Pareto分布中尺度參數(shù)的區(qū)間估計

王 娟，徐付霞

(天津工業(yè)大學 理學院，天津 300387)

Pareto分布中尺度參數(shù)的區(qū)間估計

王 娟，徐付霞

(天津工業(yè)大學 理學院，天津 300387)

研究了樞軸量法、極大似然估計的漸近正態(tài)性法和輪廓似然函數(shù)法，求解了Pareto分布中尺度參數(shù)的置信區(qū)間.通過生成隨機數(shù)進行數(shù)值模擬分析，得出區(qū)間估計和區(qū)間長度，對這幾種區(qū)間估計方法進行了比較.

Pareto分布；樞軸量；極大似然；輪廓似然

近年來，一些文獻已對比較常見分布的未知參數(shù)的區(qū)間估計問題進行了研究，解決了很多與之相關的實際問題，如正態(tài)分布中均值的區(qū)間估計和學生成績之間的關系；指數(shù)分布中，參數(shù)的區(qū)間估計和組件壽命之間的關系等[1].Pareto分布作為一種收入分布由意大利經濟學家Pareto提出，它不僅在經濟收入模型中得到應用，在其他領域中也得到了廣泛的應用.可以用它描述各種社會經濟、物理以及生物現(xiàn)象，例如城市人口、股票價格、商業(yè)失效、江河流量和某種藥理過后病人的存活時間等，而且在軍事、天文領域也得到了廣泛應用[2].在此之前，很多文章只研究了Pareto分布參數(shù)的多種點估計方法，而研究Pareto分布中參數(shù)的區(qū)間估計更有意義，便于人們對各種實際問題進行更加全面深入地探討.因此，本文給出Pareto分布中尺度參數(shù)的幾種區(qū)間估計方法，重點研究之前不常見的極大似然估計的漸近正態(tài)性法和輪廓似然函數(shù)法，并說明這幾種方法的適應范圍及優(yōu)缺點.

1 預備知識

1.1 樞軸量[3]

一般來說，欲構造θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間，我們首先考慮θ的極大似然估計MLE，或θ的充分統(tǒng)計量T=T(X)，并基于T(X)尋找樞軸量，然后構造θ的置信區(qū)間.在統(tǒng)計量T(X)是連續(xù)型隨機變量時，設T(X)的分布函數(shù)為G(t;θ)=Pθ{T(X)≤t}，那么G(T(x)t;θ)～U(0,1)，U(0,1)為(0,1)上的均勻分布，此時G(T(X);θ)可被取為樞軸量.

選取兩個常數(shù)c和d(0

Pθ{c≤G(T(X);θ)≤d}=1-α

(1)

通過求解由式(1)確定的關于θ的不等式c≤G(T(X);θ)≤d就可得到θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間.

1.2 極大似然估計的漸近正態(tài)性[4]

極大似然估計是使用極為廣泛的一種參數(shù)估計方法，使用該估計的最大優(yōu)點是能得到抽樣分布的漸近分布，從而得到標準誤和置信區(qū)間的近似值.設隨機變量X的分布函數(shù)為F∈{F(x;θ)∶θ∈Rd}，(d≥1).X1,…,Xn是X的一個樣本，(·)和分別表示對數(shù)似然函數(shù)和參數(shù)向量θ=(θ1,…,θd)的極大似然估計，則在一定的正則條件下，當n充分大時，有

其中“A”表示漸近分布，Nd表示d維正態(tài)分布，矩陣

IE(θ)度量了對數(shù)似然函數(shù)的期望曲率，稱為Fisher信息陣.

其中：Z1-α/2表示標準正態(tài)分布的1-α/2分位數(shù)，以下同.

(2)

通常這個區(qū)間比用Fisher信息陣得到的區(qū)間更精確.

1.3 輪廓似然函數(shù)[5]

當總體分布含有兩個以上的參數(shù)，而我們只對其中的某個或某幾個感興趣時，可以用輪廓似然函數(shù)方法求解其置信區(qū)間.這種方法可以避免未研究的參數(shù)對所研究參數(shù)的區(qū)間估計造成影響.

設θ=(θ(1),θ(2)),θ(1)表示θ中感興趣的k維分量，θ(2)表示θ的其他d-k維分量，也稱為討厭參數(shù).θ(1)的輪廓似然函數(shù)定義為

即對每個θ(1)的值，輪廓似然函數(shù)就是除θ(1)之外，似然函數(shù)對所有其他分量求最大值.在適當?shù)恼齽t條件下，當n充分大時，有

Dp(θ(1))=2{

Dp(θ(1))=2{p(θ(1))}稱為偏差度函數(shù)表示自由度為k的卡方分布.對于給定的顯著性水平α，有

成立，由此可得θ(1)的置信水平為1-α的置信區(qū)間為

(3)

2 Pareto分布中尺度參數(shù)的區(qū)間估計

設總體X服從參數(shù)為β,θ的Pareto分布，其概率密度為

(4)

其中：β為形狀參數(shù)，θ為尺度參數(shù)，或稱門限參數(shù).本文對尺度參數(shù)θ作區(qū)間估計，對于形狀參數(shù)β分兩種情況研究.

2.1 β已知時，θ的區(qū)間估計

我們可以用兩種方法得到θ的區(qū)間估計：

2.1.1樞軸量法

(5)

其中I(θ,+∞)(x(1)是示性函數(shù)，X(1)=min{X1,…,Xn}，x(1)是X(1)的觀測值.

使式(5)達到最大，就得到參數(shù)θ的極大似然估計

. (6)

下面求X(1)的分布函數(shù)，由式(4)可得Pareto分布的分布函數(shù)為

于是X(1)的密度函數(shù)和分布函數(shù)分布為

任選取兩個常數(shù)c和d(0

從而θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為

區(qū)間長度為

可見區(qū)間平均長度關于c遞增，取最小的c值，c=0，就得到平均長度最短的置信度為1-α的置信區(qū)間為

(7)

2.1.2極大似然估計的漸近正態(tài)性法

相應的1階觀測信息矩陣為

由1.2節(jié)的式(2)得θ的近似置信度為1-α的置信區(qū)間為

(8)

多數(shù)情況下，參數(shù)β事先未給定，這時β不能直接用于對參數(shù)θ的估計，我們可以采用以下方法求解θ的估計.

2.2 當未β知時，θ的區(qū)間估計

2.2.1極大似然估計的漸近正態(tài)性法

(9)

使式(9)取得最大值，就得到的極大似然估計

(10)

(11)

由1.2節(jié)的式(2)得θ,β的置信度為1-α的置信區(qū)間分別為

(12)

2.2.2輪廓似然函數(shù)法

由式(9)得θ的輪廓似然函數(shù)為

對任意θ，欲使(θ,β)取最大值，需對(θ,β)關于β求導，并令其為0，即得

(13)

則

偏差度函數(shù)為

Dp(θ)=2{

則對給定的α，有

成立，即

(14)

3 數(shù)值模擬分析

3.1 β已知，對θ的區(qū)間估計的數(shù)值模擬

假設β=0.5已知(為0.5)，通過Matlab軟件生成n=16個服從參數(shù)θ=10的Pareto分布的隨機數(shù)如下[6]：

32.425，145.863，1448.172，23.907，67.620，14.705，28.806，286.610，230.913，28.327，883.347，10.201，1635.349，2403.728，11.355，13.507

進一步，選取不同的樣本容量n，生成服從參數(shù)β=0.5,θ=10的Pareto分布的隨機數(shù)，得到兩種估計方法對應的置信區(qū)間，其長度分別為L1,L2,見表1.

表1 β已知時，兩種估計方法的區(qū)間長度

為了更直觀的看出L隨樣本容量n的變化趨勢，畫出n與兩種方法得到的區(qū)間長度之間的變化關系圖，如圖1(A).

圖1 區(qū)間長度隨n的變化關系圖

由圖1可見，樞軸量法得到的區(qū)間估計長度L1比極大似然估計的漸近正態(tài)性法得到的區(qū)間估計長度L2短.當樣本容量n較小時，樞軸量法和極大似然估計的漸近正態(tài)性法所得的區(qū)間估計長度都較大，隨著樣本容量n的逐步增大，兩種估計方法的區(qū)間長度逐漸減小，精度提高，兩者越來越接近且趨于平穩(wěn)(隨著的增大，圖中曲線斜率變化幅度越來越小).為了保證估計的精度，我們多數(shù)采用樞軸量法，但當樞軸量過于復雜難于求解，并且樣本容量足夠大時，極大似然估計的漸近正態(tài)性法也不失為一種好的區(qū)間估計方法.

3.2 β未知，θ對的區(qū)間估計的數(shù)值模擬

利用Matlab軟件，生成了n=16個服從參數(shù)β=0.1,θ=0.2的Pareto分布的隨機數(shù)為： 1.274×104，155.352，19.291，18.349，393.295，3.866×107，18.327，2.333， 1.076×1010， 2.209， 2.098×104， 1.847×106， 3.631， 8.923，47.963，722.575.

再應用輪廓似然函數(shù)法得到偏差度函數(shù)

對于給定的顯著性水平α有

可見，當β未知時，通過上述兩種方法得到的θ的區(qū)間估計，輪廓似然函數(shù)法的區(qū)間長度較極大似然估計的漸近正態(tài)性法的區(qū)間長度h2短.為了進一步對兩種方法作出比較，現(xiàn)取不同的樣本容量n，得到兩種估計方法對應的區(qū)間長度，分別為h1,h2.如表2.

表2 未知時，兩種估計方法的區(qū)間長度

相應地，區(qū)間長度h隨樣本容量的變化關系如圖1(B) .

[1] 蔣福坤, 劉正春. 指數(shù)分布參數(shù)的最短區(qū)間估計[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理, 2004, 23(3): 43-45.

[2] 李海芬.Pareto分布的統(tǒng)計分析. [D]. 上海: 華東師范大學, 2004.

[3] 茆詩松, 王靜龍. 高等數(shù)理統(tǒng)計[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[4]STUARTC.AnintroductiontoStatisticalModelingofExtremeValue[M].NewYork:Springer, 1990.

[5] 史道濟. 實用極值統(tǒng)計方法[M]. 天津：天津科學技術出版社, 2005.

[6]NELSENRB.Anintroductiontocopulas[M].NewYork:Springer, 1998.

[7] 茆詩松 ,程依明. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

Interval estimates on shape parameter of Pareto distribution

WANG Juan, XU Fu-xia

(School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China)

In this paper, the methods of pivot quantity, the asymptotic normality of maximum likelihood estimate and the profile likelihood function were used to solve the confidence interval of the shape parameter of Pareto distribution. Calculated the interval estimation and interval length by generating more groups of random numbers and carry on the comparison to the interval estimation methods.

Pareto distribution; pivot quantity; max likelihood; profile likelihood

2015-02-27.

王 娟(1990-)，女，碩士，研究方向：極值統(tǒng)計.

O212

A

1672-0946(2015)05-0629-05