時(shí)間序列協(xié)整關(guān)系及其在變形分析中的應(yīng)用研究

張 拯，張獻(xiàn)州

（西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都610031）

隨著變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域軟、硬件的不斷革新，變形監(jiān)測(cè)所獲得的數(shù)據(jù)正向著海量化、多種類(lèi)、多維數(shù)的方向發(fā)展，如何從這些紛繁復(fù)雜的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中提取出可用于變形分析、預(yù)測(cè)的有效信息問(wèn)題亟待解決。目前，用于變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理分析的方法有很多，相應(yīng)的分析預(yù)測(cè)手段也各有其優(yōu)點(diǎn)［1］。時(shí)間序列分析是一種處理隨時(shí)間變化而又相互關(guān)聯(lián)的動(dòng)態(tài)變形分析方法［2］，它從統(tǒng)計(jì)自相關(guān)的角度出發(fā)，研究隨機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)序列的規(guī)律。由于實(shí)際觀測(cè)條件的復(fù)雜性，單個(gè)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)時(shí)間序列往往不具有平穩(wěn)性，建立在平穩(wěn)數(shù)據(jù)變量的基礎(chǔ)上的經(jīng)典時(shí)間序列分析模型，處理非平穩(wěn)變量會(huì)出現(xiàn)失真、虛假結(jié)果。目前，對(duì)于非平穩(wěn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列常規(guī)做法是對(duì)單個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)因子，使得序列平穩(wěn)化后再利用時(shí)間序列分析建立模型，但變換后的序列由于不具有變形監(jiān)測(cè)的直接意義，使得基于變換后的序列所建立的時(shí)間序列模型不便于變形解釋分析。1987年Engle和Granger提出的協(xié)整理論及其方法，為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑，可用于提取非平穩(wěn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列中的變形信息。時(shí)間序列協(xié)整關(guān)系是對(duì)非平穩(wěn)變量長(zhǎng)期均衡關(guān)系所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)描述［3－4］。通過(guò)對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行某種線性組合（協(xié)整向量）使得組合后時(shí)間序列的單整階數(shù)降低，以減小時(shí)序分析的復(fù)雜程度，并得出其中的線性均衡關(guān)系，以建立序列的結(jié)構(gòu)模型，從而可以進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可看作是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)序列，通過(guò)一定的線性組合方式構(gòu)建兩個(gè)或多個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間的協(xié)整關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)組合序列的平穩(wěn)性，表現(xiàn)為線性組合序列的矩，如均值、方差或協(xié)方差等隨時(shí)間平穩(wěn)變化，基于這種有規(guī)律的變化可實(shí)現(xiàn)變形監(jiān)測(cè)的分析預(yù)測(cè)。本文采用時(shí)間序列分析及其協(xié)整關(guān)系對(duì)同一變形體的不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形趨勢(shì)進(jìn)行分析，從非平穩(wěn)監(jiān)測(cè)序列中發(fā)掘出有效的變形信息

1 時(shí)間序列協(xié)整關(guān)系

若所考慮的時(shí)間序列具有相同的單整階數(shù)，且存在某種線性組合（協(xié)整向量）使得組合時(shí)間序列的單整階數(shù)降低，則稱這些時(shí)間序列之間存在顯著的協(xié)整關(guān)系［5－6］。假定k維向量Yt＝（y1t，y2t，…，ykt）′的分量間存在協(xié)整關(guān)系，且Yt被稱為（d，b）階協(xié)整，記為Yt～CI（d，b），如果滿足：

（1）y1t，y2t，…，ykt都 是d階 單 整 的，即Yt～I(xiàn)（d），要求Yt的每個(gè)分量yit～I(xiàn)（d）；

（2）存在非零向量β＝（β1，β2，…，βk），使得β‘Yt～I(xiàn)（d－b），0＜b≤d，則稱Yt是協(xié)整的，向量β又稱為協(xié)整向量。

協(xié)整關(guān)系存在的條件是：只有當(dāng)兩個(gè)變量的時(shí)間序列｛x｝和｛y｝是同階單整序列時(shí)，才可能存在協(xié)整關(guān)系［5］。注意到，同一監(jiān)測(cè)對(duì)象的各變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)間序列都是同階單整序列，因此可利用時(shí)間序列協(xié)整方法對(duì)其進(jìn)行處理，以獲得有效、顯著的變形信息。

2 ARI MAX模型

2．1 ARI MAX模型說(shuō)明

ARI MAX模型是指帶回歸項(xiàng)的ARMA模型，回歸項(xiàng)的引入大大提高了模型的預(yù)測(cè)效果，ARIMAX模型中所引入的回歸項(xiàng)一般與變形預(yù)測(cè)分析的研究對(duì)象（被解釋變量）緊密相關(guān)。以往利用ARI MAX模型描述研究對(duì)象變形規(guī)律時(shí)，只是構(gòu)建了含有一個(gè)輸入序列的ARI MAX模型，實(shí)際情況是：影響時(shí)間序列的因素除其自身變化規(guī)律外，往往還和其他多個(gè)時(shí)間序列的變化有關(guān)。由于模型的先天性缺陷，利用單一時(shí)間序列的ARI MAX模型（或ARMA模型）均無(wú)法恰當(dāng)?shù)孛枋鲎冃畏治鲋卸嘣獣r(shí)間序列的變化規(guī)律，因此，本文研究建立含有多個(gè)時(shí)間序列的ARI MAX模型，并將其運(yùn)用于變形分析之中。

2．2 ARI MAX的構(gòu)造思想

假定因變量序列（響應(yīng)序列）｛yt｝和自變量序列（輸入序列）｛x1t｝，｛x2t｝，…，｛xkt｝都是平穩(wěn)序列，首先建立兩者的回歸模型：

式中：Φi（B）為第i個(gè)輸入變量的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，Θi（B）為第i個(gè)輸入變量的移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式，li為第i個(gè)輸入變量的延遲階數(shù)，｛εt｝為回歸殘差序列。

（1）式移項(xiàng)得殘差序列｛εt｝的表達(dá)式：

由于｛yt｝和｛x1t｝，｛x2t｝，…，｛xkt｝都是平穩(wěn)的，所以（2）式中所示殘差序列也是平穩(wěn)的。使用ARMA模型提取殘差序列｛εt｝中的相關(guān)信息，最終得到動(dòng)態(tài)回歸模型，簡(jiǎn)稱ARI MAX：

式中，Φ（B）為殘差序列自回歸系數(shù)多項(xiàng)式；Θ（B）為殘差序列移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式，at為零均值白噪聲序列。

2．3 ARI MAX模型建立步驟

1）平穩(wěn)性檢驗(yàn)。首先對(duì)因變量序列｛yt｝和各自變量序列｛xit｝做平穩(wěn)性檢驗(yàn)。序列具有平穩(wěn)性是時(shí)序建模的重要前提［3］。平穩(wěn)序列可極大地減少隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化時(shí)序分析的難度，同時(shí)也提高了特征統(tǒng)計(jì)量估計(jì)精度。平穩(wěn)序列具有兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：

a）常數(shù)均值：EXt＝μ；

b）自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)：γ（t，s）＝γ（k，k＋s－t）。

序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法有兩種，一種是圖示法，即根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖顯示的特征判斷序列的平穩(wěn)性，另一種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn)法（常用單位根檢驗(yàn)）。

2）生成自變量序列的白噪聲序列。對(duì)2．2中經(jīng)適當(dāng)差分后平穩(wěn)的自變量序列｛xit｝建立ARI MAX模型，以產(chǎn)生白噪聲序列｛εxit｝：

3）生成因變量序列的白噪聲序列。對(duì)經(jīng)過(guò)差分后平穩(wěn)的因變量序列｛yt｝也實(shí)施（4）中同樣的變換：

4）確定ARI MAX模型結(jié)構(gòu)?？疾焖傻膬蓚€(gè)白噪聲序列｛εxit｝和｛εyit｝的互相關(guān)系數(shù)以確定動(dòng)態(tài)回歸模型結(jié)構(gòu)：

5）考察殘差序列｛εt｝，并對(duì)其擬合模型：

3 運(yùn)用ARI MAX建立時(shí)間序列模型

運(yùn)用ARI MAX模型進(jìn)行時(shí)間序列建模的核心思想就是通過(guò)構(gòu)建相應(yīng)的ARI MAX模型 對(duì)平穩(wěn)序列（原序列及其變換序列或殘差序列）中自相關(guān)信息進(jìn)行提取，實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測(cè)序列的擬合。數(shù)據(jù)列之間具有自相關(guān)性是建立時(shí)間序列模型的基礎(chǔ)［3］。假定某個(gè)觀測(cè)值序列已經(jīng)進(jìn)行了預(yù)處理，如果序列非平穩(wěn)并進(jìn)行平穩(wěn)化，并判定處理后序列為平穩(wěn)非白噪聲序列，我們就可以利用ARI MAX模型對(duì)該序列建模。其建模步驟如圖1所示。

圖1 平穩(wěn)序列建模步驟

3．1 模型識(shí)別

模型辨識(shí)是根據(jù)樣本觀測(cè)值xt（1≤t≤n），計(jì)算其自相關(guān)系數(shù)｛，0＜k＜n｝和偏相關(guān)函數(shù)｛，0＜k＜n｝值并由＾φkk和＾ρk是否截尾判定模型是AR（p）還是MA（q）。

自相關(guān)系數(shù)＾ρk和偏自相關(guān)函數(shù)＾φkk為隨機(jī)變量，當(dāng)樣本容量n→∞時(shí)，有～N（0，），～N（0，）。它們不可能具有嚴(yán)格截尾性（繞0做小值振蕩），需要借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)判斷它們的截尾性：

3．2 模型參數(shù)估計(jì)

模型參數(shù)估計(jì)，是在模型結(jié)構(gòu)及階次已確定條件下，對(duì)模型參數(shù)φj（1≤j≤p），θj（1≤j≤q）與σ2ε進(jìn)行估計(jì)。常用條件最小二乘（OLS）估計(jì)法：假定xt＝0，t≥0，亦即認(rèn)為ε1＝ε2＝…＝εp＝0；當(dāng)p?n時(shí)，可以忽略前p個(gè)εt對(duì)Q（~β）的影響。如果已知n－p個(gè)觀測(cè)值，ARMA（p，q）模型（混合模型）所包含方程的向量形式為：

式中，Y＝（xp＋1，xp＋2，…，xn）T，F(xiàn)＝（fp＋1，fp＋2，…，fn）T，e＝（εp＋1，εp＋2，…，εn）T，X為觀測(cè)值向量（x1，x2，…，xn）。于是，殘差平方和為：

由于Q（~β）不是~β顯性函數(shù)（F（X，~β）為非線性），未知參數(shù)最小二乘估值可用迭代法求出或取定初值β0 可取矩估計(jì)值 進(jìn)行展開(kāi)或按非線性解法進(jìn)行。最小二乘估計(jì)充分利用了序列觀測(cè)值的信息，其估計(jì)精度很高。

3．3 模型的適用性檢驗(yàn)

通常對(duì)殘差的平方和進(jìn)行F檢驗(yàn)做出參數(shù)的選擇和定階，首先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)用ARMA（p，q）模型進(jìn)行過(guò)擬合，再假定φp，θq高階系數(shù)中某些取值為零，用模型殘差平方和來(lái)衡量低階模型與高階模型之間的差異［6］。

假定原假設(shè)H0：φp＝0，θq＝0，記Q0為ARMA（p，q）模型的殘差平方和，Q1為ARMA（p－1，q－1）模型的殘差平方和，則構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量

若F＞Fα，則拒絕原假設(shè)H0，模型階數(shù)仍有上升的可能；否則原假設(shè)H0成立，即選擇ARMA（p－1，q－1）模型。

3．4 模型優(yōu)化

對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以建立多個(gè)有效模型（即有效模型不惟一），需要從中選擇出相對(duì)最優(yōu)的模型，即模型優(yōu)化。通常采用AIC和SBC信息準(zhǔn)則進(jìn)行模型優(yōu)化。

最小信息量AIC準(zhǔn)則是從衡量擬合程度的似然函數(shù)值和模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)兩方面（加權(quán)函數(shù)）考察一個(gè)擬合模型的好壞。通常似然函數(shù)值越大模型擬合效果越好，同時(shí)未知參數(shù)的個(gè)數(shù)越少越好。所以一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該是一個(gè)擬合精度和未知參數(shù)個(gè)數(shù)的綜合最優(yōu)配置。

對(duì)于ARMA（p，q）模型其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

AIC準(zhǔn)則參數(shù)個(gè)數(shù)權(quán)重始終為2，在n→∞時(shí)，它通常比真實(shí)模型所含的未知參數(shù)個(gè)數(shù)要多。因此，定義SBC準(zhǔn)則為

對(duì)于ARMA（p，q）模型

3．5 模型預(yù)測(cè)

所謂預(yù)測(cè)就是利用已觀測(cè)序列值的擬合模型對(duì)隨機(jī)序列未來(lái)發(fā)展進(jìn)行估計(jì)。常用的預(yù)測(cè)方法是線性最小方差預(yù)測(cè)。對(duì)于MA（q）序列，其ARIMAX模型為

MA（q）序列理論上只能預(yù)測(cè)q步之內(nèi)的序列走勢(shì)，超過(guò)q不預(yù)報(bào)值恒等于序列均值。這是由MA q序列自相關(guān)q步截尾的性質(zhì)決定的

4 實(shí)例分析

4．1 工程概況

某地下隧道長(zhǎng)度82．318 m，隧道埋深7～7．8 m，穿越花崗巖殘積土層。地面上方橫跨高速公路特大橋，地下水位較高，常水位在地面下1．5 m處。為了對(duì)大橋及路面進(jìn)行有效的監(jiān)測(cè)，首先在施工沉降影響范圍以外埋設(shè)4個(gè)首級(jí)控制點(diǎn)G1、G2、G3、G4，之后在橋墩柱和重點(diǎn)路面埋設(shè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)。現(xiàn)選取其中幾個(gè)典型監(jiān)測(cè)點(diǎn)的42期監(jiān)測(cè)成果用于動(dòng)態(tài)建模分析，前面36期值參與建模，而最后6期數(shù)據(jù)用于對(duì)比分析。橋墩監(jiān)測(cè)點(diǎn)Q21、Q5、Q6變形量表和時(shí)序圖如表1和圖2所示。

表1 橋墩監(jiān)測(cè)點(diǎn)Q21、Q5、Q6變形量表 mm

圖2 橋墩監(jiān)測(cè)點(diǎn)Q21、Q5、Q6沉降時(shí)序圖

由圖2可以看出，橋墩監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降時(shí)間序列均為不平穩(wěn)時(shí)間序列，將它們進(jìn)行1階差分后即可變?yōu)槠椒€(wěn)的非白噪聲序列［6］。

4．2 基于時(shí)間序列協(xié)整關(guān)系模型預(yù)報(bào)

通過(guò)分析觀測(cè)值序列，可以建立有效或相對(duì)最優(yōu)時(shí)間序列模型，運(yùn)用確定的模型就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)序列未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)作出預(yù)測(cè) 從而為變形體的安全分析提供依據(jù)，并對(duì)監(jiān)測(cè)體的安全性提前預(yù)警，以便及時(shí)采取相應(yīng)措施避免事故的發(fā)生。

利用單序列預(yù)測(cè)模型，對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)Q21、Q5、Q6的沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè) 受篇幅限制 現(xiàn)取6期的模型預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，如圖3（a）、圖3（b）、圖3（c）所示。

圖3 監(jiān)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比圖

從圖3可以看出，通過(guò)分析對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)序列建立的時(shí)間序列模型，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的未來(lái)可能發(fā)展趨勢(shì)作出較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。但隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的逐漸增加，預(yù)測(cè)精度變差，其擬合置信限曲線成喇叭狀。

變形體的變形狀態(tài)一般都用變形體上離散的特征點(diǎn)狀態(tài)和位移量來(lái)描述［7］。由于各監(jiān)測(cè)點(diǎn)會(huì)受到同一變形體整體效應(yīng)的作用，離散監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形趨勢(shì)應(yīng)趨于一致性。從圖2可以看出它們之間具有基本相同的變化趨勢(shì)。因此可以認(rèn)為同一變形體上各點(diǎn)序列值之間存在著一種非常密切的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，具有內(nèi)在的平穩(wěn)同變性。根據(jù)時(shí)間序列之間的協(xié)整關(guān)系就可以研究各序列自身變化不平穩(wěn)但其之間回歸模型擬合后的殘差序列平穩(wěn)，從而建立ARI MAX動(dòng)態(tài)模型。

假定Q6點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為自變量（x），Q5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為響應(yīng)序列（y），可構(gòu)造回歸模型

由于Q5、Q6間具有協(xié)整關(guān)系，利用條件最小二乘估計(jì)，可得到Q5的動(dòng)態(tài)模型ARI MAX為

殘差序列｛at｝為白噪聲序列，模型擬合顯著有效，并且參數(shù)顯著非零。模型的信息量為AIC＝54．87，SBC＝59．62。顯然，模型信息量更少，比單獨(dú)Q5序列模型更優(yōu)。此時(shí)模型的6期的預(yù)測(cè)值如表2所示。

通過(guò)對(duì)同一橋墩上多個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立ARI MAX動(dòng)態(tài)模型，對(duì)各點(diǎn)的沉降趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了同一變形體不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，為實(shí)現(xiàn)變形體的變形監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)、安全評(píng)估提供了更為有益的思路。對(duì)比分析可知，ARI MAX動(dòng)態(tài)模型相對(duì)于單序列預(yù)測(cè)更為優(yōu)化，其預(yù)測(cè)結(jié)果更為可靠。

表2 點(diǎn)Q5時(shí)間序列模型6期預(yù)測(cè)值 mm

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在研究時(shí)間序列特性的基礎(chǔ)上，采用時(shí)間序列協(xié)整分析，從統(tǒng)計(jì)自相關(guān)的角度出發(fā)，研究非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列的規(guī)律，從多測(cè)點(diǎn)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中發(fā)掘出平穩(wěn)的可用于變形預(yù)測(cè)的信息。理論分析和實(shí)踐驗(yàn)證均表明：基于時(shí)間序列協(xié)整關(guān)系的ARI MAX動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型可以有效提取出用于變形預(yù)測(cè)評(píng)估的有效信息，其預(yù)測(cè)結(jié)果是科學(xué)、準(zhǔn)確的。時(shí)間序列協(xié)整關(guān)系為建立復(fù)雜變形體紛繁發(fā)雜的多測(cè)點(diǎn)海量變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)綜合監(jiān)控模型提供了一種方法，進(jìn)一步拓展了傳統(tǒng)時(shí)間序列分析模型在現(xiàn)代變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理分析中的應(yīng)用

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