基于實物期權(quán)理論的R＆D項目投資決策模型

曹博洋， 姜明輝

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150006）

在全球化經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，企業(yè)間的競爭焦點(diǎn)已經(jīng)從產(chǎn)品階段前移至R＆D項目階段，因此R＆D項目對企業(yè)未來持續(xù)保持競爭優(yōu)勢具有重大影響。對于高風(fēng)險的R＆D項目來說，不確定性可以來自外部市場波動性、項目本身所具有的復(fù)雜性、企業(yè)自身的研發(fā)能力和整體實力有限性。由于這些不確定性的存在，投資者預(yù)先無法確定具體的投資時機(jī)，導(dǎo)致R＆D項目收益不能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，因此準(zhǔn)確地評估R＆D項目的投資決策對于企業(yè)的決策者來說變得尤為重要。

典型的R＆D項目投資具有不確定性、不可逆性、可延遲性。根據(jù)傳統(tǒng)的投資決策方法，如NPV（net present value，NPV）方法，單純依靠對現(xiàn)金流的計算無法反映R＆D項目投資決策的多種不確定性，因此經(jīng)常低估并錯誤地拒絕有價值的投資機(jī)會，導(dǎo)致R＆D項目投資不足和企業(yè)競爭優(yōu)勢地位受到損失。然而根據(jù)商業(yè)經(jīng)驗，這類的投資機(jī)會顯然是有價值的。實物期權(quán)理論能夠充分考慮不確定性的價值，并認(rèn)為擁有在未來某時間段內(nèi)進(jìn)行投資或放棄投資的權(quán)利是有價值的，這能夠恰當(dāng)?shù)胤从惩顿Y所具有的策略柔性，從而可以作為風(fēng)險分析與管理決策工具。企業(yè)可以根據(jù)其投資戰(zhàn)略需要而進(jìn)行積極的R＆D項目投資管理，從而把握有利的投資機(jī)會。

文獻(xiàn)［1］定義實物期權(quán)中的交換期權(quán)是一種特殊的合約，它賦予持有者在給定的期限內(nèi)，以一種風(fēng)險資產(chǎn)（交付性資產(chǎn)）交換另一種風(fēng)險資產(chǎn)（期權(quán)性資產(chǎn)）的權(quán)利；文獻(xiàn)［2］中的模型評估了有分紅行為的歐式期權(quán)，給出了期權(quán)的一個應(yīng)用；文獻(xiàn)［3］修正了文獻(xiàn)［4］的美式期權(quán)模型，在不增加過多數(shù)學(xué)計算的同時能計算出更精確的美式期權(quán)價值；文獻(xiàn)［5］把復(fù)合實物期權(quán)里加入了跳躍的因素，能夠?qū)ν话l(fā)風(fēng)險進(jìn)行評估，但是對R＆D項目中的其他風(fēng)險沒有討論；文獻(xiàn)［6］僅定性研究了不確定性條件下的投資決策博弈；文獻(xiàn)［7］研究了企業(yè)的溢出效應(yīng)，一個企業(yè)R＆D項目的期權(quán)價值和投資決策受到其他企業(yè)研發(fā)成功與否的影響；文獻(xiàn)［8］對R＆D項目中的跳躍進(jìn)行估值，并發(fā)現(xiàn)有高頻率的競爭威脅并有較低波動率的項目價值更大。

在國內(nèi)，用實物期權(quán)的方法進(jìn)行投資決策分析成為最新的研究熱點(diǎn)，文獻(xiàn)［9］利用不同的風(fēng)險波動率和多階段的復(fù)合期權(quán)對R＆D項目進(jìn)行簡單的計算；文獻(xiàn)［10］對R＆D項目投資時機(jī)的期權(quán)進(jìn)行博弈找到投資臨界點(diǎn)，但只進(jìn)行了定性分析；文獻(xiàn)［11］對軟件的開發(fā)過程運(yùn)用復(fù)合實物期權(quán)模型評估，很好地刻畫了風(fēng)險驅(qū)動的特征；文獻(xiàn)［12］通過蒙特卡洛模擬，給出了投資者在完全信息和部分信息下的動態(tài)決策差異；文獻(xiàn)［13］建立基于多隨機(jī)變量的自然資源開發(fā)項目實物期權(quán)投資評價模型，并應(yīng)用Black－Scholes簡單歐式期權(quán)結(jié)合鞅過程給出了模型的解析解；文獻(xiàn)［14］構(gòu)建了不完全競爭市場的投資決策模型，研究了先、后動優(yōu)勢以及內(nèi)外生環(huán)境不確定性對企業(yè)間投資時機(jī)決策的影響。

目前，國內(nèi)外R＆D項目投資決策理論的研究很多還只集中在對參數(shù)的定性分析和單純的實物期權(quán)價值的微分方程推導(dǎo)上，并未把期權(quán)價值應(yīng)用在企業(yè)對R＆D項目投資決策中，這對于現(xiàn)實中企業(yè)投資決策的幫助有限。而實物期權(quán)方法在不考慮其他市場參與者戰(zhàn)略影響的情況下，解決了R＆D項目價值量化的問題，但是對于競爭者的存在和多種不確定性導(dǎo)致的風(fēng)險估值不足，往往造成企業(yè)對R＆D項目價值和收益的計算不準(zhǔn)確。本文站在企業(yè)投資的角度，一方面考慮市場中競爭者所帶來影響，另一方面對R＆D項目的多種不確定性進(jìn)行分析和評估，并根據(jù)企業(yè)可能做出的投資決策，構(gòu)建了多種不確定條件下的R＆D項目投資決策模型，得到了更加精確的實物期權(quán)價值和量化的投資決策收益，并以此直觀地做出相應(yīng)的最佳決策。

1 R＆D項目投資決策基本模型

1.1 基于歐式期權(quán)的R＆D項目投資決策模型

根據(jù)文獻(xiàn)［1］的定義，歐式期權(quán)持有者可在時刻T以資產(chǎn)I交換資產(chǎn)V，而在R＆D項目中的解釋就是在時刻T投資I得到了項目價值V，這個投資機(jī)會可以被作為歐式期權(quán)。文獻(xiàn)［15］推導(dǎo)了歐式期權(quán)價值模型，刻畫了經(jīng)濟(jì)風(fēng)險較高的R＆D項目價值。假定V和I都遵循幾何布朗運(yùn)動，歐式期權(quán)模型為：

考慮到R＆D項目投資可以分階段，因此對R＆D項目估值時可以應(yīng)用文獻(xiàn)［3－4］推導(dǎo)的兩階段復(fù)合歐式期權(quán)模型：

1.2 跳躍－擴(kuò)散過程的R＆D項目投資決策模型

在競爭性的R＆D項目投資環(huán)境中，突發(fā)風(fēng)險可用跳躍－擴(kuò)散過程來描述。較早研究實物期權(quán)跳躍－擴(kuò)散過程的是文獻(xiàn)［16］，其認(rèn)為跳躍－擴(kuò)散過程在R＆D項目中主要有2個不確定性的來源：擴(kuò)散風(fēng)險σdzt，包括正的和負(fù)的隨機(jī)波動；突發(fā)事件dqt，主要描述了市場價值V的突然增加或減少。平均來說，在時間間隔［0，t］中有λt次跳躍，且跳躍的次數(shù)是獨(dú)立于跳躍的大小，也獨(dú)立于其他的不確定性。對于投資R＆D項目，更適合采用簡化的文獻(xiàn)［16］跳躍－擴(kuò)散模型，在時間間隔［0，t］中的跳躍次數(shù)既可以為0，也可為1，跳躍－擴(kuò)散模型為：

其中，μ為對項目的預(yù)期收益率；zt為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動過程；φ為泊松隨機(jī)變量，用來描述跳躍過程。文獻(xiàn)［5］認(rèn)為跳躍過程導(dǎo)致2個結(jié)果，一種有價值，一種價值為0，可表示為：

假定企業(yè)是風(fēng)險中性的，在未來任何時刻的項目價值都有這2種可能的情況，而該項目的最終價值應(yīng)為這2種可能性下期望值的和，即

在歐式期權(quán)中，R＆D項目在時刻T的收益為max｛Vt－I，0｝，本文把歐式期權(quán)價值跳躍到零的風(fēng)險問題的計算簡化為（1）式與折現(xiàn)率問題的計算，即

由此可得歐式期權(quán)定價模型為：

s（V，I，T）＝e－λT（VeλTN1（d1（K，T））－

Ie－rTN1（d2（K，T）））＝

VN1（d1（K，T））－Ie－（r＋λ）TN1（d2（K，T））（6）

同樣，本文把復(fù)合歐式期權(quán)計算歸結(jié)為：

由此可得包含了跳躍－擴(kuò)散過程的兩階段復(fù)合期權(quán)模型：

其中

d2（K／K＊，t1）＝d1（K／K＊，t1）－σ；K＊為I1／I＝K＊N1（d1（K＊，t2））－exp［－（r＋λ）t2］N1（d2（K＊，t2））的解。

2 競爭性R＆D項目投資決策收益分析

在R＆D項目動態(tài)競爭中，市場上的競爭者通?？煞譃橄冗M(jìn)入市場的先行者企業(yè)和后進(jìn)入市場的跟隨者企業(yè)，跟隨者雖然常常跟隨在先行者后面進(jìn)行決策，但是并不代表先行者無往不利，跟隨者由于擁有先行者的研發(fā)信息披露，因此最終贏得市場的例子并不少見。由于整個市場的大小在一定時間內(nèi)是固定的，跟隨者的進(jìn)入，對先行者的收益是有影響的，因此作為先行者在進(jìn)行投資決策時也要充分考慮到跟隨者可能采取的決策，這就需要企業(yè)在制定R＆D項目投資決策時對所有可能的決策收益和競爭者的收益進(jìn)行評估。

在R＆D項目投資過程中，除了經(jīng)濟(jì)危機(jī)一類的突發(fā)風(fēng)險，還有經(jīng)濟(jì)風(fēng)險（用市場波動率σ的變化）和技術(shù)風(fēng)險（用R＆D項目的研發(fā)成功率來描述）。假定存在2個競爭對手：企業(yè)A和企業(yè)B，研發(fā)成功率分別用q和p來表示?；谄放?、研發(fā)能力等的不同，設(shè)定企業(yè)A為研發(fā)和市場中的優(yōu)勢企業(yè)，企業(yè)B則為劣勢企業(yè)，因此q＞p。

本文規(guī)定先行者在t0時刻對R＆D項目投資，早于跟隨者企業(yè)，2個企業(yè)的啟動投資I1是一樣的。但是2個企業(yè)所占市場份額不同，先行者企業(yè)占α，跟隨者企業(yè)占1－α，且α＞0.5。

根據(jù)歐式期權(quán)的定義，所有的決策點(diǎn)必須是固定的，因此企業(yè)所有的投資要在僅有的決策點(diǎn)t0時刻就定下來，這2個企業(yè)此時面臨的決策為：是在t0時刻進(jìn)行R＆D項目投資，還是推遲到t1時刻投資，這就需要對所有可能的投資決策的收益進(jìn)行計算和分析。由于在t0時刻和t1時刻都不投資導(dǎo)致實物期權(quán)價值為0，等于放棄項目，本文不做研究。因此本文考慮了4種投資決策：1個企業(yè)在t0時刻搶先投資成為先行者；1個企業(yè)在t1時刻投資成為跟隨者；2個企業(yè)t0時共同搶先投資；2個企業(yè)在t0時等待時機(jī)，再在t1時刻共同投資。

2.1 1個企業(yè)搶先投資時的先行者收益

如果企業(yè)A作為先行者在t0時刻搶先投資R＆D項目，假定這時候跟隨者企業(yè)B決定等待。在這種情況下，先行者企業(yè)A的期權(quán)為s（αV，I，T），并且占有整個市場價值V的α。文獻(xiàn)［6］對收益的計算為期權(quán)價值減去t0時刻投資。投資I為研發(fā)之后R＆D項目商業(yè)化的投資，而進(jìn)行投資的必要條件是期權(quán)s（αV，I，τ）要高于I1的價值，因為這樣才會產(chǎn)生收益。結(jié)合跳躍－擴(kuò)散過程和研發(fā)成功率q，得到t0時刻企業(yè)A收益為：

類似地，如果劣勢企業(yè)B為先行者去投資R＆D項目，企業(yè)A為跟隨者選擇等待，企業(yè)B的先行者收益為：

2.2 觀望信息披露再進(jìn)行投資的跟隨者收益

先行者第1個進(jìn)入市場，會在市場上占據(jù)優(yōu)勢的同時對跟隨者投資產(chǎn)生正外部性，這導(dǎo)致跟隨者決策收益部分取決于先行者技術(shù)開發(fā)的信息披露程度，因此信息披露是一個影響跟隨者最佳投資決策的重要因素。研發(fā)成功率與信息披露之間的關(guān)系可以引入2個伯努利分布：

假設(shè)優(yōu)勢企業(yè)A作為先行者，在經(jīng)過信息披露之后，如果先行者的R＆D項目研發(fā)是成功的，跟隨者企業(yè)B的研發(fā)成功率p轉(zhuǎn)化為正的信息披露時的p＋；如果先行者失敗了，此時的p轉(zhuǎn)化為負(fù)的信息披露時的p－。根據(jù)文獻(xiàn)［18］對信息披露ρ（A，B）的計算可以得出：

同樣，如果劣勢企業(yè)B作為先行者，企業(yè)A的研發(fā)成功率可以轉(zhuǎn)化為：

其中

設(shè)定2個企業(yè)對項目的研發(fā)時間相同，則跟隨者企業(yè)期權(quán)到期時間為T＋t1。如果企業(yè)A作為先行者的R＆D項目投資是成功的，那么跟隨者的R＆D項目投資成功率為p＋。在投資I1之后，跟隨者持有期權(quán)s（（1－α）V，I，τ），并占據(jù)全部市場的1－α份額。因此跟隨者在t0時刻的收益為t1時刻到期的期權(quán)，執(zhí)行價格為s（（1－α）V，I，τ）。到期時刻t1，通過正信息披露的期權(quán)為：

通過（7）式，本文把正信息披露的研發(fā)成功率與復(fù)合期權(quán)結(jié)合，可以得到：

根據(jù)I1＝p＋s（（1－α）V，I，T），可以得出臨界值：

在先行者研發(fā)失敗的情況下，本文可以得到負(fù)的信息披露的期權(quán)價值：為臨界值，且有：

如果企業(yè)A作為先行者成功率為q，跟隨者企業(yè)B取得c（p＋），如果先行者失敗概率為1－q，跟隨者取得c（p－）作為期權(quán)。

因此，得到t0時刻包含跳躍－擴(kuò)散過程的作為跟隨者的企業(yè)B收益為：

同樣可得作為跟隨者的企業(yè)A收益為：

2.3 2個企業(yè)同時搶先投資的收益

如果在t0時刻企業(yè)A和B決定同時投資R＆D項目，則此時沒有信息披露，這使得ρ（A，B）＝0。由于2個企業(yè)投資I1是相同的，本文設(shè)企業(yè)A和企業(yè)B可以獲取到相同比例的市場，即α＝0.5。因此，企業(yè)A或企業(yè)B各自擁有期權(quán)s（0.5V，I，T）。根據(jù)（6）式，本文可以得出同時在t0時刻投資R＆D項目時，包含跳躍－擴(kuò)散過程的企業(yè)A和B的收益分別為：

2.4 2個企業(yè)等待市場時機(jī)再同時投資的收益

同樣，如果在t0時刻2個企業(yè)都決定推遲其R＆D項目投資，此時也沒有信息披露，即ρ（A，B）＝0，且p＝p＋＝p－，q＝q＋＝q－。2個企業(yè)期權(quán)到期時間同為T＋t1，并且2個企業(yè)市場占有率也相等，且α＝0.5。然后在時刻t1投資I1，企業(yè)A或企業(yè)B擁有的期權(quán)為s（0.5V，I，τ）。根據(jù)（7）式，在t0時刻，本文得到包含跳躍－擴(kuò)散過程時，先等待市場時機(jī)再共同投資的2個企業(yè)中的企業(yè)A收益為：為臨界值，根據(jù)qs（0.5V，I，T）＝I1，則有：

3 算 例

3.1 參數(shù)和結(jié)果分析

本文使用一個算例來討論優(yōu)勢企業(yè)A和劣勢企業(yè)B的期權(quán)價值和最佳投資決策，設(shè)先行者企業(yè)市場占有的比例高于跟隨者，即α＝0.60。在t0或者t1時刻初始投資為I1＝150 000，對下一階段投資I＝400 000。V和I的波動率為σv＝0.90，σi＝0.23；變化系數(shù)ρvi＝0.15。T表示項目的進(jìn)行時間，采用T＝3a。跟隨者需要6個月來了解先行者狀態(tài)和結(jié)果，得到信息披露，則t1＝0.5a。無風(fēng)險利率為r＝0.05。跳躍系數(shù)為λ＝0.076。最后優(yōu)勢企業(yè)A比B擁有更高研發(fā)成功率去做R＆D項目，企業(yè)A的研發(fā)成功率為q＝0.60，企業(yè)B的研發(fā)成功率p＝0.55，信息披露為ρ（A，B）＝0.70。

本文僅對企業(yè)A和企業(yè)B部分市場價值下的期權(quán)價值進(jìn)行計算，得到4種投資決策下的收益，見表1所列。

表1 企業(yè)A和企業(yè)B的投資決策收益

由表1可以看出V＝950 000時，優(yōu)勢企業(yè)A作為先行者的收益最高，企業(yè)A決策者可以做出在t0時刻就搶先進(jìn)行投資的決策，做市場先行者。而V＝900 000時，企業(yè)A的最佳決策為在t0時刻等待，而在t1時刻與企業(yè)B共同進(jìn)行投資。

在表1中可以得到V＝950 000時，企業(yè)B在t0時刻等待，而在t1時刻與企業(yè)A共同進(jìn)行投資的收益最高。在V＝1 000 000時，由于市場價值很大，劣勢企業(yè)B最佳決策應(yīng)該選擇搶先投資，成為市場的先行者。

企業(yè)A、B投資決策收益曲線如圖1所示。

圖1 企業(yè)A、B投資決策收益曲線

由圖1可見，無論是優(yōu)勢企業(yè)還是劣勢企業(yè)，某一個決策的收益并不會一直高于其他3個決策的收益。由于市場價值增加，所有決策的收益都會增加，由于增加的幅度不同，導(dǎo)致最佳投資決策也會隨之改變。從圖中還可以看到V會有幾個臨界值，也就是圖中曲線的交點(diǎn)，使得此時2個決策的收益相同。如V＝928 401時，企業(yè)A作為市場先行者和在t1時刻與企業(yè)B共同投資的收益同為81 437，這也就意味著在該時刻下企業(yè)選擇其中任意一個都為最佳決策。

由于實物期權(quán)本身涵蓋了市場風(fēng)險，在不考慮技術(shù)風(fēng)險和突發(fā)風(fēng)險的條件下，企業(yè)A和企業(yè)B同樣的投資決策將會得到相同的收益。把同樣的數(shù)據(jù)代入到期權(quán)定價模型中計算出的投資收益見表2所列。

表2 無風(fēng)險下的投資決策收益

可以看到此結(jié)果會高于多重風(fēng)險下的4種決策收益，這是由于存在競爭關(guān)系和多種不確定性的期權(quán)價值會有所降低，如果不考慮這些風(fēng)險和競爭對手，過高地估計R＆D項目價值，會對企業(yè)的投資決策帶來不利的影響。

3.2 信息披露的影響分析

根據(jù)上述的投資決策收益分析，信息披露只對跟隨者的投資決策起作用。由（12）式，可以得出信息披露取值范圍為：0≤ρ（A，B）≤0.902 6，因此本文對［0，0.90］范圍內(nèi)的優(yōu)勢企業(yè)A和劣勢企業(yè)B的跟隨者投資決策進(jìn)行計算，結(jié)果見表3所列。不同信息披露時跟隨者決策收益對比如圖2所示。

表3 不同信息披露下的跟隨者決策收益

圖2 不同信息披露時跟隨者決策收益對比

由圖2可以觀察到對于優(yōu)勢企業(yè)A和劣勢企業(yè)B，其作為跟隨者所取得的收益是不同的，這是由于2個企業(yè)的研發(fā)成功概率不同。對于劣勢企業(yè)B，由于研發(fā)成功率低，因此隨著信息披露的增加，跟隨者價值也增加。當(dāng)ρ（A，B）∈（0.49，0.90］，優(yōu)勢企業(yè)A作為跟隨者的收益反而不如劣勢企業(yè)作為跟隨者時的收益更大，這說明信息披露對于研發(fā)能力強(qiáng)的優(yōu)勢企業(yè)的投資決策收益的影響不如對劣勢企業(yè)的影響強(qiáng)。

優(yōu)勢企業(yè)A的跟隨者決策收益GA得到最小值46 283時的信息披露為ρ（A，B）＝0.18。并且當(dāng)ρ（A，B）∈（0，0.36）時，由于優(yōu)勢企業(yè) A 的研發(fā)成功率高于企業(yè)B，信息披露較少，劣勢企業(yè)B作為先行者的信息披露對于優(yōu)勢企業(yè)A作為跟隨者決策的收益影響小于企業(yè)A依賴自身的研發(fā)成功率的決策收益。這就意味著，當(dāng)劣勢企業(yè)作為先行者且信息披露較小時，優(yōu)勢企業(yè)雖然處于跟隨者的地位，但卻完全可以不顧及先行者的先動優(yōu)勢，依靠自身研發(fā)實力而獨(dú)立決策R＆D項目投資，這樣反倒會獲得更大的收益。

4 結(jié)束語

本文把實物期權(quán)理論應(yīng)用在多種不確定的R＆D項目投資環(huán)境中，并將階段性的投資機(jī)會和競爭性行為結(jié)合，更加準(zhǔn)確地對R＆D項目收益進(jìn)行評估，企業(yè)可以選擇相應(yīng)的時機(jī)進(jìn)行投資，以實現(xiàn)自身收益的最大化。

基于眾多R＆D項目投資是根據(jù)其他企業(yè)研發(fā)帶來的正外部性以實現(xiàn)新產(chǎn)品開發(fā)，因此先行者研發(fā)的信息披露對跟隨者的期權(quán)價值和收益會產(chǎn)生積極的影響，但是過少的信息披露反而不如優(yōu)勢企業(yè)依靠自身的研發(fā)實力獲得更大的跟隨者收益。

如果不考慮R＆D項目投資中的市場風(fēng)險、技術(shù)風(fēng)險和突發(fā)風(fēng)險等不確定性因素，企業(yè)往往會高估項目的價值，這會對未來的投資決策產(chǎn)生不利的影響，也會對項目轉(zhuǎn)讓和收購的估值過分樂觀。

本文通過計算4種投資決策收益——先行者收益、跟隨者收益、搶先同時進(jìn)行投資收益、等待市場時機(jī)再同時投資收益，最終得到企業(yè)在多種不確定條件下的最佳決策。隨著市場價值增加，各種決策的收益增長幅度并不相同，因此企業(yè)獲得的最佳決策也會隨之改變，并且會出現(xiàn)若干投資決策臨界點(diǎn)，使得企業(yè)可以選擇2種決策的任意一個作為最佳決策。

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