行走過程中人體下肢受力模型的建立與驗證

張軍,李建喜,夏鈺坤,何旺驍,王麗娟

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行走過程中人體下肢受力模型的建立與驗證

張軍1,李建喜2,夏鈺坤3,何旺驍4,王麗娟5

近年來,在鞋的設(shè)計[1-2]、傷病預(yù)防以及下肢康復(fù)儀器的設(shè)計[3-4]中都需要考慮人體下肢的力學狀態(tài)。在所有人體下肢力學模型的構(gòu)建中,足底壓力測試是其重要環(huán)節(jié)。目前,大多數(shù)國內(nèi)外研究都是通過足底測力帶和測力臺直接進行測量,或是利用有限元模型計算出足底的靜態(tài)受力情況[5]。然而,運動狀態(tài)下關(guān)節(jié)的受力狀態(tài)有別于靜態(tài)時的情況。因此,在利用足底受力測試數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,應(yīng)充分結(jié)合其他研究手段,建立適用于人體運動(如走、跑、跳)的動態(tài)下肢受力模型[6],這是目前下肢力學建模研究中的當務(wù)之急。

人體下肢由結(jié)構(gòu)復(fù)雜的肌肉、韌帶、骨骼等組成。因此,研究行走過程中下肢的受力狀態(tài),不僅要考慮足底的受力和各部分的質(zhì)量,還必須綜合考慮關(guān)節(jié)、肌肉的受力[7-8]。由于關(guān)節(jié)、肌肉的受力無法直接測量,所以目前國內(nèi)外對下肢運動過程中關(guān)節(jié)、肌肉的受力研究還存在不足。Hurwitz通過靜態(tài)力學模型分析了下肢關(guān)節(jié)的受力狀況[9]。通常采用的關(guān)節(jié)力矩模型只重點考慮軀體的重力和足底壓力,計算結(jié)果僅能反映出以關(guān)節(jié)為支點的肌肉力矩[10-11]。Damsgaard通過建立整個人體的有限元模型,計算了踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的受力狀態(tài)[12]。楊濟匡等人采用有限元方法建立了人體下肢的多關(guān)節(jié)和韌帶模型[13],然而該方法需要利用超級計算機進行運算,計算過程復(fù)雜,且無法給出下肢關(guān)節(jié)受力的解析結(jié)果。為準確、簡便地分析關(guān)節(jié)受力情況,需要建立一種綜合運動學、動力學、生物力學數(shù)據(jù)的新模型。

本研究建立了一個新型的人體下肢力學模型,并建立了相應(yīng)的動力學方程;通過高速攝像機、足底測力臺和表面肌電儀等測試儀器獲取的運動學、動力學和生物力學數(shù)據(jù),對方程進行了求解,并通過對人體行走時下肢肌肉電位的測定,驗證了模型的準確性與可靠性。

1 研究方法

1.1 新型力學模型的構(gòu)建

將人體的下肢受力狀態(tài)簡化為圖1所示的力學模型,包括1個重物、3個剛桿和4部分肌肉。人體的上半部分被簡化成固結(jié)至臀部的重物;大腿、小腿和足部被簡化成3個剛桿;踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)被簡化成鉸接點;肌肉作用力被簡化成4對作用在剛桿上的未知相對作用力,分別位于大腿和小腿的兩側(cè)。因模型將人體簡化為二維情況進行分析,所以股二頭肌和腓腸肌在圖上出現(xiàn)了交叉。

圖1 人體下肢的力學模型

地面反作用力被處理成二維平面內(nèi)的均布載荷,壓力中心的移動簡化成勻速移動。由于解剖學數(shù)據(jù)難以處理的原因,將股二頭肌簡化成與大腿平行,股四頭肌的下半部分簡化成與小腿平行。

為了建立足部和小腿的控制方程,分別對其進行受力分析。對于足部,需要考慮踝關(guān)節(jié)(O1)的關(guān)節(jié)力(Fa)、脛骨前肌和腓腸肌的肌肉力(F1、F2)、足底壓力、足底摩擦力和足部自身重力(Gfoot)。對于小腿,需要考慮踝關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力、小腿自身重力(Gcalf)、脛骨前肌肌肉力、股四頭肌肌肉力(F3)、股二頭肌肌肉力(F4)和膝關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)力。足部和小腿幾何的標注及受力示意圖如圖2所示。

對足部質(zhì)心A分別建立x、y方向移動(xA(t)、yA(t))和轉(zhuǎn)動(αy(t))的3個運動方程

(1)

(2)

(3)

同理,對小腿質(zhì)心B分別建立x、y方向移動(xB(t)、yB(t))和轉(zhuǎn)動(βy(t))的3個運動方程

(4)

(5)

(6)

(a)模型標注

(b)足部受力示意圖

(c)小腿受力示意圖圖2 受力模型示意圖

這6個方程能夠?qū)ψ悴亢托⊥鹊倪\動受力進行完整的描述,并可用于求解出踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)處的受力情況。由方程及受力示意圖可知,模型適用于下肢近似在二維平面內(nèi)運動、同時上肢近似保持豎直狀態(tài)的情況。

在上述方程中,小腿和足部的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量等生物力學參數(shù)mcalf、mfoot、Jcalf和Jfoot可由人體的質(zhì)量與身高根據(jù)經(jīng)驗公式求得,足底壓力可由受力臺測得,質(zhì)心關(guān)于時間的運動方程可以由高速攝像數(shù)據(jù)擬合得到。結(jié)合這些方程,可以計算踝關(guān)節(jié)受力Fa與膝關(guān)節(jié)受力Fb在各平面的分力。

1.2 踝關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)受力表達式的推導(dǎo)

利用方程(1)～(6)計算踝關(guān)節(jié)受力Fa與膝關(guān)節(jié)受力Fb在各平面的分力,具體過程如下。

首先,將F1x、F1y和F2x、F2y轉(zhuǎn)換成F1和F2與三角函數(shù)的乘積形式。由于運動過程中肌肉的角度變化較為固定,因此可利用三角函數(shù)的近似值代替角度函數(shù)。此外,足底壓力中心的移動可近似為勻速運動。為了方便受力臺與高速攝像測量數(shù)據(jù)的使用,這里引入足底觸地的總時長ttotal,那么Mground可化為Fground與t/ttotal的乘積形式,之后各數(shù)據(jù)和方程計算結(jié)果的時間起點和結(jié)束時刻都將用足底觸地和足底離地時刻表示。最后,根據(jù)“肌肉只能產(chǎn)生收縮作用,且同一時刻F1和F2最多有一個產(chǎn)生力”的準則和消元法得到與F1、F2無關(guān)的Fax、Fay,即可得到踝關(guān)節(jié)力在y與x方向上的分力Fay與Fax的表達式

(7)

(8)

使用同樣的方法化簡方程(4)～(6),則膝關(guān)節(jié)受力Fb在x、y方向上的分力為

(9)

(10)

式中:股四頭肌肌肉力F3和股二頭肌肌肉力F4的表達式可以由式(4)、式(5)化簡消去Fby得到(在這一過程中,F1和F2的處理方式與推導(dǎo)踝關(guān)節(jié)力Fay和Fay時所用的方法相同,從而可化簡消去)

(11)

(12)

至此,膝關(guān)節(jié)受力與踝關(guān)節(jié)受力的表達式均已得到。代入各生物力學參數(shù)(mcalf、mfoot、Jcalf、Jfoot、lcalf和lfoot),以及受力臺的測量數(shù)據(jù)(Fground,x與Fground,y)和高速攝像機測得的數(shù)據(jù)(xA(t)、yA(t)、αy(t)、xB(t)、yB(t)和βy(t)),即可得到對應(yīng)時間膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)的受力。

1.3 生物力學參數(shù)的確定

在方程(7)～(12)中,共有6個生物力學參數(shù)mcalf、mfoot、Jcalf、Jfoot、lcalf和lfoot需要確定。

對足部而言,由于足部的生物力學數(shù)據(jù)難以獲取,因此在本模型中認為質(zhì)心是足部的幾何中心,并且把足部看成均質(zhì)剛桿,那么足部質(zhì)心位置lfoot可由受試者的鞋號確定,足部轉(zhuǎn)動慣量Jfoot與足部質(zhì)量mfoot則根據(jù)Tang給出的肌肉解剖學參數(shù)[14]確定。

小腿的參數(shù)可通過將受試者的身高、體質(zhì)量數(shù)據(jù)代入人體回歸方程Y=B0+B1X1+B2X2[14]來計算,其中Y表示小腿參數(shù)(質(zhì)量mcalf(kg)、質(zhì)心位置(mm)、lcalf或轉(zhuǎn)動慣量Jcalf(kg·mm2)),X1表示體質(zhì)量(kg),X2表示身高(mm)?；貧w方程中的參數(shù)B0、B1、B2見表1。

表1 成年人小腿的生物力學回歸方程參數(shù)

1.4 數(shù)據(jù)測量

1.4.1 受試者 測量實驗的對象為6名來自西安體育學院的運動員,平均年齡為(20.7±0.47)歲,平均身高為(173±4.32)cm,平均體質(zhì)量為(61.7±4.71)kg,鞋碼(歐洲標準)均為41號。

1.4.2 測量儀器 運動學數(shù)據(jù)通過一臺頻率為60 Hz的CASIO高速攝像機記錄,動力學數(shù)據(jù)通過KISTLER 9287C測力臺以頻率500 Hz記錄,生物學數(shù)據(jù)通過芬蘭EM6000無線遙測表面肌電測試系統(tǒng)獲取。

1.4.3 實驗步驟 整個實驗包括實驗準備、基礎(chǔ)性測量、熱身運動和測試4個步驟。測試包括站立和步行2種動作,持續(xù)時間分別為30和60 min。站立測試時,先打開高速攝像機和肌電儀,然后啟動測力臺,并將啟動的同步信號傳輸至其他儀器,接著運動員右腿向前邁一步站立在測力臺上,完成動作后所有儀器保存數(shù)據(jù)并回歸原狀態(tài)。步行測試時,除動作外的步驟與站立測試相同,運動員均以右足接觸測力臺,并反向行走重復(fù)一次實驗。實驗流程如圖3所示。

圖3 實驗流程圖

1.4.4 數(shù)據(jù)處理 對運動學數(shù)據(jù)進行處理的主要目的是計算下肢各部分的質(zhì)心和傾斜角度。首先使用APAS處理系統(tǒng),步驟包括剪輯(去除視頻中與實驗無關(guān)的部分)、數(shù)字化(在剪輯過的視頻中對下肢關(guān)鍵部位打點)、轉(zhuǎn)換(利用APAS將標記的點自動轉(zhuǎn)換成坐標的形式)、濾波(對上一步輸出的坐標值進行平滑化處理)和輸出(將上一步形成的結(jié)果以Excel表格形式輸出)。軟件中的處理流程如下

進一步的處理需要利用各點的實時坐標,結(jié)合反三角函數(shù)得到傾斜角,對質(zhì)心位置的推算則需要結(jié)合人體的生物力學數(shù)據(jù)并按比例換算成相應(yīng)受試者的數(shù)據(jù)。

測力臺數(shù)據(jù)自動同步到配套的Bioware軟件中,由軟件的output功能直接輸出成Excel表格。

2 結(jié)果與討論

本節(jié)將以受試者的平均數(shù)據(jù)為例說明方程(1)～(6)的解法,從而得到膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)在不同方向的受力與時間的關(guān)系。時間從足底觸地開始,至足底離地結(jié)束,一共0.94s。

圖4a～4c給出了高速攝像機獲得的質(zhì)心A在x、y方向的移動及轉(zhuǎn)動數(shù)據(jù),以及運動軌跡擬合圖,由此可以得到質(zhì)心A的運動學參數(shù)xA(t)、yA(t)和αy(t)。圖4d、4e分別展示了受力臺測得的不同時間足底在x、y方向上受到的壓力Fground,x與Fground,y。將以上5個參數(shù)的數(shù)據(jù)代入方程(7)和(8),就可以得到踝關(guān)節(jié)在x、y方向上的受力Fa,x與Fa,y(見圖4f)。

同樣,在求解膝關(guān)節(jié)的受力時,首先通過高速攝像機得到質(zhì)心B的移動和轉(zhuǎn)動關(guān)于時間的變化規(guī)律xB(t)、yB(t)和βy(t),如圖5a～5c所示,再將其代入方程(9)～(10),即可得到對應(yīng)時間膝關(guān)節(jié)在x、y方向的受力(見圖5d)。

在得到踝關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)的受力之后,為了驗證模型的準確性,下面對測量的脛骨前肌(TA)和腓腸肌(GA)的肌肉電位(見圖6a)與模型計算出的腓腸肌受力進行比較。

腓腸肌受力F2的表達式可以由方程(1)～(6)推導(dǎo)得到

(13)

將各數(shù)據(jù)代入,可以得到對應(yīng)時間點腓腸肌的受力,如圖6b所示。

(a)xA(t)原始數(shù)據(jù)及二次擬合曲線 (b)yA(t)原始數(shù)據(jù)及二次擬合曲線 (c)αy(t)原始數(shù)據(jù)及二次擬合曲線

(d)足底壓力在x方向的擬合曲線 (e)足底壓力在y方向的擬合曲線 (f)踝關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)力分量與時間的關(guān)系圖4 求解方程(1)～(3)時使用的數(shù)據(jù)擬合及計算結(jié)果圖

(a)xB(t)原始數(shù)據(jù)及二次擬合曲線

(b)yB(t)原始數(shù)據(jù)及二次擬合曲線

(c)βy原始數(shù)據(jù)及二次擬合曲線

(d)膝關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)力分量與時間的關(guān)系

(a)脛骨前肌和腓腸肌肌電圖

(b)腓腸肌肌肉力F2與時間的關(guān)系圖6 從足底觸地到足底離地一個步態(tài)的肌電及肌肉力圖

對于足底受力的情況,由圖4d、4e可見:Fground,x曲線存在最大、最小峰值;Fground,x曲線的對稱中心大約在(0.5 s,0 N)處;Fground,x曲線和Fground,y曲線的2個峰值都大約在0.15和0.80 s;Fground,y曲線也具有一定的對稱性,然而左半部分比右半部分略寬和低。對于關(guān)節(jié)受力情況,由圖4f和圖5d可知:Fax、Fay和Fbx的最大值分別是1 147.7、263.4和429.2 N;Fax、Fbx曲線和Fground,x曲線的形狀相似,并且極限值也在0.15和0.80 s附近,表明踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、足底在行走落地的過程中,水平方向上的受力具有高度同步性,可減小足底在水平方向上的受力峰值,亦可減小踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)在水平方向上的受力峰值。

然而,踝關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)不同的是,圖4中Fax曲線在縱坐標0以下的部分略寬于Fground,x曲線,并且圖5中的膝關(guān)節(jié)受力曲線Fbx都位于負值區(qū)間。雖然Fay曲線有2個峰值,但形狀與Fground,y曲線有明顯的不同,其第一個峰值在0.35 s處,第二個峰值在0.75 s處,第二個峰值大約是第一個峰值的3倍,表明人體行走時,在前腳掌著地支撐期間,踝關(guān)節(jié)在豎直方向上受力最大,因此本文所建立的力學模型可以較為準確地描述踝關(guān)節(jié)的受力情況。

觀察圖6可以發(fā)現(xiàn),本模型可以較為精確地描述踝關(guān)節(jié)的受力情況。但是,踝關(guān)節(jié)的合力曲線變化較為復(fù)雜,難以用單個方程進行完整描述。合力曲線的主要特點是在0.76 s時達到峰值1 174 N。

在求解了模型之后,對模型的驗證也是十分必要的。在本實驗中,我們利用肌肉電位與肌肉力同時增大這一原理[15]對模型進行驗證。從圖6可知,由于圖6a所示脛骨前肌的活動,腓腸肌肌肉力在足底觸地初期與求解過程中的肌肉力不小于0的假設(shè)不符。由于圖6a中較平緩的TA曲線表示的肌肉力在計算中視為0,波動較大的GA曲線表示的肌肉力視為正,而肌電圖上TA仍有一定強度的電位,因此計算出的GA肌肉力實際上是真實GA肌肉力和TA肌肉力等效作用的疊加。所以,在足底觸地初期,TA活動強烈而GA活動不足,等效肌肉力為負,而觸地后期肌肉活動的情況與前期相反,等效肌肉力主要由GA的活動決定,故等效肌肉力為正。因此,本模型計算結(jié)果的可靠性在一定程度上得到了驗證。

3 結(jié) 論

本文通過考慮足底壓力、關(guān)節(jié)受力和肌肉力,在兩個平面維度和一個轉(zhuǎn)動維度的三維系統(tǒng)中,建立了一個能夠較好地分析下肢運動的力學模型;利用所建立的動力學方程,并結(jié)合高速攝像機和足底測力臺獲取的運動學和動力學數(shù)據(jù),計算了下肢的關(guān)節(jié)力。計算結(jié)果與肌肉電位吻合較好,證明該模型可以更為真實地反映下肢膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)的受力情況。模型具有較高的生物逼真度,可望為下肢運動機理的研究和下肢運動裝備的開發(fā)提供參考。

本文模型的不足之處主要是在膝關(guān)節(jié)縱向受力曲線上出現(xiàn)了不連續(xù)點。為更好地完善現(xiàn)有模型,需進一步引入更精確的解剖學數(shù)據(jù)來提供更接近實際的參數(shù),并進一步簡化肌肉受力方程,建立適用于跑、跳等復(fù)雜情況的人體下肢模型。

[1] JIA Y, CHEUNG J T M, FAN Y B, et al. Development of a finite element model of female foot for high-heeled shoe design [J]. Clinical Biomechanics, 2008, 23(1): S31-S38.

[2] STEWART L, GIBSON J, THOMSON C E. In-shoe pressure distribution in “unstable” (MBT) shoes and flat-bottomed training shoes: a comparative study [J]. Gait and Posture, 2007, 25(4): 648-651.

[3] 洪曉明. 人體下肢運動力學分析與建模 [D]. 杭州: 杭州電子科技大學, 2009.

[4] 王建輝, 徐秀林. 人體下肢動力學建模與仿真研究現(xiàn)狀 [J]. 中國康復(fù)理論與實踐, 2012, 18(8): 731-733. WANG Jianhui, XU Xiulin. Development of human lower limb dynamic modeling and simulation [J]. Chinese Journal of Rehabilitation Theory and Practice, 2012, 18(8): 731-733.

[5] KERRIGAN D C. The effect of running shoes on lower extremity joint torques [J]. Pm & R, 2009, 1(12): 1058-1063.

[6] FOURCHET F, KELLY L, HOROBEANU C, et al. Comparison of plantar pressure distribution in adolescent runners at low vs. high running velocity [J]. Gait and Posture, 2012, 35(4): 685-687.

[7] 孫廣艷. 人體髖關(guān)節(jié)運動生物力學模型研究 [D]. 遼寧大連: 大連理工大學, 2006.

[8] GU Y D, REN X J, LI J S, et al. Computer simulation of stress distribution in the metatarsals at different inversion landing angles using the finite element method [J]. International Orthopaedics, 2010, 34(5): 669-676.

[9] HURWITZ D E, RYALS A R, BLOCK J A, et al. Knee pain and joint loading in subjects with osteoarthritis of the knee [J]. Official Publication of the Orthopaedic Research Society: Journal of Orthopaedic Research, 2005, 18(4): 572-579.

[10]PAIN M, CHALLIS J H. The influence of soft tissue movement on ground reaction forces, joint torques and joint reaction forces in drop landings [J]. Journal of Biomechanics, 2006, 39(1): 119-124.

[11]KAKIHANA W, AKAI M, NAKAZAWA K. Effects of laterally wedged insoles on knee and subtalar joint moments [J]. Arch Phys Med Rehabil, 2005, 86(7): 1465-1471.

[12]DAMSGAARD M, RASMUSSEN J, CHRISTENSEN S T, et al. Analysis of musculoskeletal systems in the AnyBody Modeling System [J]. Simulation Mod-elling Practice & Theory, 2006, 14(8): 1100-1111.

[13]楊濟匡, 方海峰. 人體下肢有限元動力學分析模型的建立和驗證 [J]. 湖南大學學報: 自然科學版, 2006, 32(5): 31-36. YANG Jikuang, FANG Haifeng. Development and validation of a FE model of lower extremity for dynamics analysis [J]. Journal of Hunan University: Natural Science, 2006, 32(5): 31-36.

[14]TANG G. A technical method using musculoskeletal model to analyse dynamic properties of muscles during human movement [J]. Computer Methods in Biomechanics & Biomedical Engineering, 2011, 14(7): 615-620.

[15]WAGNER H, BOSTR?M K, RINKE B. Predicting isometric force from muscular activation using a physiologically inspired model [J]. Biomechanics & Modeling in Mechanobiology, 2011, 10(6): 955-961.

(編輯 葛趙青)

(1.西安交通大學體育中心,710049,西安;2.陜西省青少年體育運動學校,710065,西安;3.西安交通大學航天航空學院,710049,西安;4.西安交通大學生命科學與技術(shù)學院,710049,西安;5.西安交通大學理學院,710049,西安)

為了準確、簡便地對人體行走過程中下肢的受力進行分析,構(gòu)建了一個新的人體下肢力學模型:將人體的上半部分簡化成固結(jié)至臀部的重物,將大腿、小腿和足部簡化成3個剛桿,將踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)簡化成鉸接點,將肌肉作用力簡化成4對作用在剛桿上的未知力。針對該模型建立了相應(yīng)的動力學方程,能夠?qū)ψ悴亢托⊥鹊倪\動受力進行完整的描述。通過高速攝像機和足底測力臺獲取受試者的運動學和動力學數(shù)據(jù),并使用APAS處理系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行處理,用于對動力學方程的求解,由此獲得了下肢的受力狀態(tài)。利用表面肌電儀測量了人體行走時的下肢肌肉電位,利用肌肉電位與肌肉力同時增大的原理,在一定程度上驗證了模型的可靠性。研究結(jié)果表明:該模型能夠較為真實地反映出下肢膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)的受力情況,具有較高的生物逼真度,可望為人體下肢運動機理的研究和下肢運動裝備的開發(fā)提供參考。

下肢;關(guān)節(jié)力;踝關(guān)節(jié);膝關(guān)節(jié);力學模型

Establishment and Verification of a Mechanical Model for Analyzing the Forces Acted on Lower Limb During Walking

ZHANG Jun1,LI Jianxi2,XIA Yukun3,HE Wangxiao4,WANG Lijuan5

(1. Department of Physical Education, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 2. Shaanxi Youth Sports School, Xi’an 710065, China; 3. School of Aerospace, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 4. School of Life Sciences and Technology, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 5. School of Sciences, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To analyze the stress state of lower limb accurately and simply during walking, a novel mechanical model of human lower limb is proposed. The upper body is treated as a lumped weight; the thigh, calf and foot are considered as three rigid rods; the ankle, knee and hip are simplified as the link joints between the lumped weight and rods; and the muscle forces are simplified as four unknown forces acting on the rods. Based on this model, the corresponding dynamics equations are derived to describe the movement of feet and legs. Using the kinematic and dynamic data collected by high-speed photography and plantar strainmeter, these equations are solved, and the stress state of lower limb is obtained. Moreover, the limb muscle potentials are measured by surface electromyography to verify the reliability of the present model. The results show that this model can reflect the stress state of knee and ankle with high biological fidelity, and provide guidelines to study the mechanism of human lower limb movement and develop lower limb sports equipment.

lower limb; interaction forces in joint; ankle; knee; mechanical model

2015-01-16。 作者簡介:張軍(1970—),男,副教授;王麗娟(通信作者),女,講師。 基金項目:陜西省科學技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項目(2012KW-33-01)。

時間:2015-06-19

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150619.1649.001.html

10.7652/xjtuxb201509022

G804.66

A

0253-987X(2015)09-0134-07