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    反對(duì)角算子矩陣及其平方的單值延拓性質(zhì)

    2015-03-18 14:00:49崔苗苗,曹小紅
    關(guān)鍵詞:連通分支單值斷言

    反對(duì)角算子矩陣及其平方的單值延拓性質(zhì)

    崔苗苗,曹小紅
    (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安710119)

    本文主要證明了,復(fù)無限維可分Hilbert空間上的反對(duì)角算子矩陣及其平方具有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)的等價(jià)性.

    單值延拓性質(zhì);緊攝動(dòng);反對(duì)角算子矩陣

    1預(yù)備知識(shí)

    在本文中,H表示一個(gè)復(fù)無限維可分Hilbert空間.B(H)表示H上有界線性算子的全體,K(H)表示H上所有緊算子構(gòu)成的雙邊理想.對(duì)T∈B(H),令N(T)和R(T)分別表示算子T的零空間和值域.稱算子T為半Fredholm算子,若R(T)閉且n(T)或n(T?)有限,其中n(T)=dimN(T),n(T?)=dimN(T?)且T?表示T的共軛算子.此時(shí)T的指標(biāo)記為ind(T)=n(T)-n(T?).Wolf譜σSF(T)定義為稱ρSF(T)=CσSF(T)為算子T的半Fredholm預(yù)解集.記逼近預(yù)解集ρa(bǔ)(T)={λ∈ρSF(T):n(T-λI)=0},ρSF+(T)={λ∈ρSF(T):n(T-λI)<∞}.若T是半Fredholm算子,當(dāng)-∞<ind(T)<+∞,則稱T是Fredholm算子;當(dāng)ind(T)=0時(shí)則稱T是Weyl算子.算子T的升標(biāo)asc(T)為滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小的非負(fù)整數(shù),若這樣的整數(shù)不存在,則記asc(T)=∞;算子T的降標(biāo)des(T)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非負(fù)整數(shù),同樣當(dāng)這樣的整數(shù)不存在,則記des(T)=∞.當(dāng)T為有有限升標(biāo)和有限降標(biāo)的Fredholm算子時(shí),稱T為Browder算子.本質(zhì)譜σe(T),Weyl譜σw(T)分別定義為

    2單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)

    在本文中,將單值延拓性質(zhì)簡(jiǎn)寫為SVEP,T有單值延拓性質(zhì)記作T∈(SVEP).算子的單值延拓性質(zhì)最早是N.Dunford在研究譜算子類的時(shí)候提出來的(參見文獻(xiàn)[1-3]等),該性質(zhì)在Fredholm理論和局部譜理論中都有很重要的地位.近年來,許多作者研究了單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)[4-5].事實(shí)上很多重要的算子類的單值延拓性質(zhì)受到了廣大學(xué)者的關(guān)注,例如亞正規(guī)算子,可分解的算子[6-8]及加權(quán)移位算子[9]等等.與此同時(shí),某些具有特殊性質(zhì)的算子也滿足單質(zhì)延拓性質(zhì).例如,T滿足intσp(T)=?,或滿足Bishop's(β)性質(zhì),或滿足(δ)性質(zhì)[7]時(shí)都滿足單質(zhì)延拓性質(zhì),其中σp(T)表示算子T的點(diǎn)譜.

    三角算子矩陣的單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)在近幾年得到了學(xué)者們的關(guān)注.上三角算子矩陣的單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)已經(jīng)取得了較好的成果[10-11],而下三角算子矩陣的單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)的相關(guān)研究工作至今仍未得到較大的進(jìn)展.本文研究2×2反對(duì)角算子矩陣的單值延拓性質(zhì).首先有幾個(gè)引理.引理2.1設(shè)則以下敘述等價(jià).

    (1)AB有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng);

    (2)BA有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng);

    (3)T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).

    證明(1)?(2).由AB有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)知intσSF(AB)=?且ρSF(AB)連通(文獻(xiàn)[4],定理1.3).

    1)intσSF(BA)=?.若不然,則存在鄰域Bδ(μ0)?σSF(BA).由于intσSF(AB)=?,于是存在μ1∈Bδ(μ0)使得AB-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF(AB)連通,則AB-μ1I為Browder算子,故存在μ2/=0且μ2∈Bδ(μ0)使得AB-μ2I可逆,因此BA-μ2I可逆,矛盾.

    2)ρSF(BA)連通.斷言:ρSF(BA)=ρ(BA)∪σ0(BA).只需證ρSF(BA)?ρ(BA)∪σ0(BA).設(shè)μ0∈ρSF(BA),若μ0/∈ρ(BA),則μ0∈ρSF(BA)∩σ(BA),故存在鄰域Bδ(μ0)且當(dāng)μ∈Bδ(μ0)時(shí)BA-μI為半Fredholm算子.由于intσSF(AB)=?,于是存在μ1∈Bδ(μ0)使得AB-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF(AB)連通,則AB-μ1I為Browder算子,故存在μ2/=0且μ2∈Bδ(μ0)使得AB-μ2I可逆.我們知道ρ(AB)和ρ(BA)至多相差零點(diǎn),于是BA-μ2I可逆,因此μ0∈?σ(BA).由BA-μ0I為半Fredholm算子知BA-μ0I有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo),結(jié)合μ0∈?σ(BA),則BA-μ0I為Browder算子(見文獻(xiàn)[12],推論4.9).

    因?yàn)棣裇F(AB)連通,所以ρSF(AB)=ρ(AB)∪E,其中E?C為可數(shù)集.我們知道ρ(AB)與ρ(BA)至多相差一個(gè)點(diǎn),于是由ρSF(AB)的連通性知ρSF(BA)連通.

    (2)?(3).由BA有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)知intσSF(BA)=?且ρSF(BA)連通(見文獻(xiàn)[4],定理1.3).

    1)intσSF(T2)=?.若不然,則存在鄰域Bδ(μ0)?σSF(T2).由于intσSF(BA)=?,于是存在μ1∈Bδ(μ0)使得BA-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF(BA)連通,則BA-μ1I為Browder算子,故存在μ2/=0且μ2∈Bδ(μ0)使得BA-μ2I可逆.我們知道ρ(AB)和ρ(BA)至多相差一個(gè)零點(diǎn),則AB-μ2I可逆,因此T2-μ2I可逆(文獻(xiàn)[13],(3.9)),矛盾.

    2)ρSF(T2)連通.因?yàn)锽A有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),所以同(1)?(2)可證得AB有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),則intσSF(AB)=?且ρSF(AB)連通(文獻(xiàn)[4],定理1.3).由于AB∈(SVEP)且BA∈(SVEP),于是對(duì)任意的μ∈C,ind(AB-μI)≤0且ind(BA-μI)≤0,故ρSF(AB)= ρSF+(AB),ρSF(BA)=ρSF+(BA)(文獻(xiàn)[5],推論11).又由ρSF(AB)和ρSF(BA)連通,則ρSF(AB)=ρSF+(AB)=ρ(AB)∪E1,ρSF(BA)=ρSF+(BA)=ρ(BA)∪E2,其中E1?C,E2?C均為可數(shù)集.我們知道ρ(AB)和ρ(BA)至多相差一個(gè)點(diǎn),于是由ρSF(AB)和ρSF(BA)的連通性知ρSF(T2)=ρSF(AB)∩ρSF(BA)連通.

    (3)?(1).由于T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),于是對(duì)任意的緊算子K,intσSF(T2)= intσSF(T2+K)=?且ρSF(T2)=ρSF(T2+K)連通(文獻(xiàn)[4],定理1.3).

    1)intσSF(AB)=?.若不然,則存在Bδ(μ0)?σSF(AB).由于intσSF(T2)=?,于是存在μ1∈Bδ(μ0)使得T2-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF(T2)連通,則T2-μ1I為Browder算子,故存在μ2/=0且μ2∈Bδ(μ0)使得T2-μ2I可逆,因此AB-μ2I可逆(文獻(xiàn)[13],(3.9)),矛盾.

    2)ρSF(AB)連通.若ρSF(AB)不連通,則存在ρSF(AB)的有界連通分支?.令Γ=??.由Γ?σSF(AB),則存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ(N)=σSF(N)=Γ(文獻(xiàn)[14],引理2.10).對(duì)正規(guī)算子N,令Φ為C[σ(N)σ0(N)]的所有有界連通分支的并,由文獻(xiàn)[15,定理3.1]知存在緊算子使得σ(N+)=σ(N)∪Φ=,于

    其中K′=為緊算子.由于intσSF(T2+K′)=?,于是存在μ∈?使得T2+K′-μI為半Fredholm算子.又由ρSF(T2+K′)連通,則存在μ0/=0且μ0∈?使得T2+K′-μ0I可逆,故AB+K0-μ0I可逆(文獻(xiàn)[13],(3.9)),因此N+2-μ0I為下有界算子.因?yàn)镹+2-μ0I為Weyl算子,則N+2-μ0I可逆,矛盾.

    (1)若T-λI為上(下)半Fredholm算子,則AB-λ2I和BA-λ2I均為上(下)半Fredholm算子且ind(AB-λ2I)=ind(BA-λ2I)=ind(T-λI);

    (2)σSF(T)=

    斷言2:n(AB-λ2I)=n(T-λI).設(shè)x1,x2,···,xn為N(AB-λ2I)的一組線性無關(guān)向量,由斷言1可知為N(T-λI)中一組線性無關(guān)向量,即n(AB-λ2I)≤n(T-λI).

    斷言3:R(AB-λ2I)閉.設(shè)(AB-λ2I)xn→y(n→∞),則由T-λI為上半Fredholm算子知R(T-λI)閉,因而存在易求得y=(AB-λ2.因此R(AB-λ2I)閉.

    同理可證:(I)BA-λ2I為上半Fredholm算子且n(BA-λ2I)=n(T-λI),d(AB-λ2I)= d(BA-λ2I)=d(T-λI).綜上所述若T-λI為上半Fredholm算子,則AB-λ2I和BA-λ2I都為上半Fredholm算子且ind(AB-λ2I)=ind(BA-λ2I)=ind(T-λI);(II)若T-λI為下半Fredholm算子,則AB-λ2I,BA-λ2I為下半Fredholm算子且ind(AB-λ2I)=ind(BA-λ2I)=ind(T-λI).

    結(jié)合引理2.1和引理2.2不難得出本文中的主要定理.

    則有

    由于S∈(SVEP),于是f≡0,從而f1≡0,因此S1∈(SVEP).

    下證:1)intσSF(T)=?.若不然,則存在Bε(λ0)?σSF(T).令Γ=?Bε(λ0).由Γ?σSF(T),則存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ(N)=σSF(N)=Γ(文獻(xiàn)[14],引理2.10).對(duì)正規(guī)算子N,令Φ為C[σ(N)σ0(N)]的所有有界連通分支的并,由文獻(xiàn)[15,定理3.1]知存在緊算子K2使得σ(N+K2)=σ(N)∪Φ=?,于是??σ(N+

    其中K′=TK+KT+K2為緊算子.由于T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),于是由斷言1可知(N+)2∈(SVEP).又由σ(N)=Γ,則

    (I)當(dāng)λ0=0時(shí),任取0/=λ∈Bε(λ0),都有-λ/∈Γ;

    (II)當(dāng)λ0/=0時(shí),讓?duì)懦浞中】墒沟?/∈Bε(λ0),則對(duì)任意的λ/=0且λ∈Bε(λ0),有-λ/∈Γ.故存在λ1∈Bε(λ0)使得-λ1/∈Γ,因而N-λ1I,N+λ1I可逆,故(N+)2-I為Weyl算子.由于(N+)2∈(SVEP),于是(N+)2-λ21I為Browder算子(文獻(xiàn)[4],定理15),故N+-λ1I為Browder算子,因而存在λ2∈?使得N+K2-λ2I可逆,矛盾.

    2)ρSF(T2)連通.反證,若ρSF(T2)不連通,則存在ρSF(T2)的有界連通分支?.令Γ=??.由于Γ?σSF(T),于是存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ(N)=σSF(N)=Γ(文獻(xiàn)[14],引理2.10).對(duì)正規(guī)算子N,令Φ為C[σ(N)σ0(N)]的所有有界連通分支的并,由文獻(xiàn)[15,定理3.1]知存在緊算子K2使得σ(N+K2)=σ(N)∪Φ=?,

    其中K′=TK+KT+K2為緊算子.由于T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),于是T2+K′也有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),則intσSF(T2+K′)=?且(T2+K′)連通(文獻(xiàn)[4],定理1.3).任取λ0∈?,有λ0/∈σSF(T).結(jié)合引理2.2知T2+K′-I為半Fredholm算子,又由(T2+K′)連通,則T2+K′-I為Browder算子,因此T+K-λ0I為Browder算子,從而asc(N+-λ0I)<∞.因?yàn)镹+K2-λ0I為Weyl算子,故N+-λ0I為Browder算子.同1)知:矛盾.

    充分性.先證ρSF(T2)連通.由引理2.2知(T2)=(T)]2.設(shè)f(x)=x2,則ρSF(f(T))=(T2)=[ρSF(T)]2=f(T)).若ρSF(T2)不連通,則存在隔離子集A,B?C使得(T2)=A∪B,其中[A∩]∪∩B]=?.

    由ρSF(T2)=(T)]2知ρSF(T)=f-1(A∪B),其中f-1(A∪B)表示(A∪B)在映射f下的原像.由于

    再證intσSF(T2)=?.若不然,則存在Bδ(μ0)?σSF(T2).設(shè)μ0=,由引理2.2知λ0∈σSF(T).因?yàn)閕ntσSF(T)=?,則存在λn→λ0使得T-λnI可逆,于是T+λnI可逆且→(文獻(xiàn)[13],(3.10)和(4.3)),因此T2-可逆,這與μ0∈in(T2)矛盾.

    (1)T有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)時(shí)推不出A和B有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).例如,設(shè)

    (2)A和B有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)時(shí)推不出T有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).

    例如,設(shè)

    且令A(yù),B∈B(?2⊕?2),T∈B(?2⊕?2⊕?2⊕?2)分別定義為

    其中

    由上述可知:

    1)σ(A1B2)=D,故σ(T2)=σSF(T2)=D.因此T2沒有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)(文獻(xiàn)[4],定理1.3),由定理2.1知T沒有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).

    2)σ(A1A2)=σ(B1B2)={0,1},則σ(A)=σ(B)={0,1,-1},因此A和B有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)(文獻(xiàn)[4],定理1.3).

    (1)若A∈(SVEP),B為代數(shù)算子且AB=BA,則BA∈(SVEP).

    (2)若A有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),B為代數(shù)算子,則對(duì)任意滿足BK=KB的緊算子K,BA+K∈(SVEP).

    證明(1)對(duì)任意一個(gè)開集U?C,設(shè)f:U→H為解析函數(shù)且滿足(BA-λI)f(λ)= 0,下證f≡0.

    因?yàn)锽為代數(shù)算子,所以存在復(fù)數(shù)γ1,γ2,···,γk使得(B-γ1)(B-γ2)···(B-γk)=0,其中k為固定的正整數(shù).令pj(λ)=(λ-γ1)(λ-γ2)···(λ-γj),j=1,2,···,k.斷言:pj(B)f(λ)=0,j=1,2,···,k.

    由于(BA-λI)f(λ)=0,于是(B-γk)Af(λ)+(γkA-λ)f(λ)=0.又由AB=BA,則pk(B)Af(λ)+(γkA-λ)pk-1(B)f(λ)=0,故(γkA-λ)pk-1(B)f(λ)=0.因?yàn)锳∈(SVEP),因此pk-1(B)f(λ)=0.依此類推可證得pj(B)f(λ)=0,j=1,2,···,k,從而p1(B)f(λ)=(B-γ1)f(λ)=0,則(B-γ1)Af(λ)=0.由于(BA-λI)f(λ)=0,于是(B-γ1)Af(λ)+(γ1A-λ)f(λ)=0,故(γ1A-λ)f(λ)=0.又由A∈(SVEP),則f≡0.

    綜上所述:BA∈(SVEP).

    (2)若對(duì)任意滿足BK=KB的緊算子K,對(duì)任意一個(gè)開集U?C,設(shè)f:U→H為解析函數(shù)且滿足(BA+K-λI)f(λ)=0,下證f≡0.

    由于B為代數(shù)算子,于是存在復(fù)數(shù)γ1,γ2,···,γk使得(B-γ1)(B-γ2)···(B-γk)=0,其中k為固定的正整數(shù).令pj(λ)=(λ-γ1)(λ-γ2)···(λ-γj),j=1,2,···,k.斷言:pj(B)f(λ)=0,j=1,2,···,k.

    由(BA+K-λI)f(λ)=0可知(B-γk)Af(λ)+(γkA+K-λ)f(λ)=0,且由AB=BA可得pk(B)Af(λ)+(γkA+K-λ)pk-1(B)f(λ)=0,從而(γkA+K-λ)pk-1(B)f(λ)=0.因?yàn)锳有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),所以pk-1(B)f(λ)=0.依此類推可證得pj(B)f(λ)=0,j=1,2,···,k,從而p1(B)f(λ)=(B-γ1)f(λ)=0,則(B-γ1)Af(λ)=0.由于(BA+K-λI)f(λ)=0,于是(B-γ1)Af(λ)+(γ1A+K-λ)f(λ)=0,故(γ1A+K-λ)f(λ)=0.又由A有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng),則f≡0.

    由引理2.1和定理2.1,自然提出問題:對(duì)反對(duì)角算子矩陣,在什么條件下A和B滿足單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)T滿足單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)?目前對(duì)該問題,我們還沒有找到答案.

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    (責(zé)任編輯王善平)

    Single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square

    CUI Miao-miao,CAO Xiao-hong
    (Department of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi'an710119,China)

    In this paper,we mainly proved the equivalence of the perturbation of single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square on an infinite dimensional separable Hilbert space.

    single-value extension property;compact perturbations;anti-diagonal operator matrices

    O177.2

    A

    10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.011

    1000-5641(2015)01-0095-08

    2014-01

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11471200,11371012);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金(GK201301007)

    崔苗苗,女,在讀碩士,研究方向?yàn)樗阕永碚?E-mail address:cuiye@snnu.edu.cn.

    曹小紅,女,博士,教授,研究方向?yàn)樗阕永碚?E-mail address:xiaohongcao@snnu.edu.cn.

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