一類非線性蘭徹斯特方程的相軌線分析

謝英超， 程 燕， 李文濤

（陸軍軍官學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031）

0 引 言

蘭徹斯特方程是在1914年由英國(guó)工程師F.W.Lanchester創(chuàng)立的［1］，是動(dòng)態(tài)描述作戰(zhàn)對(duì)抗性態(tài)勢(shì)的定量工具，已廣泛應(yīng)用于作戰(zhàn)進(jìn)程的定量研究與分析中［2］。針對(duì)不斷變化的戰(zhàn)爭(zhēng)形態(tài)，許多軍事運(yùn)籌學(xué)工作者對(duì)蘭徹斯特方程進(jìn)行了諸多改進(jìn)，并提出了諸如蘭徹斯特混合律［3］、偏微分戰(zhàn)斗模型［4］、隨機(jī)格斗模型［5］及多兵種協(xié)同作戰(zhàn)模型［6］等新型作戰(zhàn)理論。

隨著信息化戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)代的到來(lái)，對(duì)高技術(shù)條件下的信息化戰(zhàn)爭(zhēng)的分析與研究已成為當(dāng)前作戰(zhàn)理論研究的熱點(diǎn)之一。傳統(tǒng)的蘭徹斯特方程已無(wú)法描述信息因素對(duì)現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)進(jìn)程的影響，因此需要對(duì)蘭徹斯特方程做進(jìn)一步的改進(jìn)［7］。文獻(xiàn)［8］通過(guò)引入戰(zhàn)場(chǎng)感知系數(shù)和信息優(yōu)勢(shì)系數(shù)研究了反映信息對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)影響的廣義蘭徹斯特作戰(zhàn)模型，具體公式如下：

其中，R（t）、B（t）分別為t時(shí)刻紅、藍(lán)方兵力數(shù)量；αs、βs分別為直接火力時(shí)紅、藍(lán)方每個(gè)戰(zhàn)斗成員在單位時(shí)間內(nèi)平均毀傷對(duì)方戰(zhàn)斗成員的數(shù)量；αl、βl分別為面火力時(shí)紅、藍(lán)方戰(zhàn)斗成員的作戰(zhàn)效能；ur∈（0，1）、ub∈（0，1）分別為紅、藍(lán)方的戰(zhàn)場(chǎng)感知系數(shù)；k＝ur／ub為紅方對(duì)藍(lán)方的信息優(yōu)勢(shì)系數(shù)。

文獻(xiàn)［9］通過(guò)引入信息作戰(zhàn)能力系數(shù)、戰(zhàn)場(chǎng)暴露系數(shù)，研究了現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)條件下的非線性蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型，具體公式為：

其中，R（t）、B（t）分別為t時(shí)刻紅、藍(lán)方兵力數(shù)量；αe、βe分別為紅、藍(lán)方的暴露毀傷系數(shù)；αc、βc分別為紅、藍(lán)方的隱蔽毀傷系數(shù)；εr、εb分別為紅、藍(lán)方的信息作戰(zhàn)能力系數(shù)；Er∈［0，1］、Eb∈［0，1］分別為紅、藍(lán)方的戰(zhàn)場(chǎng)暴露系數(shù)。

（1）式、（2）式均可以轉(zhuǎn)化為：

其中，x（t）、y（t）分別為t時(shí)刻紅、藍(lán)方兵力數(shù)量；a、b、c、d分別為對(duì)應(yīng)的正系數(shù)。

微分方程組（3）式為非線性自治系統(tǒng)，其解析解難以求得，而相軌線分析是研究非線性自治系統(tǒng)的一類行之有效的方法，已被廣泛應(yīng)用于廣告學(xué)［10］、傳 染 病 模 型［11］、生 態(tài) 系 統(tǒng)［12］及 磁 學(xué)［13］等領(lǐng)域。本文將對(duì)（3）式進(jìn)行相軌線分析，并結(jié)合（1）式，將所得結(jié)果應(yīng)用于分析作戰(zhàn)進(jìn)程和預(yù)測(cè)戰(zhàn)斗結(jié)局中。

1 主要結(jié)果

假設(shè)（3）式滿足如下初始條件：

考慮到問(wèn)題研究的實(shí)際意義，有x（t）≥0，y（t）≥0，結(jié)合（3）式有（x，y）∈U＝［0，x0］×［0，y0］。設(shè)戰(zhàn)斗結(jié)束時(shí)間為T，即x（T）≥0，y（T）＝0或x（T）＝0，y（T）≥0，則t∈I＝［0，T］。令Ω＝I×U，則（t，x，y）∈Ω。

定理1 （3）式在U內(nèi)具有唯一的奇點(diǎn)P（0，0），且該奇點(diǎn)為（3）式的鞍點(diǎn)。

證明 根據(jù)奇點(diǎn)的定義，（3）式的奇點(diǎn)滿足：

求得奇點(diǎn)坐標(biāo)為 P（0，0），Q（－a／b，－c／d），而P∈U，Q?U，故（3）式在U 內(nèi)具有唯一的奇點(diǎn)P（0，0）。奇點(diǎn)P（0，0）附近的線性近似方程組為：

其特征方程為λ2－ac＝0，得，故P（0，0）為鞍點(diǎn)。

定理2 在區(qū)域Ω內(nèi)，初值問(wèn)題（3）式、（4）式在區(qū)間t∈I＝［0，T］上存在唯一的解x（t）與y（t），且（t，x（t），y（t））∈Ω。

證明 分析（3）式及其初始條件，結(jié)合初值問(wèn)題解的局部存在唯一性定理與解的延拓性定理［14］，易得定理2。

定理3 在相平面U 上，（3）式的初始點(diǎn)在S（x0，y0）的相軌線有且只有1條。

證明 （1）由定理2可知，初值問(wèn)題（3）式、（4）式在區(qū)間t∈I＝［0，T］上存在解，設(shè)其解為x（t）、y（t），將t看成參數(shù)，消去即可得（3）式的初始點(diǎn)在S（x0，y0）的相軌線方程為y＝y(tǒng)（x），并且有（x，y）∈U。

（2）假設(shè)（3）式的初始點(diǎn)在 S（x0，y0）有2條不同的相軌線，分別為Γ1、Γ2，則必存在一點(diǎn)M（x＊y＊）∈Γ1、M∈Γ2且Γ1、Γ2在點(diǎn)M 處分叉。由定理2可知初值問(wèn)題（3）式、（4）式在區(qū)間t∈I＝［0，T］上的解是唯一的，Γ1、Γ2不會(huì)在點(diǎn)S處分叉，故M≠S。假設(shè)Γ1、Γ2過(guò)點(diǎn)M的時(shí)間分別為t1、t2，所以其對(duì)應(yīng)的積分曲線過(guò)（t1，x＊，y＊）、（t2，x＊，y＊）。在點(diǎn)（t，x，y）處再經(jīng)過(guò)充分小的Δt時(shí)間內(nèi)，有，又由于（3）式為自治系統(tǒng)，故Δx、Δy只與該點(diǎn)的x、y值有關(guān)而與t無(wú)關(guān)。從而，Γ1、Γ2不會(huì)在點(diǎn)M處分叉，出現(xiàn)矛盾。定理3證畢。

定理4 在相平面U 上，（3）式的初始點(diǎn)在S（x0，y0）的相軌線滿足：

其中

證明 將（3）式的第2個(gè)式子除以第1個(gè)式子可得：

對(duì)（8）式分離變量得：

對(duì)（9）式兩端從0到t積分可得：

對(duì)（10）式進(jìn)行變形即可得（7）式。定理4證畢。

2 預(yù)測(cè)戰(zhàn)斗結(jié)局

定理5（預(yù)測(cè)戰(zhàn)斗結(jié)局的判定定理） 假設(shè)交戰(zhàn)雙方兵力變化規(guī)律與初始兵力分別滿足（3）式、（4）式，則當(dāng)γ＝ρ時(shí)，雙方勢(shì)均力敵；當(dāng)γ＜ρ時(shí)，藍(lán)方將先降為0，即紅方將獲勝；當(dāng)γ＞ρ時(shí)，紅方將先降為0，即藍(lán)方將獲勝；且｜γ－ρ｜的值越大，勝方剩余兵力越多。其中，

證明 （1）令x＝y(tǒng)＝0，代入（7）式得：

由（11）式可知，當(dāng)γ＝ρ時(shí)，（0，0）滿足（7）式，故此時(shí)（3）式的相軌線經(jīng)過(guò)（x0，y0）與（0，0）。由定理3可知，（3）式的初始點(diǎn)在S（x0，y0）的相軌線唯一，故紅藍(lán)雙方此時(shí)同時(shí)降為0，勢(shì)均力敵。

（2）令y＝0，代入（7）式得：

將f、g的具體形式代入（12）式得：

由（13）式可得：

由于g為區(qū)間［0，＋∞）上的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，故g（0）－g（y0）＜0，將其代入（14）式可得：

當(dāng)γ＜ρ＝g（0）－f（0）時(shí)，可得：

由（14）式、（16）式可得：

從而

由（15）式、（18）式及引理1可知，存在唯一的x1∈（0，x0），使（12）式成立，即代數(shù)方程（12）有唯一的解x1∈（0，x0）。從而，當(dāng)γ＜ρ時(shí)，（3）式的相軌線經(jīng)過(guò)（x0，y0）與（x1，0）。由定理3可知（3）式的初始點(diǎn)在S（x0，y0）的相軌線唯一，故此時(shí)藍(lán)方兵力先降為0，即紅方將獲勝，并且紅方的剩余兵力為x1，隨著ρ－γ的值增大而增大。

（3）同理可得當(dāng)γ＞ρ時(shí)，紅方兵力先降為0，即藍(lán)方將獲勝。

定理4證畢。

3 算例分析

以模型（1）為例，可得等價(jià)數(shù)學(xué)模型的相應(yīng)系數(shù)為a＝βsub／k，b＝（1－ub）βl／k2，c＝kαsur，d＝（1－ur）αlk2。依據(jù)文獻(xiàn)［8］，可取x0＝6 000，y0＝10 000，αl＝0.000 01，βl＝0.000 02，αs＝0.1，βs＝0.2，ub＝0.1，當(dāng)ur分 別 取 0.10、0.14、0.16、0.20時(shí)，計(jì)算γ與ρ的值、它們之間的大小關(guān)系、差的絕對(duì)值及戰(zhàn)斗結(jié)局，見(jiàn)表1所列。

表1 ur取不同值時(shí)的勝負(fù)分析

為驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性，當(dāng)ur分別取0.10、0.14、0.16、0.20時(shí)，利用（7）式得到的解析相軌線和利用數(shù)值解法得到的對(duì)應(yīng)的數(shù)值相軌線進(jìn)行比較，結(jié)果如圖1所示。

圖1 ur取不同值時(shí)的解析相軌線與數(shù)值相軌線

由圖1可知，2種方法得到的相軌線非常地接近，ur取不同值時(shí)的戰(zhàn)斗結(jié)局與表1預(yù)測(cè)的一致，并且勝方的剩余兵力與｜γ－ρ｜的值成正相關(guān)關(guān)系，從而證實(shí)了相軌線分析的有效性與定理5的正確性。由表1、圖1可知，隨著ur的增大，戰(zhàn)局發(fā)生了逆轉(zhuǎn)，尤其是當(dāng)ur＝0.20時(shí)，紅方以很小的代價(jià)就贏得了戰(zhàn)爭(zhēng)，這充分體現(xiàn)了加強(qiáng)信息優(yōu)勢(shì)的重要性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將基于非線性蘭徹斯特方程的信息化戰(zhàn)爭(zhēng)模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式的數(shù)學(xué)模型，在一定區(qū)域內(nèi)，討論了該數(shù)學(xué)模型的奇點(diǎn)及奇點(diǎn)類型，并得到了模型解的存在唯一性和相軌線的唯一性及其滿足的方程。在相軌線方程及其唯一性的基礎(chǔ)上，得到了預(yù)測(cè)戰(zhàn)斗結(jié)局的判定定理，并進(jìn)行了算例分析。結(jié)果表明，相軌線分析是研究該類蘭徹斯特方程的行之有效的方法，也證實(shí)了判定定理的正確性。相軌線分析的優(yōu)點(diǎn)在于可以不具體求解蘭徹斯特方程，只需要知道相關(guān)系數(shù)與初始兵力值就可以預(yù)測(cè)戰(zhàn)斗結(jié)局，將結(jié)局代入相軌線方程并求解相應(yīng)的代數(shù)方程，即可得到勝方剩余兵力。因此，相軌線分析是能用來(lái)分析作戰(zhàn)進(jìn)程和預(yù)測(cè)戰(zhàn)斗結(jié)局的簡(jiǎn)便而有效的方法。還可以通過(guò)設(shè)置某個(gè)系數(shù)或初始兵力的系列值，研究戰(zhàn)斗結(jié)局與勝方剩余兵力的變化規(guī)律，可得出各因素對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的影響程度，從而能為武器裝備發(fā)展規(guī)劃、現(xiàn)代軍事練兵等提供一定的理論依據(jù)。

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