高等數(shù)學教學有效途徑探析

馬 瑩

（安徽理工大學 理學院，安徽 淮南 232001）

對于理工科院校，高等數(shù)學總是被列為最重要的基礎理論課程之一，因為高等數(shù)學是學好其他工科課程（如大學物理、理論力學、材料力學、電工基礎等）的基礎，也是學好專業(yè)課的工具.因此為了提高高等數(shù)學的教學質量，對高等數(shù)學的課程特點及規(guī)律性進行研究，特對高等數(shù)學教學提出以下幾點建議.

1 高等數(shù)學教學注應注重類比教學

類比思想是初中數(shù)學的基本思想方法，也是大學數(shù)學學習的重要思想.所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式.在教學中恰當?shù)剡M行類比，將會起到事半功倍的效果.只要教師在備課的過程中真正走進教材，再從教材中走出來，就不難發(fā)現(xiàn)有許許多多可以讓學生進行歸納類比的知識，引導學生找出這些知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，這樣學生在接受新知識的同時，又復習了以前的知識，既有助于學生創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)，又激發(fā)了學生主動學習數(shù)學的積極性.

教學中,教師采用類比方法使難學的新知識轉化為學生已掌握的舊知識.教師應從學生已學過的概念、性質或法則談起或向學生進行提問復習,作為引入新知識的途徑.例如，講定積分概念時,可通過學生熟悉的中學知識入手.引入恒力做功W=F×S，可通過啟發(fā)式提問，讓學生對以往知識的回顧，同時引出一個新問題，如果F是一個變力，那又該怎樣計算？從而引出微元法的思想，即分割、近似、求和、取極限，達到介紹定積分的目的.再如，為了引出二元函數(shù)全微分的定義，可以先回顧一元函數(shù)的全微分，首先從一個引例談起，一邊長為x的正方形金屬片，通過加熱，邊長增加△x，求面積增加值 △S.顯然面積增量 △S=2x△s+(△x)2，可記為△S=A△x+o(△x)，則可引出微分定義：對于一元函數(shù)y=f(x)，若其增量 △y=A△x+o(△x)，其中 A與 △x無關，則稱y=f(x)在x處可微，且稱dy=Adx為y=f(x)在x處全微分.類似，對于二元函數(shù)全微分也可通過引例來介紹，一個長為x，寬為y的金屬片，經(jīng)加熱膨脹，長增加△x，寬增加△y，則面積增加△A=y△x+x△y+△x△y.由此可引出二元函數(shù)微分定義：對于二元函數(shù)z=f(x,y)，若其增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示為 △z=A△x+B△y+o(ρ)，其中 ρ=，其中A和 B與 △x，△y無關.通過這種與以前所學的一元函數(shù)類比法的學習，可以對二元函數(shù)的連續(xù)性及可微性進一步研究.

2 高等數(shù)學教學應具有直觀性，加深概念的理解

直觀性教學法是在教學過程中運用各種手段(如猜想、畫圖、類比、動畫等)，在概念、定理、證明、解題中突出其直觀性，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺.直觀性是以物體的表象為主體進入思維活動的.徐利治先生說過：“在數(shù)學中，我寧愿把“直觀”一詞解釋為借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想所產生的對事物直接的感知或認識.例如，借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數(shù)量關系的直接感知，即可稱為“幾何直觀”.有作為的數(shù)學工作者與教師都應重視數(shù)學直觀力的培養(yǎng)與訓練.”因此,在高等數(shù)學教學中充分利用語言直觀、圖像直觀來達到降低學生學習本課程的難度，仍是較有實效的辦法.

高等數(shù)學的學習要注重直覺思維的培養(yǎng)，一是突出微積分中重要概念產生的實際背景，如它的物理和幾何背景.例如，對導數(shù)的定義，引入了加速度和切線的幾何意義；對積分的研究，引入了曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程；對二重積分的定義引入曲頂柱體的體積等；對三重積分的定義引入了空間立體物體的質量.二是應用圖像直觀來達到降低學生學習難度,仍是較有實效的辦法.如對數(shù)列極限概念的教學，通常是先給出具體例子如，通過圖像演示可知，隨著無限增大，數(shù)列極限趨近于一確定的值1，使學生首先從感性上認識極限的特征.再如，對于定積分的引入，首先介紹曲邊梯形的面積，采用分割、近似、求和、取極限一系列運算，得出曲邊梯形的面積.而這如果借助多媒體，通過圖像演示，可以看出劃分越細，面積越精確，微元法思想就很容易理解.

3 高等數(shù)學教學中滲透數(shù)學史

在課堂教學過程中適當?shù)丶尤霐?shù)學家的生平和業(yè)績的介紹，這樣不僅能在有限的時間里完成教學任務還可以起到提升學生的學習興趣，對課堂教學起到了畫龍點睛的作用.

導數(shù)的概念是學生們第一次接觸到微分學的基本概念，也是高等數(shù)學中重要的概念，此處可以加入微積分創(chuàng)立的歷史，以便于學生對概念以及一些基本符號的理解.例如:微積分的創(chuàng)立主要是為了處理17世紀科技領域歸納的課題，主要分三類:研究光線入射透鏡的入射角，求速度，“業(yè)余數(shù)學家之王“費馬在研究曲線的切線和函數(shù)的極大極小問題.微積分經(jīng)過差不多兩個世紀的時間和許多先驅者的工作，最終才由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立.牛頓的微積分思想體現(xiàn)在他的三部著作中：《運用無窮多項方程的微分學》、《流數(shù)法和無窮級數(shù)》和《曲線求積術》，而萊布尼茨的代表作為：《數(shù)學筆記》和《新方法》.在寫作時間上，牛頓略先于萊布尼茨，而在發(fā)表時間上，萊布尼茨又先于牛頓.關于兩人誰先發(fā)現(xiàn)微積分這一理論，曾經(jīng)在牛頓和萊布尼茨的故鄉(xiāng)英國和歐洲大陸之間引發(fā)一場爭論，爭論長達一個世紀之久.最終決定，二人共同分享微積分的光榮.而對于積分符號也曾經(jīng)引起兩派數(shù)學家的爭執(zhí)，最后數(shù)學界普遍采用了萊布尼茲的符號，因為他的符號體系更適合表示高階導數(shù)和高階微分，并且可以由正整數(shù)階推廣到負數(shù)階和分數(shù)階，由此導致了運算微積分的發(fā)展.這里滲透數(shù)學史知識，可以激發(fā)學生對進一步學習微積分學的興趣，有助于學生對微分符號的理解使用，也能使學生理解數(shù)學來源于應用的道理

4 教學應加強高等數(shù)學的實用性

注重運用高等數(shù)學的基本思想和基本方法分析問題和解決問題，培養(yǎng)學生應用高等數(shù)學的知識處理實際問題的能力.學以致用是教學的最終目的.在運用高等數(shù)學解決實際問題,主要完成兩步工作:一是建模,二是計算.一般說來,建立數(shù)學模型的過程可以分為表述、求解、解釋、驗證這幾個階段,并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象對數(shù)學模型再從數(shù)學模型回到現(xiàn)實對象的循環(huán).數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁,把數(shù)學建模的思想融入到教學中,能夠激發(fā)學生學習的濃厚興趣,能夠提高學生數(shù)學應用能力、適應能力和自信心及綜合素質,也是實現(xiàn)新時代數(shù)學教學目標的有效途徑.

在教學中,有意識地聯(lián)系一些學生可以認識的實際,教會他們從中抽出數(shù)學模型的方法,體會用數(shù)學工具解決實際問題是完全必要的,也是可行的.如:用導數(shù)這一工具可以解決變化率、極值等問題；用二重積分這一工具可以求出平面薄片的重心、轉動慣量、平面薄片對質點的引力等；用微分方程可以解決本金的計算、人口理論的數(shù)學模型和放射性同位素的衰變規(guī)律等等.由此可見，高等數(shù)學是一種普遍適用的數(shù)學工具.

總之，高等數(shù)學學科自身的特點決定了要學好它就必須對它產生興趣.為此，需要教師在教學過程的各個環(huán)節(jié)中，根據(jù)學生的具體情況和心理特點，因材施教，采用多樣化的教學方法和技巧，有計劃、有目的地培養(yǎng)和激發(fā)學生的學習興趣，最終達到較好的教學效果.

〔1〕陳宜治.提高高等數(shù)學教學質量的有效途徑[J].工科數(shù)學,2000,16(1)：76-77.

〔2〕高等數(shù)學概念教學的一些思考[J].數(shù)學教育學報,2003,12(2)：83-86.