相似線性變換及其性質(zhì)

盧家寬，梁美花，王鳳娟，吳開迅

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

線性代數(shù)是研究有限維線性空間的理論與方法的一門學(xué)科，是高等院校里理工農(nóng)醫(yī)等專業(yè)最為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，也是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，是考研必考科目之一。瑞典數(shù)學(xué)家戈丁在其名著《數(shù)學(xué)概觀》中說:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多?！保?］

線性空間與線性變換是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象，而矩陣是線性代數(shù)的重要工具和核心思想。線性代數(shù)的許多問題都可以用矩陣的語言來描述，并轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算，也只有如此，才能達(dá)到最為有效的處理。例如文獻(xiàn)［2－3］對(duì)此都有體現(xiàn)。

設(shè)矩陣A，B∈Mn(K)，如果存在可逆矩陣P∈Mn(K)，使得B=P－1AP則稱矩陣B與A相似。記作A～B.矩陣的相似關(guān)系是矩陣間的一種重要關(guān)系，在矩陣?yán)碚摵推渌麑W(xué)科有許多應(yīng)用，許多學(xué)者對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行了研究。例如，R.Bhatia［4］研究了兩個(gè)n階方陣A，B的乘積AB和BA的許多相同的重要性質(zhì)，比如它們的特征值、特征多項(xiàng)式以及秩和行列式相同。我們自然地考慮AB和BA是否相似的問題，事實(shí)上，已經(jīng)有人討論了該問題，但未給出完整的解答［5］。李亦芳等［6］討論了相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用，而丁春榮等［7－8］研究了相似關(guān)系在計(jì)算機(jī)理論中的應(yīng)用。

由線性代數(shù)的理論，我們知道:取定線性空間的一個(gè)基，那么線性變換在該基之下對(duì)應(yīng)唯一的矩陣。受此啟發(fā)，本文定義線性變換的相似關(guān)系:

定義1.1 設(shè)σ，τ∈HomK(V)，如果存在可逆的 ρ∈HomK(V)，使得τ=ρ－1σρ，則稱 τ與 σ 相似，記作σ ～τ.

本文首先給出相似線性變換的一些基本性質(zhì)，然后討論線性變換的特征定理和相似不變量。

本文使用到主要符號(hào)約定:設(shè)K為數(shù)域，數(shù)域K上所有n階矩陣的全體記為Mn(K).令V為數(shù)域K上的n維線性空間，V的所有線性變換的全體記為HomK(V).由線性代數(shù)的理論，我們知Mn(K)?HomK(V).在本文里，除非有特別說明，所考慮的線性空間都是n維的，方陣都是n階的。

1 相似線性變換的性質(zhì)

這一節(jié)給出相似線性變換的若干基本性質(zhì)。首先，線性變換的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，即具有以下性質(zhì):

(1)自反性:對(duì)任意σ∈HomK(V)，σ與它自己相似，即σ～σ，這是因?yàn)棣?ι－1σι，其中ι是V的恒等變換;

(2)對(duì)稱性:對(duì)任意 σ，τ∈HomK(V)，如果 σ ～τ，那么 τ～σ，這是因?yàn)?τ =ρ－1σρ蘊(yùn)含 σ =(ρ－1)－1τρ－1，其中ρ是V的可逆變換;

(3)傳遞性:對(duì)任意 σ，τ，φ∈HomK(V)，如果 τ～σ，σ ～φ，那么 σ ～φ. 事實(shí)上，由 τ=ρ－1σρ，σ =φ－1φφ，有 τ=(φρ)－1φφρ.

關(guān)于相似線性變換，還有以下性質(zhì)。

命題2.1 若σ～τ，則αm～τm，其中m是非負(fù)整數(shù)。

證明:設(shè) σ ～ τ，則存在可逆的 ρ，使得 τ=ρ－1σρ. 于是

故 αm～τm.證畢。

命題2.2 若σ～τ，則kα～kτ，其中k是非負(fù)整數(shù)。

證明:設(shè) σ ～ τ，則存在可逆 ρ，使得 τ=ρ－1σρ. 于是

故kσ ～kτ.證畢。

更一般地，有如下結(jié)論。

命題2.3 設(shè) σ ～τ，f(x)∈K［x］，則有f(σ)～f(τ).

證明:因?yàn)?σ ～ τ，所以存在可逆線性變換 ρ，使得 τ=ρ－1σρ. 則有 τi=(ρ－1σρ)i=ρ－1σiρ.

設(shè)f(x)=a0+a1x+…+anxn.于是，

即f(σ)～f(τ).證畢。

注記2.4 設(shè) σ ～τ，f(x)，g(x)∈K［x］，則f(σ)與g(τ)不一定相似。

取f(x)=a0+a1x+ … +anxn，g(x)=b0+b1x+… +bnxn.

取a0=a1=…=an=0，即f(x)=0，于是f(σ)=0.任取一個(gè)可逆線性變換φ，則φ－1f(σ)φ=0.

當(dāng)b0，b1，…，bn不全為零時(shí)，有g(shù)(x)≠0，使得g(τ)≠0. 即任取 φ，都有 φ－1f(σ)φ≠g(τ).所以f(σ)與g(τ)不相似。

2 相似線性變換的特征定理

下面的定理指出兩個(gè)線性變換相似當(dāng)且僅當(dāng)它們在線性空間的某個(gè)基之下的矩陣相似。這為后面討論線性變換的相似不變量提供了工具。

定理3.1 設(shè)σ，τ是n維線性空間V上的兩個(gè)線性變換，且它們在V的基α1，α2，…，αn下的矩陣分別為 A，B，則A～B的充分必要條件是σ～τ.

證明:如果τ與σ 相似，則存在可逆的ρ∈HomK(V)，使得τ =ρ－1σρ. 設(shè)ρ在基α1，α2，…，αn之下的矩陣為P.則有B=P－1AP，即A與B相似。

反之，設(shè) A ～B，即存在可逆n階矩陣 P，使得 P－1AP=B.對(duì)V的任意向量 α=(α1，α2，…，αn)x，令

ρ(α)=(α1，α2，…，αn)Px，其中x是 α 在 α1，α2，…，αn之下的坐標(biāo)列。則易檢驗(yàn):ρ是V的線性變換，且 ρ在α1，α2，…，αn之下的矩陣為 P. 進(jìn)一步，我們有故 ρ－1σρ=τ，即 τ與 σ 相似。證畢。

由線性代數(shù)的知識(shí)知:數(shù)域K上兩個(gè)矩陣A，B相似當(dāng)且僅當(dāng)存在線性空間的線性變換σ以及兩個(gè)基，使得σ在這兩個(gè)基之下的矩陣分別為A，B(例如，見參考文獻(xiàn)［9］)。對(duì)線性變換的相似關(guān)系也有類似的結(jié)論。

定理3.2 設(shè) σ，τ∈HomK(V)，若 τ與 σ 分別在V的基 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn之下的矩陣相同，則σ與τ相似。

證明:設(shè) τ 與 σ 分別在V的基 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn之下的矩陣都為 A，且

則σ在β1，β2，…，βn之下的矩陣為B=P－1AP.由定理3.1知，σ與τ相似。證畢。

定理3.2的逆命題也成立。

定理3.3 設(shè) σ，τ∈HomK(V)，若 τ與 σ 相似，則存在V的基 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn，使得 σ 在α1，α2，…，αn之下的矩陣恰好等于 τ在 β1，β2，…，βn之下的矩陣。

證明:任取V的基 α1，α2，…，αn.設(shè) σ 在 α1，α2，…，αn之下的矩陣為 A.由于 τ 與 σ 相似，故可設(shè) τ=ρ－1σρ，其中，ρ∈HomK(V). 令 ρ在 α1，α2，…，αn之下的矩陣為 P. 則 P 可逆。令

則 β1，β2，…，βn是V的基，且 ρ在 β1，β2，…，βn之下的矩陣也為 P. 于是

即 σ 在 β1，β2，…，βn之下的矩陣為 A. 證畢。

定理3.2和3.3合起來敘述成:

定理3.3 兩個(gè)線性變換相似的充分必要條件為它們在線性空間的兩個(gè)基下的矩陣相同。

3 線性變換的相似不變量

由線性代數(shù)理論知:設(shè)σ∈HomK(V).如果存在V的非零向量ξ，使得σ(ξ)=λξ，則稱λ為σ的一個(gè)特征值，而非零向量ξ稱為σ的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量。規(guī)定:Vλ={ξ∈V|σ(ξ)=λξ}，則易見Vλ是V的子空間，稱為V的屬于λ的特征子空間。

特征值、特征向量是數(shù)學(xué)里非常重要的概念之一，不少文獻(xiàn)對(duì)此有討論，如文獻(xiàn)［10］。下面討論相似線性變換的特征值、特征向量之間的聯(lián)系。

定理4.1 設(shè)σ，τ為n維線性空間V上的線性變換，且有σ～τ，那么σ，τ有相同的特征值。

證明:如果σ與τ相似，則由定理3.1知，σ與τ在V的某個(gè)基α1，α2，…，αn之下的矩陣相似。而相似的矩陣有相同的特征值，故σ與τ有相同的特征值。證畢。

另證:如果τ與σ相似，則存在可逆的ρ∈HomK(V)，使得τ=ρ－1σρ.設(shè)λ是σ的任意特征值，α是σ的屬于 λ 的特征向量，即 σ(α)=λα，0≠α∈V. 則 ρτρ－1(α)= λα，即 τρ－1(α)= λρ－1(α). 由于 α≠0，所以ρ－1(α)≠0.這說明λ是τ的特征值，ρ－1(α)是τ的屬于λ的特征向量。反之亦然。證畢。

第二種證明方法略顯繁雜，但從中可以看到:

注記4.2 若σ～τ，則它們的特征向量不一定相同。由于σ～τ，則存在可逆ρ，使得τ=ρ－1σρ.設(shè)σ，τ有相同的特征值 λ。故存在V的非零向量 β，使得 τ(β)=λβ.于是 ρ－1σρ(β)=λβ，即 σ(ρ(β))=λ(ρ(β)).于是ρ(β)≠0是σ的屬于λ的特征向量。取ρ為位似變換，則ρ(β)=kβ，其中k≠0.即得kβ=α.當(dāng)k≠1時(shí)，α≠β.所以σ～τ時(shí)，它們的特征向量并不一定相同。

定理4.3 設(shè)σ，τ為n維線性空間V上的線性變換，且α～τ，則它們屬于同一特征值的特征子空間同構(gòu)。

證明:由于σ～τ，則存在可逆ρ，使得τ=ρ－1σρ.設(shè)σ，τ有相同的特征值λ.故存在V的非零向量β，使得 τ(β)=λβ. 于是 ρ－1σρ(β)=λβ，即σ(ρ(β))=λ(ρ(β)). 于是 ρ(β)≠0 是 σ 的屬于 λ 的特征向量。因?yàn)棣芽赡?，故ρ為雙射線性變換。于是ρ為α的特征子空間到τ的特征子空間的同構(gòu)映射，所以α的特征子空間與τ的特征子空間同構(gòu)。

［1］戈丁.數(shù)學(xué)概觀［M］.胡作玄，譯.北京:科學(xué)出版社，2001.

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［6］李亦芳，張環(huán)理，張丹.相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，14:11－12.

［7］丁春榮，李龍澎.基于相似關(guān)系向量的改進(jìn)ROUSTIDA算法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2014，50:133－136.

［8］鄒萬杰，陸國東，陸進(jìn).基于殘余力向量的框架損傷直接識(shí)別法［J］.廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，25:21－30.

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