非線性囚禁離子振動模式互關(guān)聯(lián)函數(shù)的研究

王中結(jié)，方 旭

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖241000)

引 言

近年來，激光束操控囚禁離子的研究已成為非?；钴S的研究領(lǐng)域。囚禁離子系統(tǒng)不僅在工程的量子態(tài)方面是非常重要的［1-2］，而且在諸如量子隱形傳態(tài)和量子計算中有重要的應(yīng)用價值［3-5］。在Lamb-Dicke極限下，囚禁離子與經(jīng)典駐波光場的相互作用通常是由類似于腔量子電動力學(xué)的Jaynes-Cummings(J-C)模型描述。在J-C模型基礎(chǔ)上，為制備各種非經(jīng)典狀態(tài)，人們提出了許多方案，例如Fock態(tài)的制備［6］、糾纏態(tài)的制備［7］、壓縮相干態(tài)的制備［8］、糾纏態(tài)的制備［9］、激發(fā)薛定諤貓態(tài)的制備［10］、簇態(tài)的制備［11］等。但是，在遠(yuǎn)離 Lamb-Dicke極限下，囚禁離子與經(jīng)典駐波光場的相互作用必須由非線性J-C模型來描述。近來，在非線性J-C模型基礎(chǔ)上，人們提出了制備非線性相干態(tài)的方法［12］，并對二能級囚禁離子的量子動力學(xué)進(jìn)行了研究［13-15］，如參考文獻(xiàn)［13］中，作者研究了二能級囚禁離子的非線性J-C模型，分析了非線性對離子布居數(shù)的影響。然而，在關(guān)于囚禁離子的非線性J-C模型的研究中，人們大多集中考慮二能級囚禁離子與駐波激光束的相互作用。

本文中研究了單個三能級2維囚禁離子與經(jīng)典駐波激光場的相互作用，得到了這個非線性J-C模型的嚴(yán)格解，數(shù)值分析了2維囚禁離子的振動運動之間的交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)。結(jié)果表明，非線性參量對交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)有明顯地影響。

1 模型及其演化算符

考慮囚禁在一個2維簡諧勢阱中單個三能級離子，與兩束分別沿x和y方向的駐波激光場相互作用，一束激光場的頻率為 ωlaser，1，另一束頻率為ωlaser，2。囚禁離子由兩個基態(tài)和一個激發(fā)態(tài)組成，基態(tài)和〉的能量分別為 ω1和 ω2，激發(fā)態(tài)的能量為 ω3，如圖1所示。

Fig.1 Level scheme of the trapped ion interacting with two standing wave laser fields

隨著應(yīng)用的旋轉(zhuǎn)波近似，系統(tǒng)的哈密頓量為(令=1):

式中，ai(a+i)(i=1，2)表示囚禁離子沿x和y方向的質(zhì)心振動運動的湮滅(產(chǎn)生)算符，νi是囚禁頻率，φi(i=1，2)是駐波激光場的相位(沿x和y方向)，gi是耦合常數(shù)，ηi=ki是Lamb-Dick參量，m是囚禁離子的質(zhì)量，ki是駐波激光場的波數(shù)。

在下面的計算中，假定 g1=g2=g，φ1=φ2=φ。在相互作用圖像中，相互作用哈密頓可表示為:

式中，Δ1= ω3- ω1- ωlaser，1，Δ1= ω3- ω2- ωlaser，2。為計算方便起見，令 Δ1=ν1，Δ2=ν2。應(yīng)用下列公式:

其中，

容易證明Aj和A+j算符滿足下列的對易關(guān)系:

式中，δij=1(i=j)，δij=0(i≠j)。應(yīng)當(dāng)指出哈密頓量(4)式描述了一個三能級2維囚禁離子與兩束經(jīng)典駐波激光場相互作用的非線性模型，并對任意值的Lamb-Dicke參量η1和η2都有效。

在原子態(tài)表象中，推導(dǎo)由哈密頓(4)式確定的演化算符UI=e-iHit的矩陣元，結(jié)果如下:

2 二模交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)

在這一節(jié)中，研究囚禁離子的沿x和y方向的振動運動之間的交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)。歸一化的二模交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)定義如下:

如果Ga1a2＜1，就說模式a1和模式a2是反關(guān)聯(lián)的，如果 Ga1a2＞1，就說兩者是關(guān)聯(lián)的，即囚禁離子的振動運動具有非經(jīng)典的性質(zhì)。為了數(shù)值計算交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)，首先假定囚禁離子初始處在激發(fā)態(tài)3〉，沿x和y方向的質(zhì)心振動運動分別處在相干態(tài)

式中，F(xiàn)n為算符a1和a2的本征值。應(yīng)用(7)式，容易計算囚禁離子任意時刻t的態(tài)矢為:

應(yīng)用(10)式，可以計算(8)式各力學(xué)量的期望值為:

Fig.2 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with initial average quantum number α 2=1．0，φ = π/2 and various parameters η1，η2

將(11)式代入(8)式，可得交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)Ga1a2隨時間的變化。定義無量綱時間τ=gt，畫出Ga1a2在不同的Lamb-Dicke參量條件下隨無量綱時間的變化曲線，如圖2所示。從圖2中可以看出，在初始平均量子數(shù)=1．0情形下，交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)Ga1a2在某些時段對于任意的Lamb-Dicke參量都小于1，這表明模式a1和a2之間存在反關(guān)聯(lián)。這種反關(guān)聯(lián)效應(yīng)容易受Lamb-Dicke參量η1和η2的影響。隨著η1和η2的增大，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)得到增強。然而，進(jìn)一步增大η1和η2，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)反而減弱。這說明Lamb-Dicke參量對反關(guān)聯(lián)效應(yīng)的影響是復(fù)雜的。另一方面，交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)Ga1a2在某些時段對于任意的Lamb-Dicke參量都大于1，這表明模式a1和a2之間存在關(guān)聯(lián)，即存在非經(jīng)典效應(yīng)。Lamb-Dicke參量對這種關(guān)聯(lián)效應(yīng)有明顯的影響。圖2表明，Lamb-Dicke參量η1和η2越大，兩模間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)越強。作者進(jìn)一步研究了初始平均量子數(shù)對關(guān)聯(lián)效應(yīng)的影響，如圖3和圖4所示。發(fā)現(xiàn)隨著初始平均量子數(shù)的增大，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)將減弱直至消失。

Fig.3 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with initial average quantum number =2．0，φ = π/2 and various parameters η1，η2

Fig.4 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with the initial average quantum number =5．0，φ = π/2 and the various parameters η1，η2

3 討論

下面提出一個可能的實驗構(gòu)型［16］。將一個40Ca+置于一個強射頻的Pauli勢阱中，離子在勢阱中沿 x和 y方向的振蕩頻率取為 ν1=ν2≈70.3MHz，并由沿x和y方向的駐波激光場驅(qū)動。離子采用受激Raman激光冷卻技術(shù)。離子的兩個能級基態(tài)2S1/2和亞穩(wěn)態(tài)2D5/2(壽命約1s)分別記為和，另一個能級2P1/2記為。這里，給出一個測量離子振動模式的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)的方法。用一束與x軸成45°的方向傳輸?shù)慕?jīng)典行波光場將囚禁離子從基態(tài)激發(fā)到高激發(fā)態(tài)，系統(tǒng)哈密頓為:

可以看出，離子從基態(tài)躍遷到高激發(fā)態(tài)的幾率的時間導(dǎo)數(shù)正比于〈a+1a+2a1a2〉，即正比于二模交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)［17］。至此，利用熒光光譜技術(shù)可以測量離子振動模式的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)，參見參考文獻(xiàn)［18］。

4 結(jié)論

研究了一個2維三能級囚禁離子與兩束經(jīng)典駐波激光場的相互作用的非線性J-C模型。求出了這個非線性J-C模型的嚴(yán)格解。分析了囚禁離子的兩個振動模式之間的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)。數(shù)值計算結(jié)果表明:Lamb-Dicke參量(表征非線性效應(yīng)，這個參量越大，非線性越強)對交叉關(guān)聯(lián)有明顯地影響;當(dāng)初始平均量子數(shù)較小時，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨Lamb-Dicke參量的增大先是也增大然后減弱，但是關(guān)聯(lián)效應(yīng)卻隨Lamb-Dicke參量的增大一直增強;隨著初始平均量子數(shù)的增大，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)會減弱直至消失。

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