負(fù)二項(xiàng)分布的結(jié)構(gòu)研究

康 殿 統(tǒng)

(河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 張掖 734000)

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康 殿 統(tǒng)*

(河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 張掖 734000)

給出了負(fù)二項(xiàng)分布的兩個(gè)不同定義與一個(gè)結(jié)構(gòu)性定理.研究了兩類負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量的無(wú)窮可分性.給出了求兩類負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量的期望、方差與矩母函數(shù)的幾種簡(jiǎn)捷方法. 另外給出了涉及負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量的兩個(gè)計(jì)算實(shí)例.

負(fù)二項(xiàng)分布; 伽瑪分布; 矩母函數(shù); 泊松過(guò)程; 混合; 無(wú)窮可分性; 因子分解法

1 預(yù)備知識(shí)

在應(yīng)用概率論與經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 負(fù)二項(xiàng)分布(Negative Binomial Distribution)以其重要而有趣的性質(zhì)居于一個(gè)重要的位置. 關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布的研究,國(guó)內(nèi)外已有大量的文獻(xiàn),有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[1-2].本文對(duì)負(fù)二項(xiàng)分布的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,同時(shí)也將展示幾個(gè)求負(fù)二項(xiàng)分布的期望、方差及矩母函數(shù)的簡(jiǎn)捷方法.

定義1設(shè)X為一非負(fù)離散隨機(jī)變量. 如果X具有概率質(zhì)量函數(shù)

則稱X服從參數(shù)為n與p的二項(xiàng)分布,記做X～B(n, p),這里n為正整數(shù),0

定義2稱函數(shù)MX(t)=E(etX),t≥0為非負(fù)隨機(jī)變量X的矩母函數(shù).

注1若隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立.則有MX+Y(t)=MX(t)MY(t),t≥0.

定義3設(shè)X為一非負(fù)離散隨機(jī)變量. 如果X具有概率質(zhì)量函數(shù)

則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記做X～P(λ),這里λ>0為實(shí)數(shù).

泊松隨機(jī)變量的矩母函數(shù)為:

MX(t)=eλ(et-1),t≥0.

(1)

定義4如果非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)

(2)

則稱X服從參數(shù)為α與λ的伽瑪分布,記作X～G(α,λ),其中,α>0為形狀參數(shù),λ>0為尺度參數(shù).Γ(α)為Gamma函數(shù).

容易算出,伽瑪隨機(jī)變量的矩母函數(shù)為:

(3)

定義5[1]設(shè)Y為一非負(fù)離散隨機(jī)變量. 如果Y具有概率質(zhì)量函數(shù)

則稱Y服從參數(shù)為r與p的負(fù)二項(xiàng)分布,記做Y～NBi(r,p),這里r>0,0

當(dāng)r為正整數(shù)時(shí),負(fù)二項(xiàng)分布NBi(r,p)稱為帕斯卡分布.下文中提到負(fù)二項(xiàng)分布NBi(r,p)時(shí),均指r為正整數(shù)的情形.這時(shí)Y～NBi(r,p)的概率質(zhì)量函數(shù)為:

當(dāng)r=1時(shí),負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)為:

P(Y=x)=p(1-p)x,x=0,1,2,…,

這時(shí)稱Y服從參數(shù)為p的幾何分布,記作Y～Ge(p).

由定義直接計(jì)算可得負(fù)二項(xiàng)變量Y～NBi(r,p)的矩母函數(shù)為:

定義6設(shè)X為一非負(fù)離散隨機(jī)變量. 如果X具有概率質(zhì)量函數(shù)

則稱X服從參數(shù)為r與p的負(fù)二項(xiàng)分布分布,記做X～NB(r,p),這里r為正整數(shù),0

當(dāng)r=1時(shí),X～NB(1,p)=G(p),這時(shí)稱X服從參數(shù)為p的幾何分布,X具有概率質(zhì)量函數(shù)

pX(x)=pqx-1,q=1-p,x=1,2,….

X～NB(r,p)的矩母函數(shù)為:

2 結(jié)構(gòu)性定理

當(dāng)r為正整數(shù)時(shí),負(fù)二項(xiàng)變量Y～NBi(r,p)表示在獨(dú)立伯努利實(shí)驗(yàn)序列中第r個(gè)成功發(fā)生前的失敗次數(shù).然而在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中,負(fù)二項(xiàng)變量表示在特定的時(shí)期內(nèi)的索賠次數(shù),索賠頻率服從Poisson分布,但參數(shù)具有隨機(jī)性,即參數(shù)為一隨機(jī)變量,且服從伽瑪分布.就是說(shuō)負(fù)二項(xiàng)分布看作是是Poisson分布以伽瑪分布為權(quán)重的連續(xù)混合.這種觀點(diǎn)可由下面的定理來(lái)證實(shí).

證明下面求Z的概率質(zhì)量函數(shù).設(shè)Λ～G(r,β),即Λ具有概率密度函數(shù)

其中,r,β為正實(shí)數(shù).則Z的概率質(zhì)量函數(shù)為:

(4)

(5)

當(dāng)r為正整數(shù)時(shí),Γ(r+x)=(r+x-1)!,Γ(r)=(r-1)!,則(5)式化為:

q=1-p,x=0,1,2,…,

由于

所以

(6)

注2(6)式解釋了負(fù)二項(xiàng)分布這個(gè)名詞的由來(lái).

3 無(wú)窮可分性

定義7[3]1) 對(duì)于任何n=2,3,…,如果一個(gè)分布可以表為n個(gè)同一概率分布的卷積(或稱合成),則稱該分布為無(wú)窮可分分布;

2) 無(wú)窮可分分布的特征函數(shù)f(t)稱為無(wú)窮可分的,如果對(duì)于任何n,這個(gè)特征函數(shù)可以表為另一特征函數(shù)的n次冪:f(t)=[fn(t)]n;

3) 定義在某個(gè)概率空間上的隨機(jī)變量,如果對(duì)任何n,它可以表為定義在該空間上的n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和,則稱該隨機(jī)變量為無(wú)窮可分的.

注31)每一個(gè)無(wú)窮可分隨機(jī)變量的分布是無(wú)窮可分的,但反之不恒真;

2)分布的無(wú)窮可分性可以用特征函數(shù)來(lái)檢驗(yàn);

3)當(dāng)隨機(jī)變量的矩母函數(shù)存在時(shí),分布的無(wú)窮可分性也可以用矩母函數(shù)函數(shù)來(lái)檢驗(yàn).

定理2負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是無(wú)窮可分的.

證明設(shè)X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),Xi～G(p),Yi～Ge(p),i=1,2,…,r,則有

X=X1+X2+…+Xr,

Y=Y1+Y2+…+Yr,

由定義7知,負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是無(wú)窮可分的.

定理3負(fù)二項(xiàng)分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函數(shù)和矩母函數(shù)都是無(wú)窮可分的.

證明負(fù)二項(xiàng)分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函數(shù)分別為:

和

顯然

和

由上面的注記3的2)可知,下面的定理成立.

定理4負(fù)二項(xiàng)分布NB(r,p)和NBi(r,p)都是無(wú)窮可分的.

4 求期望、方差與矩母函數(shù)的簡(jiǎn)捷方法

4.1 求矩母函數(shù)的雙期望法

下面給出一個(gè)計(jì)算矩母函數(shù)的一般方法,這個(gè)方法稱為混合法.利用此方法,可以容易地算出負(fù)二項(xiàng)變量的矩母函數(shù).

由矩母函數(shù)的定義,MX(t)=E(etX),t≥0.設(shè)Y為另一非負(fù)隨機(jī)變量.由雙期望公式,有

MX(t)=E(etX)=

EY[E(etX|Y)]=EY[MX|Y(t)].

(7)

當(dāng)Y連續(xù)時(shí),X是X|Y=y的連續(xù)混合.設(shè)Y的密度函數(shù)為fY(x),則有

命題1設(shè)X～NBi(r,p),則

證明設(shè)X～NBi(r,p),Λ～G(r,β).由定理1知[X|Λ=β]～P(β).由(1)式有

注4負(fù)二項(xiàng)分布這個(gè)名詞的由來(lái)也可以通過(guò)如下所述的矩母函數(shù)方法來(lái)說(shuō)明.

由于二項(xiàng)隨機(jī)變量X～B(n,p)的矩母函數(shù)為:

MX(t)=[(1-p)+pet]n,t≥0.

4.2 求負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量期望、方差與矩母函數(shù)的因子分解法

4.2.1 一般方法 這個(gè)方法對(duì)求無(wú)窮可分隨機(jī)變量的期望、方差與矩母函數(shù)非常實(shí)用.設(shè)X為一無(wú)窮可分隨機(jī)變量,由隨機(jī)變量無(wú)窮可分的定義,對(duì)任何正整數(shù)n,存在n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Xi,i,=1,2,…,n,X可以分解為這n隨機(jī)變量之和.即

X=X1+X2+…+Xn.

利用這個(gè)分解式,容易求出X的數(shù)學(xué)期望、方差、矩母函數(shù)分別為:

E(X)=nE(X1),D(X)=nD(X1),

MX(t)=[MX1(t)]n.

更一般地,把X分解為任意若干個(gè)隨機(jī)變量之和,只要這些分解出來(lái)的隨機(jī)變量好求數(shù)學(xué)期望即可,也不要求相互獨(dú)立,這樣X(jué)的期望數(shù)學(xué)就等于這些隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和.但在求方差與矩母函數(shù)時(shí),要求分解出來(lái)的這些隨機(jī)變量要相互獨(dú)立,最好還是同分布的,這樣求X的數(shù)學(xué)期望期望、方差與矩母函數(shù)將變得非常簡(jiǎn)單.

4.2.2 負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量的因子分解法 設(shè)X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),這里r為正整數(shù),0

X=X1+X2+…+Xr,Y=Y1+Y2+…+Yr.

(8)

由于X1與Y1的數(shù)學(xué)期望、方差與矩母函數(shù)分別為:

由(8)式有X～NB(r,p)與Y～NBi(r,p)的數(shù)學(xué)期望、方差與矩母函數(shù)分別為:

4.2.3 轉(zhuǎn)換法 由定義5與定義6知道,如果X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),r為正整數(shù),0

X=Y+r,r=1,2,…,

所以有

E(X)=E(Y)+r,D(X)=D(Y),

MX(t)=ertMY(t),t≥0.

(9)

由(9)式知,在X～NB(r,p)與Y～NBi(r,p)兩者中,只要知道其中一個(gè)的期望、方差與矩母函數(shù),則另一個(gè)的期望、方差與矩母函數(shù)就可以通過(guò)(9)式求得.

例如,已有Y～NBi(r,p)的數(shù)學(xué)期望、方差與矩母函數(shù)分別為:

t≥0,qet<1,q=1-p,r為正整數(shù),

則由(9)式有,X～NB(r,p)的數(shù)學(xué)期望、方差與矩母函數(shù)分別為:

同理,也可由X～NB(r,p)的數(shù)學(xué)期望、方差與矩母函數(shù)通過(guò)(9)式求出Y～NBi(r,p)的數(shù)學(xué)期望、方差與矩母函數(shù).

上面的轉(zhuǎn)換法還可以推廣到更一般的情形,限于篇幅在此不再贅述.

5 例子

下面給出兩個(gè)與負(fù)二項(xiàng)分布密切相關(guān)的例子.

例1設(shè)k,r為正整數(shù),k

只需求X和Y的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù).

q=1-p;n=r-k+m,r-k+m+1,…;m=k,k+1,….

特別地,取k=1,r=2,則有

P(X=m,Y=n)=p2qn-2,

q=1-p;n=m+1,m+2,…,m=1,2,….

X的概率質(zhì)量函數(shù)為:

即X～G(p).Y的概率質(zhì)量函數(shù)為:

即Y～NB(2,p).

這就是文獻(xiàn)[4]中的例3.3.1.

例2一個(gè)中等規(guī)模的運(yùn)輸公司,管理層在考慮雇員的來(lái)年投保問(wèn)題時(shí)需要知道來(lái)年發(fā)生醫(yī)療索賠的人數(shù)超過(guò)4例的概率[1].

則所求概率為:

[1]BeanMA. 概率論及其在投資、保險(xiǎn)、工程中的應(yīng)用[M].英文版. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2003.

[2] 蔣仁言, 左明健. 可靠性模型與應(yīng)用[M]. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1999.

[3] 《數(shù)學(xué)百科全書》編譯委員會(huì). 數(shù)學(xué)百科全書 [M]. 第3卷. 北京:科學(xué)出版社,1997.

[4] 馬統(tǒng)一, 康殿統(tǒng), 李 勁. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

A study on structures of two kind negative binomial distributions

KANG Diantong

(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu 734000)

Two different definitions of the negative binomial distributions were introduced and a structural theorem was presented for the negative binomial random variables. The infinite divisibility of two types of the negative binomial random variables was investigated. Also several simple calculating methods for calculating the expectations, variances and moment generating functions of these random variables were given. And two illustrative calculating examples were shown as well.

negative binomial distribution; Gamma distribution; moment generating function; Poisson process; mixture; infinite divisibility; factorization method

2014-09-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41401653).

1000-1190(2015)03-0339-05

O211

A

*E-mail: kdt20042@126.com.