基于任意張角曲線的8字凸輪小車

廖智雄 彭松林 胡 南 余五新（江漢大學(xué)，湖北 武漢 430056）

1 前言

“第四屆全國(guó)大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競(jìng)賽”要求設(shè)計(jì)一輛能利用重物重力勢(shì)能驅(qū)動(dòng)小車自動(dòng)行走避障，軌跡類似“8”字形的無碳小車。尋找或構(gòu)造“8”字形曲線的常見方法有以下兩種：一種是尋覓現(xiàn)有的連續(xù)曲線，并能直接得到該曲線方程，譬如伯努利雙紐線。另一種是構(gòu)造類“8”形曲線，譬如利用圓弧與正余弦曲線來構(gòu)造。但是，利用以上兩種方式不能做到所構(gòu)造曲線具有任意張角（曲線中間相交的夾角）。曲線具有較大張角具有如下優(yōu)點(diǎn)：（1）更便于小車?yán)@障；（2）更便于小車?yán)@過間距較小障礙物。構(gòu)造具有任意張角的類“8”字形曲線，有兩種方式，一種利用多項(xiàng)式構(gòu)造類“8”字形曲線，另外一種是利用樣條曲線構(gòu)造類“8”字形曲線。本文主要探討了利用樣條曲線來構(gòu)造具有任意張角的類“8”字形曲線。

2 利用樣條曲線構(gòu)造類“8”字形曲線

為保證曲線在各結(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)相等，曲線連續(xù)光滑，選用三次樣條曲線來構(gòu)造類“8”字形曲線。 通過調(diào)整曲線參數(shù)，曲線張角將隨之改變。具體計(jì)算過程可根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，首先選用兩段自定角度圓弧來參與構(gòu)造過程。

圖1 利用半圓弧和樣條曲線構(gòu)造的“8”字形曲線

右圓弧圖示角度為α1，半徑為r1；左圓弧圖示角度為α2，半徑為r2；1、2、3、4為樣條曲線與圓弧的結(jié)點(diǎn)，為保證小車轉(zhuǎn)向正常，需保證結(jié)點(diǎn)處樣條曲線與圓弧段二階導(dǎo)數(shù)相等。此處利用matlab中的caspe函數(shù)來實(shí)現(xiàn)結(jié)合點(diǎn)處樣條曲線與圓弧段二階導(dǎo)數(shù)相等。

pp=csape（x，y，conds，valconds）

邊界類型選定second，即給定邊界二階導(dǎo)數(shù)。右圓弧的圓心坐標(biāo)為B（a，0），左圓弧的圓心坐標(biāo)為A（b，0）。

則左圓弧的方程為：

右圓弧的方程為：

圓的一階導(dǎo)數(shù)為：

圓的二階導(dǎo)數(shù)為：

圓的曲率半徑為：

對(duì)樣條曲線的長(zhǎng)度計(jì)算可以選用樣條操作函數(shù)fnint（求積分）、fnder（求微分），本文采用微元法的思想來計(jì)算擬合曲線段的長(zhǎng)度：

每一曲線段細(xì)分程度越高，計(jì)算出得到的曲線長(zhǎng)度精度也就越高。

3 小車實(shí)際行走過程中的位置關(guān)系分析

圖2 簡(jiǎn)化小車結(jié)構(gòu)圖

小車左輪為主動(dòng)輪，前輪轉(zhuǎn)向中心距主動(dòng)輪中心縱向距離為d，距凸輪中心縱向?yàn)閘；主動(dòng)輪距前輪轉(zhuǎn)向中心橫向距離為α1；從動(dòng)輪距前輪轉(zhuǎn)向中心橫向距離為α2；小車傳動(dòng)比為i。在小車上以主動(dòng)輪中心點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，前輪轉(zhuǎn)向中心法線方向與主動(dòng)輪法線方向的夾角為α，即前輪轉(zhuǎn)角為α。則小車在左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)過程中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)彎半徑為：

4 小車運(yùn)動(dòng)過程中的凸輪位置關(guān)系

小車轉(zhuǎn)向桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，頂桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，凸輪在每一位置對(duì)應(yīng)的極徑為A。小車在左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)過程中，凸輪上都有唯一的一點(diǎn)與頂桿相對(duì)應(yīng)，根據(jù)這一確定的位置關(guān)系，可推知小車左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)存在：

運(yùn)動(dòng)過程中，小車左輪為主動(dòng)輪，以小車左輪為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立動(dòng)系【3】， 則動(dòng)系與定系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

5 小車運(yùn)動(dòng)過程的整體分析

重物下降的高度為h；繩輪轉(zhuǎn)過角度為：θ1；主動(dòng)輪過角度為：θ2；凸輪轉(zhuǎn)過角度：θ1；主動(dòng)輪半徑為：R；繩輪轉(zhuǎn)過dθ1的角度，凸輪轉(zhuǎn)過dθ1角度，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過idθ1角度，則有：

小車實(shí)際走行走路程為：

由小車設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)有：凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周，小車恰好能夠行走一個(gè)類“8”字形軌跡，類“8”字形曲線總長(zhǎng)為定值。

6 刻畫凸輪

刻畫凸輪時(shí)應(yīng)尋覓關(guān)系式為：

但在計(jì)算曲線段長(zhǎng)度過程中采用的微元法，因此，換用小車所走過曲線段長(zhǎng)度占曲線總長(zhǎng)比例來刻畫凸輪。 由以上各關(guān)系式彼此之間的關(guān)系可總結(jié)如下：

取坐標(biāo)原點(diǎn)為發(fā)車位置，利用matlab【4】編寫程序?qū)崿F(xiàn)上述過程即可，將matlab運(yùn)行后計(jì)算得到的凸輪點(diǎn)坐標(biāo)保存后導(dǎo)入SolidWorks中，利用樣條曲線平滑連接即可得到凸輪三維模型。

結(jié)語(yǔ)

利用樣條曲線和一定角度的圓弧來構(gòu)造類“8”字形曲線，能夠得到具有任意張角的類“8”字形曲線，但對(duì)于凸輪本身而言，為使其較為平滑，需要對(duì)其中的部分參數(shù)進(jìn)行多次調(diào)整與更改。

[1]項(xiàng)琴.雙紐曲線在互通式立交線形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究[D].重慶交通大學(xué)，2009.