附加δ勢壘對一維半無限深勢阱影響的研究

唐義甲，韓修林

(阜陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037 )

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附加δ勢壘對一維半無限深勢阱影響的研究

唐義甲，韓修林

(阜陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037 )

摘要：通過對添加δ勢壘的一維半無限深勢阱的薛定諤方程進(jìn)行求解，得到了粒子運(yùn)動的波函數(shù)和能級的相關(guān)公式，分析發(fā)現(xiàn)，δ勢壘的添加以及它的強(qiáng)度與位置的變化對能級都有影響。對比不含δ勢壘的一維半無限深勢阱的能級，探究δ勢壘的添加對原能級產(chǎn)生的影響，并利用Mathematica作圖來直觀顯示這一影響。

關(guān)鍵詞：δ勢壘；一維無限深勢阱；能級

薛定諤方程大致可以分為兩類：定態(tài)薛定諤方程和含時薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程的研究主要利用橢圓偏微方程理論和變分法理論，這方面的結(jié)果非常豐富[1-2]。含時薛定諤方程在上世紀(jì)70年代以后，隨著調(diào)和分析手段的引入而發(fā)展迅速，尤以著名數(shù)學(xué)家J. Bourgain，T. Tao，C. Kenig和F. Merle等人的工作備受矚目[3-4]。

由于δ函數(shù)的特殊性，δ(x)勢在原子、分子、固體及多體等問題中均有廣泛應(yīng)用[5-6]，而在量子力學(xué)定態(tài)薛定諤問題中引入δ(x)勢卻鮮有報(bào)道[7-8]。本文在已有嚴(yán)格解的一維半無限深方勢阱內(nèi)引入δ(x)勢， 采用理論分析、數(shù)值計(jì)算與作圖顯示相結(jié)合的方法，對δ勢引起的能級及波函數(shù)進(jìn)行修正。

1附加δ勢的半無限深方勢阱

設(shè)質(zhì)量為m的粒子，作一維運(yùn)動，在半無限深方勢阱中附加δ勢后，如圖1所示，勢能為

(1)

其中，μ是描述勢阱位置的無量綱參數(shù)，取值區(qū)間為(0，1)。

圖1　附加δ勢壘的一維半無限深勢阱

粒子的波函數(shù)與能量滿足定態(tài)薛定諤方程：

(2)

由于勢能不連續(xù)，定態(tài)薛定諤求解可分為四個區(qū)域：

(3)

由于束縛態(tài)粒子的能量有限性，在區(qū)域Ⅰ內(nèi)波函數(shù)應(yīng)為零，即波函數(shù)ψ0(x)=0。

在區(qū)域Ⅱ，Ⅲ內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程為

(4)

上式可以簡化為

(5)

其中，

(6)

在區(qū)域Ⅳ內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程為

(7)

由束縛態(tài)條件知E

ψ″-β2ψ=0

(8)

其中

(9)

由波函數(shù)的連續(xù)性，得到在邊界x=0處

ψ1(0)=ψ0(0)=0

(10)

x=μa是方程(5)的奇點(diǎn)，ψ′(μα)不連續(xù)，利用波函數(shù)連續(xù)條件并對(5)式積分，得

ψ2(μa+0)+ψ1(μa-0)= ψ(μa)

(11)

在x=a處，由波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可得到

(12)

2半無限深方勢阱中附加δ勢的粒子的波函數(shù)與能級

2.1定態(tài)波函數(shù)

方程(5)的通解為

ψ1(x)=Asin(kx)+A′cos(kx)

(14)

考慮到邊界條件(10)，可得當(dāng)A′=0，所以區(qū)域II內(nèi)

ψ1(x)=Asin(kx)

(15)

由方程(8)，得到區(qū)域Ⅳ內(nèi)的波函數(shù)為

ψ3(x)=Ce-βx+Deβx

(16)

當(dāng)x→∞時，波函數(shù)應(yīng)有限，所以

D=0

(13)

ψ3(x)=Ce-βx

(17)

方程(5)在區(qū)域Ⅲ內(nèi)的通解為

ψ2(x)=Bsin(kx+φ)

(18)

結(jié)合銜接條件(12)得

kcot(kx+φ)=-β

(19)

為簡單起見，假定λ=0，則銜接條件(11)變?yōu)?/p>

ψ′(μα+0)=ψ′(μα-0)

(20)

勢阱過渡為半無限深方勢阱，如果存在波函數(shù)在μα處為零，則(20)同樣適用于λ≠0，因此假定先波函數(shù)在μα處為零，采用迭代法求解，易解得

(21)

A，C可由波函數(shù)連續(xù)性條件和歸一化條件確定，參數(shù)k,β與能量有關(guān)，其他參數(shù)可由(19)和(20)式確定。

2.2定態(tài)能量

2017年，聯(lián)盟成員立項(xiàng)或在研創(chuàng)新項(xiàng)目39項(xiàng)，形成自主知識產(chǎn)權(quán)多項(xiàng)，包括發(fā)明專利9項(xiàng)，實(shí)用新型專利4項(xiàng)，軟件著作權(quán)18項(xiàng)。形成技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)，包括行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)2項(xiàng)，地方標(biāo)準(zhǔn)3項(xiàng)，企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)2項(xiàng)，團(tuán)體標(biāo)準(zhǔn)14項(xiàng)。

將(21)式代入條件(11)，得到

(22)

(23)

(24)

進(jìn)一步化簡得

(25)

或

(26)

令k(α-2μα)=ω，則k=ω/(α-2μα)，(26)式可化為

(27)

解超越方程(27)可求出各能量，結(jié)果表明,若勢阱內(nèi)有束縛態(tài)能量是量子化的，勢阱內(nèi)至少有一個束縛態(tài)的基態(tài)能的條件是

作出函數(shù)y=|sinω|和函數(shù)y=Pω的圖像，其交點(diǎn)即為超越方程(27)的解

圖2　超越方程(27)圖解示意圖

3運(yùn)用mathematica作圖顯示δ勢壘的影響

添加δ勢壘后，能級的相關(guān)公式為

(29)

令n=log2H，取K1= 10不變， 運(yùn)用mathematica求解。

3.1勢壘位置的影響

當(dāng)n為0，1，2，3，……，10，μ分別取0.1到0.9之間的數(shù)值時，計(jì)算K的數(shù)值解(只取基態(tài)值)，結(jié)果如圖3所示。

圖3　K隨μ的變化曲線

由圖3可以看出：當(dāng)n=0時H=1，即(勢壘很低時，μ值的變化對基態(tài)能級的影響并不大，隨著n的增大，μ值的影響也越明顯，當(dāng)μ處于0.55左右時對基態(tài)能級的影響最大，兩側(cè)逐漸減小。

3.2勢壘強(qiáng)度的影響

當(dāng)μ分別取0.1 ，0.2，……，0.9之間的數(shù)值，n為0，1，2，3，……，10時，計(jì)算K的數(shù)值解(只取基態(tài)值)如圖4所示。

圖4　K隨n的變化圖形

由圖4知,在一定范圍內(nèi)K值隨著n值的增大而增大，而當(dāng)n增大到某個值或減小到某個值時K值達(dá)到穩(wěn)定不再變化。K的最小值與μ無關(guān)約為2.85，而K的最大值隨著μ的不同而有所不同。

4特殊情形

4.1情形一

當(dāng)n→-∞時H→0，此時模型變?yōu)橐痪S半無限深勢阱。由上文討論的不含勢壘的一維半無限深勢阱的情況可知,與能級有關(guān)的表達(dá)式為

(36)

同樣，取K1= 10，求得基態(tài)時K≈2.852 3，這與圖4中n→-∞時所得結(jié)果一致。

4.2情形二

表1

又由一維半無限深勢阱能級的相關(guān)公式得kcot[k(1-μ)a]=-κ，即無量綱化后為

同樣，取K1= 10，運(yùn)用mathematica求得μ取不同的值時對應(yīng)的基態(tài)K值如表2所示。

表2

綜上所述，當(dāng)μ取不同的值時，整個一維半無限深勢阱中當(dāng)n→∞時對應(yīng)的基態(tài)K值如表3所示。

表3

這與圖4中n→∞時所得結(jié)果一致。

當(dāng)μ=1/2，V1=∞，即K1=∞時，我們的模型成為中央有δ勢壘的無限深勢阱，將條件代入(29)式得到

(33)

(34)

(35)

這個結(jié)果與文獻(xiàn)[7]所得結(jié)果完全一致。

5結(jié)束語

通過理論推導(dǎo)與數(shù)值分析，研究了在添加δ勢壘的一維半無限深勢阱中運(yùn)動的粒子的能級的影響因素，得到了該勢能下的波函數(shù)和能級的相關(guān)公式。對于給定勢壘高度K1的一維半無限深勢阱，δ勢壘的添加會使束縛態(tài)能級的量值增加，能級個數(shù)減少；勢壘的強(qiáng)度與位置對能級都會產(chǎn)生影響，當(dāng)勢壘處于勢阱中心偏右位置時能級最大，在K1=10的情況下，μ≈0.55，δ勢壘的強(qiáng)度H越大，位置的影響越明顯；當(dāng)δ勢壘的位置一定時，δ勢壘的強(qiáng)度H越大，能級越大。當(dāng)H→∞時勢阱分裂為一維無限深勢阱和一維半無限深勢阱兩部分，并且由這兩部分求的基態(tài)能級與本文公式(29)中當(dāng)H→∞時求得的結(jié)果一致；適當(dāng)選取參數(shù)發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[5-7]中的結(jié)果都是本文結(jié)果的特例，這表明了本文結(jié)論的普遍性和正確性。

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Research on the Effects of Additional Delta Barrier to One Dimensional Semi-infinite Deep Potential Well

TANG Yi-jia，HAN Xiu-lin

(School of Physics and Electronic engineering，F(xiàn)uyang Teachers College， Fuyang 236037， China)

Abstract:By adding the delta barrier of one dimensional semi-infinite deep potential well，and solving the schrodinger equation, the related formula of particle movement of wave function and energy level are obtained. Through analysis we found that the delta barrier to add and its change on the energy level of the position and strength are affected. Contrast does not contain the delta barrier in one dimensional semi-infinite deep trap energy level. In addition, we explore the delta barrier to add to the impact of the original energy level, and use the Mathematica graphic visual indication to this effect.

Key words:δ potential barrier, one dimensional semi-infinite deep potential well, energy level

文章編號：1007-4260(2015)03-0060-04

中圖分類號：O469

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.017

作者簡介：唐義甲，男，安徽樅陽人，碩士，阜陽師范物理與電子工程學(xué)院助理實(shí)驗(yàn)師，研究方向?yàn)榉蔷€性光學(xué)材料、高能粒子束輻照改性及防護(hù)。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 11273008) ，阜陽師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目(2012JYXM61)，(2013ZYJS08)和阜陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目(2012JCJY21)。

收稿日期：2015-01-11

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.017.html