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    基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑研究*

    2022-10-01 06:08:38鞏子坤張希張丹邵漢民
    教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2022年26期
    關(guān)鍵詞:乙班演繹推理后測(cè)

    □鞏子坤 張希,2 張丹 邵漢民

    一、引言

    分?jǐn)?shù)除法是學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)的一大難點(diǎn)。研究表明,大部分學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的算法掌握得很好[1],卻不明白分?jǐn)?shù)除法為什么要“顛倒相乘”,即對(duì)算理的理解較為欠缺[2]。為此,很多學(xué)者展開了分?jǐn)?shù)除法算理教學(xué)的研究。Li Chen[3]認(rèn)為可以類比整數(shù)除法學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法算理,并借助直觀表征(方格圖、線段圖等)進(jìn)行說(shuō)理。但類比推理存在一定的局限性,且直觀表征存在必然缺陷??梢?jiàn),分?jǐn)?shù)除法算理教學(xué)的困難亟待解決。

    邏輯推理一般分為演繹推理和合情推理。史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展主要依賴的就是邏輯推理,正是有了邏輯推理,才形成了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,邏輯推理應(yīng)當(dāng)貫穿數(shù)學(xué)教育的全過(guò)程[4]。然而,小學(xué)數(shù)學(xué)教材存在“偏重合情推理、淡化演繹推理”的現(xiàn)象,這雖然符合兒童認(rèn)識(shí)世界的基本規(guī)律,但不利于全面培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。因此,探索如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透演繹推理具有一定的理論價(jià)值,也是改善小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),提升學(xué)生核心素養(yǎng)的必然趨勢(shì)。史寧中教授認(rèn)為所有的除法與乘法都是貫通的,提出了基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法算理[5],為本研究提供了依據(jù)。

    學(xué)習(xí)路徑是學(xué)生對(duì)核心概念的理解由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)的思維過(guò)程的描述,不僅能促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升,還可以為教材修訂、教學(xué)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)[6][7]。本研究以學(xué)習(xí)路徑為工具,旨在探索一條有利于學(xué)生理解的基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑。分?jǐn)?shù)除法可分為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”和“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”,本文主要研究“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”。

    具體而言,探查以下問(wèn)題:(1)基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑是什么?(2)基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑可行嗎?

    二、研究設(shè)計(jì)

    (一)研究對(duì)象

    本研究選取杭州市XH小學(xué)六年級(jí)甲、乙班作為實(shí)驗(yàn)班,按照本研究所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑教學(xué);選取同一學(xué)校平行班丙、丁班作為對(duì)照班,按照教材中的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑教學(xué)。

    (二)研究步驟

    整個(gè)研究主要包括“預(yù)備課、初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1、優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2”等基本步驟(如圖1)。

    圖1 研究基本步驟

    (三)理論支撐

    1.基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法算理

    這就是基于演繹推理,將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)演繹推理所需的知識(shí),但他們掌握得還不夠扎實(shí)。為此,教師先在實(shí)驗(yàn)班上預(yù)備課,復(fù)習(xí)必要的前提知識(shí)。

    2.表征方式

    表征方式,是指通過(guò)某種類型的表達(dá)方式來(lái)說(shuō)明算理。在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中,有以下表征方式(如表1[8]):

    表1 分?jǐn)?shù)除法的表征方式

    (四)問(wèn)卷及數(shù)據(jù)處理

    實(shí)驗(yàn)班后測(cè)例題如下:

    對(duì)照班后測(cè)例題如下:

    測(cè)試后對(duì)問(wèn)卷進(jìn)行賦分,計(jì)算正確得1分,說(shuō)理正確得3分,滿分4分。

    三、研究結(jié)果與分析

    (一)預(yù)備課和前測(cè)

    在甲、乙班教學(xué)預(yù)備課,教學(xué)后對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,這也是整個(gè)實(shí)驗(yàn)的前測(cè)。發(fā)現(xiàn)兩班總得分率(92.22%和91.35%)較高,說(shuō)明大部分學(xué)生已掌握這些知識(shí)。對(duì)平均得分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn),結(jié)果顯示,甲、乙班得分(t=1.859,P=0.069)不存在顯著性差異,這能有效減小后續(xù)研究的誤差。綜上,基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法教學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛟诩住⒁野嚅_展。

    (二)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑:初構(gòu)

    1.路徑呈現(xiàn)

    初構(gòu)的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑如圖2所示。

    圖2 初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1

    任務(wù)一借助直觀表征“畫一畫”,用被除數(shù)的分子除以除數(shù)即可解決。

    任務(wù)二中被除數(shù)的分子不能被除數(shù)除盡,此時(shí)可以借助直觀表征進(jìn)行求解。與此同時(shí),教師引入形式表征“推一推”,即演繹推理來(lái)解釋算理。

    任務(wù)三符號(hào)化。當(dāng)出現(xiàn)字母c時(shí),直觀表征失去優(yōu)勢(shì),從而凸顯形式表征的優(yōu)越性。教師詢問(wèn)學(xué)生:c可以代表哪些數(shù)?任務(wù)三可以得到什么結(jié)論?在此過(guò)程中,學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到字母符號(hào)具有一般性,并得到一個(gè)普適性運(yùn)算規(guī)律——除以一個(gè)數(shù)等于乘上它的倒數(shù)。

    2.教學(xué)效果與存在的問(wèn)題

    對(duì)學(xué)生的后測(cè)錯(cuò)誤情況進(jìn)行訪談,部分訪談實(shí)錄如下(T是訪談人員,S是學(xué)生):

    S:因?yàn)槌砸粋€(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

    T:但是這題就是讓我們解釋為什么除以一個(gè)數(shù)就是乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)呀。

    (學(xué)生不大明白了)

    通過(guò)對(duì)話可以看出,該學(xué)生將演繹推理的因果關(guān)系倒置,把“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”當(dāng)成一個(gè)已知的結(jié)論,全然不知我們“推”的就是這個(gè)結(jié)論。出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象,一是因?yàn)槠綍r(shí)沒(méi)有接觸、經(jīng)歷過(guò)演繹推理的過(guò)程,二是因?yàn)閷W(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)存在問(wèn)題,未順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知順序,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“為何演繹推理”“如何演繹推理”一知半解。

    因此,初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1存在以下問(wèn)題:

    (2)演繹推理步驟間的聯(lián)系性不緊密。教學(xué)中只解釋步驟,卻缺乏對(duì)這些步驟的歸納與總結(jié)。這導(dǎo)致學(xué)生不理解為什么要遵循這樣的步驟,即不明白為什么要先設(shè)未知數(shù),再化除為乘,繼而利用等式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)。

    3.改進(jìn)建議

    (1)完善任務(wù),凸顯為何要演繹推理。

    其一:任務(wù)一和任務(wù)二只呈現(xiàn)直觀表征,任務(wù)三引入形式表征。

    任務(wù)一和任務(wù)二通過(guò)畫圖說(shuō)明算理;而任務(wù)三包含字母c,無(wú)法畫圖,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,此時(shí)再引出“推一推”,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到演繹推理的必要性。

    由于a、b、c是任意的自然數(shù)就能代表全體的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”。當(dāng)推理出時(shí),便能得到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的普適性運(yùn)算規(guī)律,由此凸顯形式表征的一般性,培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

    (2)總結(jié)推理步驟,凸顯怎樣演繹推理。

    增加鞏固環(huán)節(jié),將推理過(guò)程的步驟分別命名為設(shè)、化、消、傳(如圖3)。

    圖3 “設(shè)、化、消、傳”示意圖

    (三)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑:優(yōu)化

    1.路徑呈現(xiàn)

    優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑如圖4所示。

    本節(jié)課的目標(biāo)是感悟演繹推理的必要性與一般性,解決“為何要演繹推理”的問(wèn)題;充分經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程,解決“如何演繹推理”的問(wèn)題。優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2通過(guò)四個(gè)任務(wù)達(dá)成本節(jié)課的目標(biāo)(如圖4)。下文將借助部分教學(xué)片段,說(shuō)明如何落實(shí)以上目標(biāo),其中T是授課教師,S是學(xué)生。

    圖4 優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2

    (1)為何要演繹推理?

    T:即使無(wú)法計(jì)算任務(wù)三,也能通過(guò)前面的“例子”(如圖5)類比得到“猜想”——乘以除數(shù)的倒數(shù)。這個(gè)猜想是否正確?靠不斷地舉例來(lái)說(shuō)理可行嗎?

    圖5 “畫一畫”板書

    S:不行,需要驗(yàn)證。

    T:可是,這個(gè)式子中含有字母c,無(wú)法畫圖了,如何驗(yàn)證?怎么能更一般地解釋顛倒相乘?今天老師教大家一個(gè)新方法——“推一推”。

    教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比得到“猜想”,這是合情推理。但如何證實(shí)含有字母c的“猜想”,學(xué)生還難以用現(xiàn)有的知識(shí)解決。因此,教師順理成章地引入演繹推理,讓學(xué)生感悟演繹推理的必要性。此外,從帶有字母的算式入手,有利于學(xué)生感悟演繹推理的一般性。

    (2)如何演繹推理?

    S:商乘以除數(shù)等于被除數(shù)。

    T:沒(méi)錯(cuò),根據(jù)“等式的基本性質(zhì)”,得到?×c×再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法約分化簡(jiǎn),得到?×c×,即。這一步稱為“消”。

    T:觀察上述結(jié)論,可以發(fā)現(xiàn)什么?

    圖6 “推一推”板書

    該環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生感悟、理解演繹推理的依據(jù)與方法。為達(dá)成目標(biāo),教師通過(guò)對(duì)演繹推理過(guò)程的歸納與總結(jié),讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程,深刻理解“設(shè)、化、消、傳”的含義。

    2.教學(xué)效果

    對(duì)甲、乙班學(xué)生的后測(cè)平均分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn),結(jié)果顯示,甲、乙班的得分(t=2.196,P<0.05)存在顯著性差異,說(shuō)明優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2產(chǎn)生了效果。

    (四)學(xué)習(xí)路徑的整體效果

    1.實(shí)驗(yàn)班、對(duì)照班后測(cè)數(shù)據(jù)分析

    對(duì)“實(shí)驗(yàn)班”“對(duì)照班”學(xué)生的后測(cè)平均分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn),結(jié)果顯示,對(duì)照班、實(shí)驗(yàn)班的得分(t=2.734,P<0.05)存在顯著性差異。綜上所述,本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比,更有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。

    2.延遲后測(cè)數(shù)據(jù)分析

    延遲后測(cè)可以評(píng)估學(xué)習(xí)者初學(xué)某一內(nèi)容,在一段時(shí)間后的學(xué)習(xí)效果。研究團(tuán)隊(duì)在授課結(jié)束的兩周后,對(duì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行延遲后測(cè)。結(jié)果顯示,相比即時(shí)后測(cè),甲班的延遲后測(cè)得分率降低了17.92%,乙班降低了1.76%,這說(shuō)明乙班的教學(xué)效果更具有持久性。

    乙班的后測(cè)得分率均在80%及以上,說(shuō)明班級(jí)中大部分學(xué)生能理解、運(yùn)用“推一推”,這樣的結(jié)果是值得肯定的。因?yàn)檠堇[推理中蘊(yùn)含的邏輯、思路是小學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)訓(xùn)練過(guò)的,首次嘗試就獲得良好的數(shù)據(jù)支持,說(shuō)明了演繹推理運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性。

    四、結(jié)論與建議

    (一)結(jié)論

    基于研究,得出以下結(jié)論:

    (1)在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑中,要以直觀表征引入,逐漸以形式表征為主,即“直觀表征敲門,形式表征唱戲”。

    (2)研究數(shù)據(jù)表明,本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑具有可行性。與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比,本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑更有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。

    (二)建議

    教材可以參考我們得到的優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2:以演繹推理為抓手,推演分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理,從“算法的數(shù)學(xué)”上升到“思辨的數(shù)學(xué)”;注重直觀表征與形式表征并行。

    教學(xué)時(shí),教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知順序,凸顯演繹推理的必要性與一般性,解決“為何要演繹推理”的問(wèn)題;厘清每一推理步驟的邏輯關(guān)系,解決“如何演繹推理”的問(wèn)題;處理好從直觀表征到形式表征的過(guò)渡,培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理意識(shí)與符號(hào)意識(shí)。

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