的這一特征：“當x∈（-∞，0），當x1<x2時，都有f（x1）>f（x2），當x∈（0，+∞），當x1<x2時，都有f（x1）<f（x2）”，在此基礎上，進一步引導學生可以得到等價的符號語言

“（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0”，“f（x1）-f（x2）x1-x2>0”等式子.

這樣的教學，體現(xiàn)了高一學生的認知規(guī)律，將初中的畫圖、識圖與高中的辨圖、用圖有機地銜接.通過第一層圖像語言的觀察，再到第二層文字語言的描述，最后到第三層符號語言的歸納，環(huán)環(huán)相扣，步步深入，自然就銜接到函數(shù)單調(diào)性，“增函數(shù)”與“減函數(shù)”的概念也就水到渠成了！

設計“各種語言相互轉(zhuǎn)化”的教學，老師要善于分析課本的素材，深入領會教材的意圖，充分挖掘其隱含的“各種語言相互轉(zhuǎn)化”的教學的情景.讓更多的學生參與課堂，感受到知識形成的來龍去脈.長期這樣，不僅較好地銜接新舊知識，而且對學生以后良好的學習方法、學習習慣、學習興趣的培養(yǎng)也是極其有利的！

4 延伸素材，形數(shù)結(jié)合，尋找最值

初中生熟悉圖像的畫法，尤其二次函數(shù)的圖像，學生非常熟悉.列表時一般找?guī)讉€對稱點，這樣，圖像迅速圖1作出.如何由初中二次函數(shù)圖像等內(nèi)容為素材延伸銜接到高中圖像變換及函數(shù)最值呢？我們的老師在上這節(jié)銜接課時，如下設置一題組：

（1）畫出y=x2，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3的圖像.

（2）指出這三個函數(shù)圖像特征及其區(qū)別.

由學生觀察，不難得到y(tǒng)=x2-2x+1=（x-1）2的圖像

由y=x2的圖像向右平移一個單位得到;而y=x2-2x+3=（x-1）2+2的圖像是由y=（x-1）2向上平移2個單位得到.歸納出：函數(shù)y=a（x-k）2+h的圖像可以通過平移函數(shù)y=ax2的圖像得到，即將函數(shù)y=ax2的圖像向左（k>0）或右（k<0）平移k單位，得到y(tǒng)=a（x-k）2的圖像，再沿y軸向上（h>0）或向下（h<0）平移h單位得到.

至此：由初中二次函數(shù)圖像的知識適當延伸并順利地銜接到高中圖像變換規(guī)律.緊接著，老師繼續(xù)給出兩個問題：

（1）描點法畫出函數(shù)y=2x的圖像，并指出如何利用圖像平移得到函數(shù)y=2x-1的圖像.

（2）求函數(shù)y=2x-1，x∈[2，6]的最大與最小值（課本例題）.

圖2

問題（2）是課本上一個例題，在另一個平行班聽課時，老師照本宣科，沒有相關知識的銜接，也沒有涉及到求函數(shù)值域的知識，而是直接呈現(xiàn)本題，很多學生無從下手！但是，這節(jié)課，由于有了圖像平移變換的規(guī)律的銜接，以及補充問題（1）的墊鋪，學生很容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x-1的圖像是由初中熟悉的反比例函數(shù)y=2x圖像向右平移1個單位得到.再觀察函數(shù)y=2x-1在[2，6]的圖像，學生不難發(fā)現(xiàn)：

（1）函數(shù)y=2x-1在[2，6]的圖像是一段曲線，兩個端點分別是A（2，2），B25;

（2）y=2x-1在[2，6]上是減函數(shù)（當然教學時還要求學生按照定義給出單調(diào)性的證明）.

學生有了（1），（2）的發(fā)現(xiàn)，函數(shù)最大值與最小值的問題也就圓滿解決！

自此，課應該馬上可以結(jié)束了，但該教師因勢利導，繼續(xù)將二次函數(shù)知識延伸并與閉區(qū)間、圖像性質(zhì)、抽象字母、最值等知識綜合起來，于是老師補充一道銜接練習：設函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0，m]的最大值為3，最小值為2，求m的取值范圍.

圖3

題目一給出，學生立即畫圖，討論，其中有幾個同學很快能發(fā)現(xiàn)對稱軸x=1一定要含于閉區(qū)間[0，m]內(nèi)，于是得到m∈[1，2].

課后老師還布置了一道銜接作業(yè)：已知函數(shù)f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在閉區(qū)間[0，2]上的最小值為3，求實數(shù)a的取值范圍.

從這里可以看出，盡管兩個老師教學水平相當，但其中一個老師巧妙地將二次函數(shù)相關知識適當銜接延伸到課堂的講解、練習，作業(yè)之中.教學效益明顯提高.教師不僅歸納出函數(shù)圖象平移規(guī)律，而且還介紹了尋找函數(shù)最值的圖像解法.這為下節(jié)課最值的進一步研究提供一種重要的方法.從學生的狀態(tài)來看，課堂氣氛活躍，師生配合默契，同學的作業(yè)、問題的回答也要明顯好于另一個班級！

本文僅通過函數(shù)部分幾個典型問題的銜接，談談高中銜接教學的一些做法.實際上，高初中教學的銜接，不僅在高一、高二，甚至高三的教學也要注意滲透.例如高三“平面幾何選講”的絕大部分內(nèi)容就是初中平幾的銜接與延伸，初中韋達定理在高二的解幾教學中常常碰到，初中絕對值的概念是高中分類討論的一個重要依據(jù)，不等式解法、因式分解等內(nèi)容也是高中數(shù)學的重要工具.所以，銜接教學要貫穿于高中數(shù)學課堂的始終！但是，由于高一教學很緊，銜接教學又要分擔不少的課時，如何處理銜接與進度的關系呢？這就要求老師鉆研課本、熟悉銜接的內(nèi)容，科學設計，將關聯(lián)的知識化整為零，將銜接的內(nèi)容滲透到每堂課.這樣高一的學生才能跟上老師的節(jié)奏，促使師生課堂思維的同頻，也只有這樣，我們的教學才更有針對性，課堂教學效益才會不斷提高.

參考文獻

[1] 廖順宏，數(shù)學課堂設計與學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)[J].數(shù)學通報.2000（9）.

[2] 高洪武，追求數(shù)學課堂的自然高效[J].中學數(shù)學雜志，2013（3）.

作者簡介 廖順宏，男，中學數(shù)學高級教師.主持并參與《中學數(shù)學困難生學習過程評價研究》等市級課題三個.近幾年，本人獲佛山市骨干教師，禪城區(qū)骨干教師，禪城區(qū)優(yōu)秀教師等榮譽稱號.主編或參與編寫我國權威書籍《中國高考年鑒》——數(shù)學分冊等教學參考書5部;發(fā)表論文近20篇.