在反函數(shù)法求函數(shù)值域時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問題

文/夏金亮

在反函數(shù)法求函數(shù)值域時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問題

文/夏金亮

對于函數(shù)值域問題的討論是初等數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的問題。其重要之處在于這類問題研究的是函數(shù)基本概念，它與各類重要函數(shù)、反函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、最值和導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系。對認(rèn)知函數(shù)以及后面的相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著非凡的意義，所以求函數(shù)的值域也成為各類考試的熱門知識點(diǎn)。本文將對求函數(shù)值域時(shí)使用反函數(shù)法應(yīng)注意的問題作出討論。

反函數(shù)法;函數(shù);值域

這個(gè)結(jié)果雖然正確，但是其簡答的方法卻又邏輯上的錯(cuò)誤。

那么對于例1使用上述方法解答的結(jié)果為什么會(huì)正確呢?在什么情況下使反函數(shù)表達(dá)式有意義的一切x值的集合恰好是原函數(shù)的值域?對于這個(gè)問題，編者認(rèn)為下面的定理對其作出了完整的解釋:

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域A是使表達(dá)式y(tǒng)=f(x)有意義的一切x的值的集合，其反函數(shù)的表達(dá)式為y=g(x)，如果使表達(dá)式y(tǒng)= g(x)有意義的一切x值的集合為B0值域?yàn)锳0，且存在g:B0→A0是一一映射，那么B0就是原函數(shù)y=f(x)的值域B。

證明:對于任意的b∈B，有a∈A，使得f(a)=b

∵f有逆映射g，故有g(shù)(b)=a，∴b∈B0，即有B?B0。

現(xiàn)任取b0∈B0，則存在a0使得g(b0)=a0，由于g:B0→A0是一一映射，其逆映射確定的函數(shù)應(yīng)為y=f(x)，(x∈A0)，故有f(a0)=b0，其中a0∈A0，由于A是使表達(dá)式y(tǒng)=f(x)有意義的一切x的值的集合，∴A0?A，∴a0∈A，于是由f(a0)=b0知b0∈B

∴B?B0

綜上所述知B=B0，證畢。現(xiàn)在我們回頭看看前面所提到的例1，例2兩個(gè)小題:

因此對于利用反函數(shù)求函數(shù)值域這一方法必須在學(xué)生對于函數(shù)一一對應(yīng)關(guān)系以及逆映射等概念有充分理解掌握的前提下進(jìn)行講解，并對于那些類型函數(shù)值域求值不適合使用此反函數(shù)求值法給出例題解說。另外求原函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，同學(xué)們往往容易出現(xiàn)偏差，而影響求原函數(shù)的值域，這也是要十分注意的一個(gè)問題。

由上述例題可見，在使用求反函數(shù)的定義域來求原函數(shù)的值域時(shí)，對于原函數(shù)的定義域的多樣性我們必須要有清晰的認(rèn)知和理解，而準(zhǔn)確無誤的求出原函數(shù)的反函數(shù)是使用反函數(shù)法求原函數(shù)值域的關(guān)鍵問題。

(作者單位:凱里學(xué)院)