冪指函數(shù)型不定式計算中學生應掌握的一個結(jié)論

石德剛，董春芳

(天津冶金職業(yè)技術(shù)學院，天津 300400)

冪指函數(shù)型不定式計算中學生應掌握的一個結(jié)論

石德剛，董春芳

(天津冶金職業(yè)技術(shù)學院，天津 300400)

確定冪指函數(shù)型不定式是研討函數(shù)極限問題時經(jīng)常遇到的問題，現(xiàn)今高等數(shù)學教材和參考書中對這一問題的處理，大都介紹先取對數(shù)再使用洛必達法則法計算冪指函數(shù)型不定式。但是由于冪指函數(shù)往往是由復合函數(shù)構(gòu)成的，以至于冪指函數(shù)取對數(shù)后比較復雜，進而致使運用洛必達法則后所得的表達式更為復雜，從而導致學生計算冪指函數(shù)型不定式時經(jīng)常出錯.針對這一問題，筆者在三十多年的教學研究中，總結(jié)了一個在冪指函數(shù)型不定式的計算中起著重要作用的結(jié)論，奉獻給讀者并與讀者分享。

冪指函數(shù)；不定式；極限；取對數(shù)；洛必達法則

一、用取對數(shù)法統(tǒng)一處理00型、0型、1型不定式

設(shè)函數(shù)f(x)>0，則函數(shù)[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x).

二、用等價無窮小或等價無窮大與取對數(shù)法統(tǒng)一處理00型、0型、1型不定式

因為無窮大的倒數(shù)是無窮小，所以等價無窮大具有與等價無窮小替換法則完全類似的等價無窮大替換法則.

(3)設(shè)f(x)與f1(x)是正值可導函數(shù).若f(x)與f1(x)是x的同一變化過程中的等價無窮小或等價無窮大，則lnf(x)～lnf1(x).

(3)1型極限計算公式：若極限為1型不定式，則

證(1)((2)的證明完全類似)由f(x)～f1(x)、g(x)～g1(x)與等價無窮小替換法則及引理1(3)得

解 這是1型不定式，由1型極限計算公式得

解 這是1型不定式，由1型極限計算公式得

由例1—例6可以看出，計算冪指函數(shù)型不定式時，用本文給出的定理1，雖然可以極大地簡化運用洛必達法則所帶來的求導運算，甚至可以避免運用洛必達法則.但是也必須注意，對某些情形，也只能用取對數(shù)法計算冪指函數(shù)型不定式.

解 本題是由00型不定式構(gòu)成的00型不定式，由取對數(shù)法得.

解 本題是由1型不定式構(gòu)成的1型不定式，由取對數(shù)法得.

[1]馮翠蓮.微積分學習輔導與解題方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]徐小湛.高等數(shù)學學習手冊[M].北京：科學出版社，2005.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]毛綱源.高等數(shù)學解題方法技巧歸納(第2版)[M].武漢：華中科技大學出版社,2010.

[5]陳文燈.高等數(shù)學復習指導：思路、方法與技巧(第2版)[M]. 北京：清華大學出版社,2011.

A Conclusion Secondary School Students Should Master for Calculation of Power Function Infinitive

SHI De-gang, DONG Chun-fang

(TianjinMetallurgicalVocationalTechnicalCollege,Tianjin, 300400)

we often have to make sure the power function infinitive when discussing limit of function. To solve the problem, most advanced math textbooks and reference books guide students to take the logarithm first, and then use L’Hospital’s rule to calculate the power function infinitive. However, as power function is usually comprised of function of functions, it will be complex after taking the logarithm, and the expression gained after usage of L’Hospital’s rule will be more complex. As a result, students often make mistakes when calculating power function infinitive. To address the problem, the author summarizes a conclusion that will play an important role in calculation of power function infinitive to share with readers.

power function; infinitive; limit; take the logarithm; L’Hospital’s rule

2014-11-11

石德剛(1960-)，男，天津冶金職業(yè)技術(shù)學院副教授，數(shù)學教研室主任，大學本科、主要研究方向：高等數(shù)學教學研究；董春芳(1982-)，女，天津冶金職業(yè)技術(shù)學院講師，碩士研究生，主要研究方向：高等數(shù)學教學研究。

O13

A

1673-582X(2015)02-0097-03