萬“變”不離其宗

羅新軍

三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要內容，也是每年高考的必考內容。它所占的比重約為15%，即22分左右。 綜觀近年來全國各套高考數(shù)學試題，我們發(fā)現(xiàn)對三角函數(shù)的考查有以下一些知識類型與特點：

考察的主要內容有：三角函數(shù)的性質、圖像及其變換、角的變換技巧、三角恒等變形。其考查的知識點以平面向量、解析幾何等為載體，用解三角形來考查學生對三角函數(shù)性質的應用，其知識都來源于教材。在高考試題中，三角函數(shù)試題一般有選擇題或填空題1個，解答題1個，分值在16分—20分之間，屬中低檔題，一般不會出現(xiàn)較難題，更不會出現(xiàn)難題，因而對大多數(shù)學生來說，三角函數(shù)試題是高考中的得分點。在解答三角高考題時要善于為發(fā)現(xiàn)角和函數(shù)運算間的差異，努力運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系，選擇恰當?shù)墓?，促使差異的合理轉化。

通過我多年的高中數(shù)學教學實踐，本人在三角函數(shù)角的變換技巧方面總結歸納出了一些基本經(jīng)驗。

1、常值代換;將特殊值還原成三角式進行代換，特別是“1”的多種變形，是數(shù)值轉化為角的函數(shù)特例。在運用和差角正切公式進行化簡和求值，注意公式的逆用和特殊角的變形。

如：1=tanθcotθ，1=sin2θ+cos2θ，1=csc2θ-cot2θ，1=sec2θ-tan2θ，1+tanθ1-tanθ=tan45°+tanθ1-tan45°·tanθ=tan（45°+θ）等等。

例1、計算：1+tan15°1-tan15°的值。

解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°·tan15°=tan（45°+15°）=tan60°=3

2、降冪與升次：余弦二倍角公式正用升次，逆用降冪。降冪與擴角可同時出現(xiàn)，兩者有一種需要，就可作降冪變形，升次則相反。遇到正弦、余弦的平方，往往要進行降次，使用半角公式求解時，公式前的符號是由于所在的象限決定的。常用降冪公式有：

sin2=1-cos22，cos2=1+cos22

例2、化簡：12+1212+12cos2（3π2<<2π）

解：原式=12+1212+12（2cos2-1）=12+12cos2=12+12cos，

∵3π2<<2π，∴cosɑ > 0

即：原式12+12cos=12+12（2cos22-1）=cos22=cos2

∴3π4<2<π，cos2<0∴原式 =-cos2

3、函數(shù)名稱變換：在三角函數(shù)關系式的變形過程中，要注意統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱。異名化同名、切割化弦、弦割化切等以弦切歸一為原則的化歸思想方法，要注意角與角之間的和、差、倍關系和特殊角之間的關系等。同時還要觀察式子的特征，適當選用公式進行化簡。常用的公式有誘導公式和

tan=sincos，cot=cossin，tan2=±1-cos1+cos=sin1+cos=1-cossin等，在應用研究這些公式時應當注意根據(jù)不同的情況，靈活地選擇適當?shù)墓絹斫忸}。

例3、證明：sinθcosθ2cosθ（1+tanθ·tanθ2）=tanθ

證明：

左邊=2sinθcosθ2cosθ（1+sinθcosθ·1-cosθcosθ）=sinθ·（1+1-cosθcosθ）=sinθcosθ=tanθ=右邊

4、湊配式： 二倍角正弦連續(xù)使用時要注意構造余弦的二倍角關系，將一個式子看作分母為1的分式，再將分子分母乘以適當?shù)氖阶樱员阊h(huán)使用正弦的二倍角公式求角。

例4、化簡：cos20°·cos40°·cos60°·cos80°。

化簡出原式=12·2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°=

2sin40°·cos40°·cos80°2·4sin20°=2sin80°·cos80°2·8sin20°=sin160°16·sin20°=116

例5、求值：sin6°·sin42°·sin66°·sin78°。

解：原式 = sin6°·cos42°·cos24°·cos12°=sin6°·cos12°·cos24°·cos42°

sin6°·2sin12°·cos12°·cos24°·cos48°2sin12°

=sin6°·2sin24°·cos24°·cos48°2·2sin12°=sin6°·2sin48°·cos48°2·4sin12°

=sin6°·sin96°8sin12°=2sin6°·cos6°2·8sin12°=sin12°16sin12°=116

5、平方：兩式的平方和或平方差來求兩角和與差的余弦值。

例6、已知sin-sinβ=-13，cos-cosβ=12，求cos（-β）的值。

解出sin-sinβ=-13，（sin-sinβ）2=19，

cos-cosβ=12，（cos-cosβ）2=14，

由（sin-sinβ）2+（cos-cosβ）2=2-2（sinsinβ+coscosβ）

=2-2cos（-β）=1336得cos（-β）=5972

6、萬能代換：對于形如asinθ+bcosθ的式子，要引入輔角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由a、b的符號決定，的值由tan ?= ?確定。對于這種思想務必要強化訓練，加深認識。

由上述題型總結歸納出三角函數(shù)的化簡與求值的常用方法和技巧如下：

①三角函數(shù)的化簡時，應合理利用有關公式，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化同角、化同名、切割化弦、高次化低次等。

②三角函數(shù)的求值問題，主要是給角求值問題和給值求角問題。它們都是通過恰當?shù)淖儞Q，與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系。選用公式時請注意方向性、靈活性，以創(chuàng)造出消項或約項的機會，簡化問題。

（作者單位：新疆疏附縣第二中學）endprint