利用WBEPM模型和穩(wěn)定變分法計(jì)算氦原子的極化率和色散系數(shù)

黃時(shí)中, 鄧澤森, 張 勇

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院, 蕪湖 241000)

利用WBEPM模型和穩(wěn)定變分法計(jì)算氦原子的極化率和色散系數(shù)

黃時(shí)中, 鄧澤森, 張 勇

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院, 蕪湖 241000)

以最弱受約束電子勢模型(WBEPM)理論為基礎(chǔ), 建立了計(jì)算氦原子多極動(dòng)態(tài)極化率和相互作用色散系數(shù)的穩(wěn)定變分方法. 導(dǎo)出了該方法中所涉及的矩陣元和線性方程組的解析表達(dá)式. 作為應(yīng)用, 具體計(jì)算了基態(tài)氦原子的極化率和兩體色散系數(shù), 將計(jì)算結(jié)果與用其他方法所得到的結(jié)果進(jìn)行了比較, 數(shù)據(jù)基本一致.

氦原子; WBEPM; 穩(wěn)定變分方法; 極化率; 色散系數(shù)

1 引 言

隨著激光冷卻和囚禁技術(shù)的發(fā)展以及Bose-Einstain凝聚在若干堿土金屬原子體系中的實(shí)現(xiàn), 人們越來越關(guān)注堿土金屬原子的極化率以及原子間相互作用色散系數(shù)的研究. 2007年, Mitroy 和 Zhang[1-3]發(fā)表3篇系列論文, 較全面地論述了堿土金屬原子間相互作用色散系數(shù)的計(jì)算方法, 具體計(jì)算了若干激發(fā)態(tài)堿土金屬原子與基態(tài)H 和 He的相互作用色散系數(shù); 2009年, Yang和Tang等[4]以Tang-Toennies (TT)勢模型為基礎(chǔ), 利用色散系數(shù)(C6、C8和C10)分析了基態(tài)Ca2以及Ca-RG (RG=He, Ne, Ar, Kr, Xe)的相互作用勢; 2010年, Tang和Mitroy等[5]采用變分Hylleraas方法和半經(jīng)驗(yàn)近似方法計(jì)算了Li+與惰性氣體(He, Ne, Ar, Kr, Xe)之間的相互作用色散系數(shù)；2011年, Jiang和Kar等[6]采用屏蔽庫侖勢模型系統(tǒng)地計(jì)算了雙電子正離子Li+、Be2+、B3+、 C4+、N5+和O6+的極化率; 2012年, Tang等[7]高精度計(jì)算了類氫離子基態(tài)的極化率以及H-H和H-He+相互作用色散系數(shù).

盡管這些研究工作已取得了重要進(jìn)展, 但目前的理論計(jì)算結(jié)果的精度還有待提高. 2008年, Masili等[8]將研究多光子電離問題中所采用的穩(wěn)定變分方法引入到原子極化率和相互作用色散系數(shù)的計(jì)算中, 提出了計(jì)算原子極化率和相互作用色散系數(shù)的穩(wěn)定變分方法, 具體計(jì)算了氫原子的極化率以及兩體和三體相互作用色散系數(shù), 得到了目前精度最高的氫原子極化率和相互作用色散系數(shù), 并將其視為原子間相互作用色散系數(shù)的“精度標(biāo)桿”.

2011年, Huang和Sun[9,10]以模型勢理論為基礎(chǔ)成功地將穩(wěn)定變分方法推廣應(yīng)用到堿金屬原子, 計(jì)算出了高精度的堿金屬原子極化率、同核和異核堿金屬原子間的兩體和三體相互作用色散系數(shù).

將穩(wěn)定變分方法進(jìn)一步推廣應(yīng)用到氦原子和堿土金屬原子體系是一個(gè)有意義的設(shè)想, 實(shí)現(xiàn)此設(shè)想的一個(gè)關(guān)鍵問題是建立一個(gè)簡潔而有效的模型勢. 考慮到最弱受約束電子勢模型(WBEPM)[11]在計(jì)算多電子原子的能級(jí)和躍遷幾率[12-14]等方面都取得了很大的成功, 而且我們曾利用該模型勢精確地計(jì)算過碳原子和鈹原子[15,16]有關(guān)組態(tài)的精細(xì)結(jié)構(gòu)能級(jí), 因而很自然地想到也許可以將其應(yīng)用到氦原子和堿土金屬原子體系極化率和相互作用色散系數(shù)的計(jì)算工作中.

本文的主要工作就是以最弱受約束電子勢模型(WBEPM)理論為基礎(chǔ), 建立計(jì)算氦原子多極動(dòng)態(tài)極化率和相互作用色散系數(shù)的穩(wěn)定變分方法(也就是將穩(wěn)定變分方法進(jìn)一步推廣應(yīng)用到氦原子體系). 導(dǎo)出該方法中所涉及的矩陣元和線性方程組的解析表達(dá)式, 具體計(jì)算基態(tài)氦原子的極化率和兩體相互作用色散系數(shù), 并將計(jì)算結(jié)果與用其他方法所得到的結(jié)果進(jìn)行比較. 由于堿土金屬原子的價(jià)電子構(gòu)型與氦原子相似, 本文的工作也許可以為計(jì)算堿土金屬原子極化率和相互作用色散系數(shù)提供一個(gè)新的途徑.

2 氦原子體系的WBEPM近似

最弱受約束電子勢模型(WBEPM)[11]理論的基本思想是將原子中的電子根據(jù)其活躍程度和被電離的能力劃分為最弱受約束電子(WBE)和非最弱受約束電子(NWBE), 非最弱受約束電子和原子核被視為原子實(shí)部分, 最弱受約束電子在原子實(shí)的平均勢場中運(yùn)動(dòng), 因此多電子原子系統(tǒng)可以作為單電子系統(tǒng)處理. 基態(tài)氦原子的電子組態(tài)為1s2, 將其中的一個(gè)1s電子視為最弱受約束電子(WBE), 非最弱受約束電子(NWBE)和原子核被視為原子實(shí)部分, WBE在原子實(shí)的平均勢場中運(yùn)動(dòng). WBE所感受的勢能函數(shù)可以表示為[11]

(1)

其中r是WBE與核之間的距離,Z′是有效核電荷數(shù),l是WBE的角動(dòng)量量子數(shù),k是可調(diào)參數(shù). 在勢能函數(shù)(1)中, 第一項(xiàng)是電子與核之間的Coulomb勢, 第二項(xiàng)是考慮原子實(shí)極化效應(yīng)而設(shè)立的模型勢. 采用原子單位, WBE所滿足的Schr?dinger 方程為

ψ=εψ

(2)

解此方程, 可以得到WBE的波函數(shù)

ψ(r,θ,φ)=R(r)Ylm(θ,φ)

(3)

式中Ylm(θ,φ)是通常的球諧函數(shù),R(r)是徑向波函數(shù), 滿足徑向方程

(4)

其中

l′=l+k

(5)

求解方程(4), 可以得到徑向函數(shù)R(r)的如下表達(dá)式

(6)

其中

n′=n+k

(7)

這里的n′和(4)式中的l′分別稱為有效主量子數(shù)和有效軌道角動(dòng)量量子數(shù), 而n和l是WBE的主量子數(shù)和軌道角動(dòng)量量子數(shù). WBE的能量本征值和電離能分別是

(8)

(9)

對(duì)于基態(tài)氦原子, 利用其電離能數(shù)據(jù)(見表1), 可以擬合出Z′、n′、k之值, 結(jié)果如下:

n′=0.997037,k=-0.002963,Z′=1.340596

(10)

表1 類氦原子基態(tài)的電離能(單位:eV)

Table1Ionizationenergies(ineV)ofHelium-likeatomsintheirgroundstates

ZIexpZIexp224.5873878205128.7375.640152156754153.8944226248.95259.37146236851.24246392.0886247481.77552.07162581418739.29293268828.04639953.9068279544.2101195.8222810289111465.134412911062.373121761.80393011865.151132085.97563112696.6048142437.62843213557.3315152816.91133163223.77653415367.3445173658.338335184120.6583617296.5633194610.869883718305.7166

3 氦原子體系的多極動(dòng)態(tài)極化率

研究原子間的范德瓦爾斯相互作用色散系數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)性工作是計(jì)算原子的多極動(dòng)態(tài)極化率, 這是因?yàn)橄嗷プ饔蒙⑾禂?shù)可以表示為原子的多極動(dòng)態(tài)極化率的積分[17].

在最弱受約束電子勢模型近似下, 氦原子的2L-極動(dòng)態(tài)極化率αL(ω)可以表示為[8]

(11)

(12)

θ,φ)rL

(13)

引入中間態(tài)|λ〉, 其定義為

(14)

矩陣元(12)式可以寫成

(15)

按照穩(wěn)定變分方法[8], 先將上式改寫成

(16)

再將中間態(tài)|λ〉按照一組已知函數(shù){|μ〉}展開

(17)

(18)

得到待定系數(shù)aμ所滿足的代數(shù)方程組, 解此方程組, 確定系數(shù)aμ.

將(17)式中的函數(shù){|μ〉}取為斯萊特基, 中間態(tài)|λ〉展開為

(19)

其中

Φμl″(r)=Nμl″rl″+μ-1e-r

(20)

此處Nμl″是歸一化因子, 且

(21)

設(shè)氦原子中WBE的初態(tài)為

|i〉=Rn′l′(r)Ylm(θ,φ) (l′=l+k)

(22)

利用(6)式以及(19)-(22)式, 完成(16)式中的積分, 可以得到雙光子躍遷矩陣元的如下解析表達(dá)式

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

對(duì)于初態(tài)為基態(tài)的情形,l=0, 因而l″=L, 上述各式中的l″都取l″=L.

將(23)式代入變分原理(18)式, 得到參數(shù)aμ所滿足的如下線性方程組

(30)

4 氦原子體系的兩體色散系數(shù)

兩個(gè)原子間的范德瓦爾斯相互作用可以表示為

(31)

其中R是兩個(gè)原子核之間的距離;Cn是兩體色散系數(shù), 可以表示為原子的多極動(dòng)態(tài)極化率的積分[17]

(32)

5 結(jié)果與分析

對(duì)于基態(tài)氦原子, 利用(10)式所給出的Z′、n′、k值, 我們應(yīng)用Mathematica軟件編程求解了M×M維線性方程組(30), 再按(23)和(11)式計(jì)算了基態(tài)氦原子的極化率. 計(jì)算過程中, 我們發(fā)現(xiàn)隨著斯萊特基組數(shù)目的增加, 極化率的計(jì)算值迅速收斂并趨于穩(wěn)定. 常用的前5個(gè)靜態(tài)極化率(ω=0)的計(jì)算結(jié)果列于表2中的第一列, 表中同時(shí)列出了用其他方法所得到的結(jié)果.

表2 基態(tài)氦原子的極化率(原子單位)

從表2可知, 對(duì)于低階極化率αL(L=1,2,3), 本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]、[19]、[20]、[21]的結(jié)果很吻合. 而對(duì)于較高階的極化率αL(L=4,5), 我們的結(jié)果與文獻(xiàn)[20]的結(jié)果相符, 但與文獻(xiàn)[18]的結(jié)果有比較明顯的差異. 實(shí)際上, 文獻(xiàn)[18]是利用氦原子波函數(shù)的漸近行為來分析氦原子的極化率的, 允許有一定的誤差.

表3 基態(tài)氦原子間的色散系數(shù)(原子單位)

利用(32)式, 我們進(jìn)一步計(jì)算了兩個(gè)基態(tài)氦原子間的兩體色散系數(shù), 最重要的3個(gè)系數(shù)C6、C8和C10的計(jì)算結(jié)果列于表3中的第一列, 表中同時(shí)列出了用其他方法所得到的結(jié)果. 由表3可知, 本文所得到的色散系數(shù)結(jié)果與文獻(xiàn)[18]、[20]、[22]、[23]的結(jié)果基本上是一致的, 這表明本文所提供的方法是有效的. 由于這一方法較為簡捷, 而堿土金屬原子的價(jià)電子構(gòu)型與氦原子相似, 本文的工作也許可以為計(jì)算堿土金屬原子極化率和相互作用色散系數(shù)提一個(gè)供新的途徑. 我們將進(jìn)行這方面的嘗試.

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Calculation of multipole polarizability and dispersion coefficients for helium by WBEPM and variationally stable procedure

HUANG Shi-Zhong, DENG Ze-Sen, ZHANG Yong

(College of Physics and Electrical Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Based on the weakest bound electron potential model (WBEPM) theory, method of calculating the multipole dynamic polarizability and dispersion coefficients for Helium by a variationally stable procedure is established. The matrix elements and a group of linear equations, involving in this approach, are derived analytically. As an application, the polarizability and two-body dispersion coefficients between Helium atoms in their ground states are calculated concretely and are compared with those calculated previously by other procedures. It is found that the calculated results are consistent with those of others.

Helium; WBEPM; Variationally stable procedure; Polarizabiliy; Dispersion coefficients

2014-09-06

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11040606M15); 國家自然科學(xué)基金專項(xiàng)基金項(xiàng)目(11047019)

黃時(shí)中(1958—),男, 安徽宿松縣人, 理學(xué)博士, 教授, 主要從事原子結(jié)構(gòu)理論和原子間相互作用理論研究. E-mail: huangsz@mail.ahnu.edu.cn

103969/j.issn.1000-0364.2015.10.003

O562.4

A

1000-0364(2015)05-0728-05