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    參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法

    2015-03-29 02:34:24左廷英陳仲兒宋迎春
    測繪工程 2015年9期
    關鍵詞:箱型監(jiān)測網(wǎng)約束

    左廷英,陳仲兒,宋迎春

    (中南大學 地球科學與信息物理學院,湖南 長沙410083)

    在測量平差中,通常以G-M模型為平差模型,同時顧及非線性模型線性化的誤差[1-2],求得的簡化模型往往是不準確的,因而參數(shù)估值也非其準確值,即參數(shù)存在不確定性[3-4]。尤其是在一些特殊情況下(如高精度GPS變形監(jiān)測網(wǎng)),由于模型給的不準、觀測誤差、參數(shù)的不確定性等不確定性因素的影響,從而使得參數(shù)的最小二乘估值可能是與實際相違背的,即最小二乘的平滑、去噪性掩蓋了形變的真實信息,其原因在于沒有考慮系統(tǒng)的物理特性或先驗信息,運用純數(shù)學方法來處理,導致估值“失真”。

    在參數(shù)估計問題上,整體最小二乘法是對以上不確定性的一個改進。其將系統(tǒng)中不確定因素擴展到了模型問題上,綜合考慮設計矩陣與觀測噪聲誤差,估計得到的參數(shù)值在某些場合下[5-7]優(yōu)于最小二乘解。

    整體最小二乘參數(shù)估計方法存在不足,其最大限制因素是必須了解觀測信息的統(tǒng)計特性和隸屬函數(shù),而由于不確定性因素的出現(xiàn),往往較難獲得上述統(tǒng)計信息。最小二乘法、整體最小二乘法都是通過人為的手段對其確定,這樣顯然是不合適的。相反,較之統(tǒng)計特性,獲取參數(shù)的上下界、誤差的極限值等[8]相對較容易些。國內外學者對此類問題也做探討和研究 并成功摸索出一條求解上述不確定問題的道路[9-11]。就目前研究情況而言,較為成熟的解決辦法是區(qū)間分析,其已在巖土力學、結構力學等地質、材料方面取得了一些成績[9-11]。但由于區(qū)間分析的缺點和不足,多數(shù)學者更多關注的是其理論研究[12-13]。在測繪領域方面,陶本藻、王新洲和楊元喜等都對測量不確定度理論進行研究,拓展了測量平差數(shù)據(jù)處理的理論和方法。本文基于參數(shù)有界性,構建了參數(shù)有界約束下的平差模型,利用最小二乘原理,將問題轉化為附有箱型約束的二次規(guī)劃問題,運用最優(yōu)化理論知識[14-15]來處理,進而得到參數(shù)的一個可行解,并將其應用到沉降監(jiān)測網(wǎng)實例中,得出較為合理的結果。

    1 參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法

    1.1 建立平差模型

    參數(shù)有界約束下的平差模型:

    其中,B是一個n×t的設計矩陣;X=[x1…xt]Τ是t×1的參數(shù)向量;Δ是隨機誤差向量,Δ~N(0,σ2I),I是單位矩陣;c=[c1…ct]Τ,d=[d1…dt]Τ分別為參數(shù)的上、下界。

    1.2 轉化為附有箱型約束的二次規(guī)劃問題

    式(1)的解不只一組,故需附加最小二乘約束來求得參數(shù)的最優(yōu)解。

    從而轉化為附有箱型約束的二次規(guī)劃問題:

    當網(wǎng)中各觀測量為等權觀測量時,上式轉化為

    其中,BΤPB是一個對稱正定(半正定)矩陣,式(3)中可簡化為

    上式是一個凸函數(shù)。其中,N=BΤPB,W=BΤPL。故式(3)可等價為一個凸二次規(guī)劃問題:

    其中,F(xiàn)(X)=f(X)-LΤPL。

    1.3 由分解算法計算參數(shù)估值

    求解上述凸二次規(guī)劃問題的算法有很多,如內點算法、積極集法、對偶方法等[16-18],需要具有深厚的最優(yōu)化理論及數(shù)學知識,且沒有一個通用、簡單的算法來實現(xiàn)。本文采用文獻[19]中提到的一種分解算法來處理,以下稱“分解算法”。具體內容如下:

    N∈Rt×t是對稱矩陣,且N滿足下述條件:

    N=N1+N2;N1-N2是對稱正定矩陣,其中N1,N2∈Rt×t。

    則稱(N1,N2)為N的一正則分裂。

    設^X為問題(1)的最優(yōu)解,顯然有X=^X+(X-^X),因此

    故而轉化為等價問題:

    其中,Ω是式(3)的解集。

    箱型約束二次規(guī)劃問題的分解算法:

    2 算例與分析

    圖1所示為南方某城市工業(yè)區(qū)部分沉降監(jiān)測網(wǎng)略圖,由于工業(yè)需要,大量開采地下水造成較為嚴重的地面下沉,為避免安全事故及不必要的人員和財產(chǎn)損失,在近幾年已響應相關部門要求,禁止了地下水的過度開采 同時采用二等水準測量方法獲得了前后兩期高差觀測值,其中BM1點為已知點(國家二等水準點),高程為27.329 m,觀測周期為1年,觀測精度為0.86 mm。表1為兩期高差觀測成果。通過前后兩期水準測量獲得的高差觀測值來分析地面沉降量。在具體處理過程中,以網(wǎng)中BM1點為固定點,其他點為待定點,由此建立參數(shù)有界約束下的平差模型:

    相應的附有箱型約束的凸二次規(guī)劃問題為

    其中,N對稱正定,F(xiàn)(X)為嚴格凸函數(shù)。

    圖1 沉降監(jiān)測網(wǎng)

    表1 兩期高差觀測成果

    解決上述問題關鍵在于如何確定參數(shù)(高程)的上下界,即上述模型中的c,d值。經(jīng)過對Ⅰ期水準網(wǎng)做經(jīng)典自由網(wǎng)平差處理 可以得到參數(shù)的最或然值,在做Ⅱ期平差處理時,以Ⅰ期平差得到的參數(shù)值作為本次平差參數(shù)初值。根據(jù)已有資料顯示,在過去幾年,該地區(qū)年沉降量最大值不超過10 mm,由變形機理可知,由于禁止令的實施,其沉降量不應超過往年最大值,故可近似認為前后兩期沉降量不超過一個10 mm,如此就確定了參數(shù)的上下界。即

    為了比較傳統(tǒng)最小二乘平差法與參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法的優(yōu)劣性,在具體處理過程中,本文還對前后兩期水準網(wǎng)做了經(jīng)典自由網(wǎng)平差處理。同時為便于描述,分別將經(jīng)典自由網(wǎng)平差法和參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法記為LS、BLS。經(jīng)過MATLAB編程實現(xiàn),兩種方法求得的參數(shù)估值及沉降量如表2、表3所示。

    表2 兩種方法的參數(shù)估計結果 mm

    表3 兩種方法得到的沉降量 mm

    由上述結果可見,當限定前后兩期網(wǎng)中待定點沉降量不超過10 mm時,由經(jīng)典自由網(wǎng)平差得到的參數(shù)估值已明顯不能滿足該要求,如P4點的沉降量已超出約束界限。而在同一個水準網(wǎng)中,各待定點沉降量應該相差不大,故參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法得到的結果較符合真實情況。

    3 結束語

    經(jīng)典最小二乘平差法基于傳統(tǒng)高斯—馬爾科夫模型 具有諸多優(yōu)良特性 可以得到參數(shù)的最優(yōu)估值,但由于不確定性問題的出現(xiàn),依靠其單一平滑去噪的特點已然不能滿足高精度變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理要求,因此亟待構建一個與真實系統(tǒng)更為接近的模型并提出相應算法,較為有效的解決辦法是利用已知的先驗信息或通過其他相關途徑,對模型附加約束條件,如參數(shù)有界,建立參數(shù)有界約束下的平差模型,并運用相關知識來求解。實踐證明,經(jīng)過最優(yōu)化處理,得到的模型全局最優(yōu)點為參數(shù)的最佳估值,且滿足在參數(shù)有界下殘差平方和最小的原則,得到的估計結果在某些情況下可能比最小二乘更能反映系統(tǒng)真實狀態(tài)。對于小型變形監(jiān)測網(wǎng)數(shù)據(jù)處理較為適用。

    本文以某一沉降監(jiān)測網(wǎng)為算例,分別采用經(jīng)典最小二乘法和基于參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法來處理,新算法的估值更符合實際。但在實際工作中,往往無法獲知系統(tǒng)的先驗信息,因此如何更為有效確定參數(shù)初值及上下界還有待深入研究。事實上,多數(shù)情況下的變形監(jiān)測網(wǎng)為GPS變形監(jiān)測網(wǎng),此時參數(shù)為三維且方程維數(shù)較大,對于該類問題,需進一步延伸。同時,分解算法雖簡單實用,但在具體執(zhí)行時,效率不高,需迭代多次才接近收斂,故迫切需要提出一種新的最優(yōu)化算法來解決參數(shù)有界問題。

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