拋物線內(nèi)接直角三角形一個(gè)性質(zhì)的研究及其應(yīng)用

☉湖北省武漢第三寄宿中學(xué)桂文通 袁俊峰

拋物線內(nèi)接直角三角形一個(gè)性質(zhì)的研究及其應(yīng)用

☉湖北省武漢第三寄宿中學(xué)桂文通 袁俊峰

·武漢市桂文通名師工作室·

若一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，我們稱這樣的三角形為拋物線的內(nèi)接三角形.本文就拋物線內(nèi)接直角三角形的一個(gè)性質(zhì)做一點(diǎn)研究和應(yīng)用.

一、拋物線y=x2的內(nèi)接直角三角形

命題1：如圖1，已知直線AB交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°，則直線AB過定點(diǎn).

這個(gè)命題的證明可以從三種不同的角度進(jìn)行思考.

方法1：運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

設(shè)點(diǎn)A（m，m2）、B（n，n2），直線AB的解析式為：y=kx+ b.

圖1

聯(lián)立y=kx+b和y=x2，

消元得x2-kx-b=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得m+n=k，mn=-b.

作BF⊥x軸，垂足為F；作AE⊥x軸，垂足為E.

OC·（m-n）.化簡得OC=-mn.

由方法1得mn=-1.

則OC=1為固定值.

故直線AB恒過其與y軸的交點(diǎn)C（0，1）.

由此可知：不論k為何值，直線AB恒過點(diǎn)（0，1）.方法2：運(yùn)用面積法.

設(shè)點(diǎn)A（m，m2）、B（n，n2），直線AB與y軸的交點(diǎn)為C.作BF⊥x軸，垂足為F；作AE⊥x軸，垂足為E.

根據(jù)S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△BOF=S△AOC+S△BOC，可得

設(shè)點(diǎn)A（m，m2）、B（n，n2）.

OA2=m2+m4，OB2=n2+n4，AB2=（m-n）2+（m2-n2）2.

由OA2+OB2=AB2，得：（m2+m4）+（n2+n4）=（m-n）2+（m2-n2）2.化簡得mn=-1.

從以上證明可知：若拋物線y=x2的內(nèi)接直角三角形的頂點(diǎn)為（0，0），則斜邊AB一定過定點(diǎn)（0，1）.

現(xiàn)在我們思考命題1的逆命題.

命題2：如圖2，直線AB：y= kx+1交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn)，拋物線上總存在一點(diǎn)D，使∠ADB=90°.

證明：設(shè)點(diǎn)A（m，m2）、B（n，n2）、D（t，t2），過點(diǎn)D作x軸的平行線EF，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線，與EF交于點(diǎn)E、F.

圖2

則AE·BF=DF·DE.

即（m2-t2）（n2-t2）=（t-n）（m-t）.

化簡得mn+（m+n）t+t2+1=0.

由命題1知m+n=k，mn=-1.

則kt+t2=0.

由點(diǎn)D的坐標(biāo)與k無關(guān)，得t=0.即D（0，0）.

比較命題1、2，我們可以得到結(jié)論1.

結(jié)論1：對(duì)于拋物線y=x2的內(nèi)接直角三角形，若斜邊過定點(diǎn)（0，1），則直角頂點(diǎn)一定過定點(diǎn)（0，0）.反之亦然！

二、拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形

根據(jù)命題1、2的研究很容易得到結(jié)論2.

結(jié)論2：對(duì)于拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形，若斜邊過定點(diǎn)，則直角頂點(diǎn)一定過定點(diǎn)（0，0）.反之亦然！

此時(shí)，我們自然思考如下兩個(gè)問題.

（1）對(duì)于拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形，若直角頂點(diǎn)任意給定，那么它的斜邊是否一定過定點(diǎn)？

（2）對(duì)于拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形，若斜邊過一定點(diǎn)，那么直角頂點(diǎn)是否一定過一定點(diǎn)？

下面給出一般性探討.

如圖2，設(shè)直線AB過定點(diǎn)（p，q），則其解析式為y-q= k（x-p），與拋物線y=ax2聯(lián)立，消元得ax2-kx+kp-q=0.

設(shè)點(diǎn)A（m，am2）、B（n，an2）、D（t，at2）.過點(diǎn)D作x軸的平行線，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線，與直線EF交于點(diǎn)E、F.

化簡得mn+（m+n）t+t2+

則（ap+at）k=-1+aq-a2t（※）.

（1）已知p、q，對(duì)于任意k，存在t，使（※）式成立，則（ap+at）k=0，且-1+aq-a2t2=0，解得t=-p，q=ap2

（2）已知t，對(duì)于任意k，存在p、q，使（※）式成立，則（ap+at）k=0，且-1+aq-a2t2=0，解得p=-t，q=at2+

結(jié)論3：對(duì)于拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形，斜邊只有經(jīng)過定點(diǎn)直角頂點(diǎn)才一定過定點(diǎn)（-p， ap2）.

結(jié)論4：對(duì)于拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形，若直角頂點(diǎn)任意給定（t，at2），則它的斜邊一定過定點(diǎn)

對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c的內(nèi)接直角三角形問題，只需借助拋物線的平移，轉(zhuǎn)化為拋物線y=ax2的內(nèi)接直角三角形問題即可解決.

三、性質(zhì)的應(yīng)用

根據(jù)上面的結(jié)論，我們很易解決幾道中考試題.

應(yīng)用1：（2011年株洲市中考）孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在研究拋物線的性質(zhì)時(shí)，如圖3，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

圖3

運(yùn)用結(jié)論3，易知AB過定點(diǎn)（0，-2）.

應(yīng)用2：（2013年武漢市中考）如圖4，點(diǎn)P是直線l：y=-2x-2上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn).

（1）和（2）略；

（3）設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析與解：△AOB的外心在邊AB上，即∠AOB=90°，由結(jié)論1知D（0，1），再根據(jù)∠BPC=∠OCP，得到CD=PD，可求得點(diǎn)P

應(yīng)用3：（2014年武漢市中考）如圖5，已知直線AB： y=kx+2k+4與拋物線交于A、B兩點(diǎn).

圖5

圖4

（1）直線AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)C，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）在拋物線上總存在點(diǎn)D，使∠ADB=90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離.

（2）根據(jù)結(jié)論2，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，2）.當(dāng)CD⊥ AB時(shí)，點(diǎn)D到直線AB的距離最大，為

分析與解：直接運(yùn)用結(jié)論4，可得點(diǎn)D（2，5）.

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2.王興富.立足學(xué)情教情追求正確導(dǎo)向——一道中考?jí)狠S題的命制歷程及感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（12）.Z