四個(gè)頂點(diǎn)的1-正則圖

張 曉 盼

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,遼寧 沈陽(yáng) 110870)

四個(gè)頂點(diǎn)的1-正則圖

張 曉 盼

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,遼寧 沈陽(yáng) 110870)

討論共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖是不連通的n個(gè)頂點(diǎn)不完全正則圖時(shí)有限群結(jié)構(gòu)問(wèn)題，并給出當(dāng)共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖是4個(gè)頂點(diǎn)的1-正則圖時(shí)，利用GAP軟件得到所對(duì)應(yīng)群的群結(jié)構(gòu)和共軛類(lèi)長(zhǎng)集。

共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖；正則圖；有限群

1 引 言

有限群理論無(wú)論從理論本身還是實(shí)際應(yīng)用而言都占據(jù)著突出的地位[1]。在1994年G.Alfandary給出有限群G，則有：(1)共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖的連通分支n(Γ*(G))最多是2。(2)如果n(Γ*(G))=2，則G為可解群[2]。1995年S.Dolfi得出,群G是有限群,如果共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖Γ*(G)是連通的，則diam(Γ*(G))≤3;如果共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖Γ*(G)是不連通的，則它的每一個(gè)連通分支都是完全圖[3]。觀察有限群的發(fā)展歷史可以知道,有限群的一些數(shù)量信息與其結(jié)構(gòu)緊密相連。在有限群理論的研究中,關(guān)于群的共軛類(lèi)長(zhǎng)的素因子相關(guān)的一些算數(shù)特性與該群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)具有什么樣的關(guān)系,一直都是群論研究中非常重要的課題[4]。共軛類(lèi)元素的研究是探討群結(jié)構(gòu)的一個(gè)十分有意義的方法。共軛類(lèi)的長(zhǎng)度及其素因子的相關(guān)算術(shù)量在有限群理論的研究中占有重要地位。本文從共軛類(lèi)長(zhǎng)的素因子入手，把共軛類(lèi)長(zhǎng)素因子與圖論結(jié)合起來(lái)，研究共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖是兩個(gè)連通分支的1-正則圖，給出所對(duì)應(yīng)群的群結(jié)構(gòu)和共軛類(lèi)長(zhǎng)集特點(diǎn)。

2 基礎(chǔ)知識(shí)和主要引理

2.1 符號(hào)說(shuō)明

以下規(guī)定：圖Γ*是由有限非空集合V及其二元子集E構(gòu)成，其中V中元素稱(chēng)為頂點(diǎn)，E中元素稱(chēng)為邊;集合V和E分別稱(chēng)為頂點(diǎn)集和邊集。u,v∈V，如果u和v在圖中有邊，就稱(chēng)u和v在圖中是鄰接的;如果圖Γ*的任何2個(gè)不同的頂點(diǎn)都是鄰接的,則稱(chēng)Γ*是完全的;如果Γ*包含一條u-v路，那么就稱(chēng)u和v是連通的;如果對(duì)于Γ*中每對(duì)不同頂點(diǎn)u,v,Γ*都包含一條u-v路,那么Γ*為連通的;若Γ*的一個(gè)連通子圖不是Γ*的其他任何連通子圖的真子圖,則稱(chēng)它為Γ*的一個(gè)連通分支,那么圖Γ*稱(chēng)為不連通的;n(Γ*)表示類(lèi)長(zhǎng)素圖的連通分支。連通圖Γ*的所有頂點(diǎn)之間的最大距離稱(chēng)為Γ*的直徑,記為diam(Γ*)[5]。

2.2 相關(guān)定義及引理

定義1[6]對(duì)于有限群G中任意的2個(gè)元素a,b,稱(chēng)其在G中是共軛的,如果有另一元素g∈G,使得ag=b成立。這樣,就可以把群G中的元素按照共軛的關(guān)系劃分為k個(gè)都不相交的等價(jià)類(lèi),這個(gè)等價(jià)類(lèi)叫共軛類(lèi)。任一共軛類(lèi)Ci中所包含元素的個(gè)數(shù)|Ci|叫做這個(gè)共軛類(lèi)Ci的長(zhǎng)度。

定義2 類(lèi)長(zhǎng)素圖Γ*(G)是滿足下面條件的無(wú)向圖:

(1)以ρ*(G)中的素?cái)?shù)為頂點(diǎn);

(2)如果2個(gè)頂點(diǎn)p和q之間有一條邊相連,當(dāng)且僅當(dāng)這2個(gè)素?cái)?shù)的乘積pq整除Cl(G)中的某一元素b。

引理1[8]如果p、q是共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖的兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)，則群G要么是p-冪零群，要么是q-冪零群,NG(P)=CG(P)或者NG(Q)=CG(Q)其中p∈Sp(G)Q∈Sq(G)。

引理2[2]有限群G，則有(1)共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖的連通分支n(Γ*(G))最多是2。(2)如果n(Γ*(G))=2，則G為可解群。(3)如果G是非交換的單群，則n(Γ*(G))=1;群G，如果共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖Γ*是不連通的，當(dāng)且僅當(dāng)群G是擬-Frobenius群，有可交換的核和補(bǔ)。

引理3[9]可解群G，如果共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖有兩個(gè)連通分支，而且n和N表示2個(gè)連通分支里2個(gè)素因子的階(n≤N)，則n≥2n-1。

引理4[10]如果p是一個(gè)給定的素?cái)?shù)且整除每個(gè)(不等于1的)共軛類(lèi)長(zhǎng)度,那么CG(P)≤Z(G),此處P是G的Sylowp-子群。

下面將討論共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖是非完全圖2個(gè)連通分支的正則圖情況。

3 主要結(jié)論

定理2 在2000階以內(nèi)，4個(gè)頂點(diǎn)的1-正則圖所對(duì)應(yīng)的群的非中心共軛類(lèi)長(zhǎng)只有6和91，即群的共軛類(lèi)長(zhǎng)集為{1,6,91}。最小階為546階的群為(C91∶C3)∶C2，當(dāng)階大于546時(shí)的群為Cn×((C91∶C3)∶C2)。而且這樣的圖對(duì)應(yīng)的群結(jié)構(gòu)是2-平衡的D-群。

證明 由定理1并結(jié)合GAP,按素因子個(gè)數(shù)分別驗(yàn)證，得到以下群例：

SmallGroup(546,11),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):(C91∶C3)∶C2;

SmallGroup(1092,48),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C2×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(1638,39),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C3×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(2730,31),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C5×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(3276,187),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C6×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(3822,28),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C7×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(5460,128),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C10×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(6006,39),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C11×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(7098,44),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C13×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(30030,75),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C55×((C91∶C3)∶C2)

4 總 結(jié)

本文討論共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖是不完全圖并且有兩個(gè)連通分支的正則圖所對(duì)應(yīng)群結(jié)構(gòu)，得到n個(gè)頂點(diǎn)不完全的正則圖的群結(jié)構(gòu)并給出這樣的群是n/2-平衡的D-群，以及當(dāng)共軛類(lèi)長(zhǎng)素圖是4個(gè)頂點(diǎn)2個(gè)連通分支的1-正則圖時(shí)的群結(jié)構(gòu)和共軛類(lèi)長(zhǎng)集特點(diǎn)。

[1]張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造(上冊(cè))[M].北京：科學(xué)出版社，1982：20-93.

[2]Alfandary G.On graphs related to conjugacy classes of groups[J].Isreal J Math,1994,86:211-220.

[3]Dolfi S.Arithmetical conditions on the length of the conjugacy classes of a finite group[J].J Algebra,1995,174:753-771.

[4]Beltran A,Felipe M J.Corrigendum:Some class size conditions implying solvability of finite groups[J].J Group Theory,2011,14:783-784.

[5]范益政,汪毅.圖論導(dǎo)引[M].北京:人民郵電出版社,2007：1-75.

[6]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上冊(cè))[M].2版.北京:科學(xué)出版社,1999：60-130.

[7]Casolo C,Dolfi S.Groups whose prime graph on conjugacy class sizes has few complete vertices[J].J Algebra,2012,364:1-12.

[8]Ito N.On finite groups with given conjugate types I[J].Nagoya Math J,1953,6:17-28.

[9]Lewis M L.An overview of graphs associated with character degrees and conjugacy class sizes in finite groups[J].J Math,2008,38:175-211.

[10]Chillag D，Herzog M.On the length of the conjugacy classes of finite group[J].J Algebra 1990,131(01):110-125.

[責(zé)任編輯：鄭秀亮 英文編輯：劉彥哲]

1-Regular Graph of Four Vertices

ZHANG Xiao-pan

(Department of Mathematics,College of Sciences,Shenyang Industrial University,Shenyang,Liaoning 110870,China)

The structure problem of finite groups whose prime graph on conjugacy class sizes are disconnected and incomplete regular graph withnvertices is discussed.The paper gives the prime graph of conjugacy class sizes when it is 1-regular graph of four vertices,and GAP software is used to get the structure problem of finite groups and the set of elements of the conjugacy classes.

prime graph of conjugacy class sizes;regular graph;finite group

張曉盼(1989-)，女，河北邯鄲人，在讀碩士生，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，群論方向的研究。

O 152.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.001

來(lái)稿日期：2015-06-28